Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 99
Текст из файла (страница 99)
Легко показать, что в случаях, когда существуют обычные инварианты Римана гх = гх(и), вектор-инвариант о'(и) представляется в виде о (и) = (г~ (и), гз(и), ..., гх-~(и), гх 1(и), ..., г„ (и)). В самом деле, согласно 5 3 главы ! Й'~ (и) = рч (и) 1' (и) г(и, т.
е. пгаг( г~ (и) = ри (и) 1'(и), и, следовательно, о~(и)=г,(и) при (чл.й является решением уравнения (!О), так как правые гх(и) и левые Р(и) собствен- ные векторы матрицы А(и) биортогональны: 1' (и) г~ (и) = 0 при 1 Ф. /г. В частности, при и = 2 инварианты Римана всегда существуют, и поэтому при л = 2 о (и)=г;(и), 1~ и. Решение (8) системы (7) представляет собой дважды непрерывно дифференцируемую кривую, расположенну1о в пространстве переменных иь им ..., и„, у.
Если величину у считать параметром, то это будет кривая, проходящая через точку из в пространстве переменных и. Ввиду условия (6) величина $А(и(у)) монотонно изменяется вдоль этой кривой. Так как у = х/1 и 1 ) О, то из уравнения (2) мы заключаем, что часть этой кривой, заданная условием $А(и(у)) ) зх(ио), отвечает лучам у = х/1, лежащим справа от луча у = уо а часть кривой, на которой $А(и(у) ) ( $х(и ),— лучам у = х/1, лежащим в плоскости переменных х, 1 слева от х луча — = уо.
Придавая теперь номеру /г в равенстве (2) все значения от 1 до а, мы приходим к следующему выводу: Через точку ио в пространстве Е. переменных иь и„..., и„ проходит п гладких кривых, являющихся решением уравнений (3) при /г = 1, 2, ..., и, которые нигде не касаются друг друга. Вдоль каждой из этих кривых указывается направление монотонного возрастания переменного у = х/б Теперь рассмотрим случай разрыва автомодельного решения. Автомодельное решение сс(у) = и(х/1) может иметь разх рывы лишь на линиях — = у= сопз1.
Пусть в точке у решение и(у) разрывно. Тогда на линии х = уг должны удовлетворяться $ 3. СИСТЕМА КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 889 условия Гюгонио (3 1) у [а(у — О) — и(у+ О)] = ар(и(у — О)) — ~р(и(у+ О)), 0=у. Будем считать, что одно из значений — и(у+О) либо и(у — 0) — фиксировано, и обозначим его через иа, а эта система уравнений служит для определения другой величины, которую мы обозначим через и.
Перепишем эту систему в виде Р(и — аа)=ар(и) — ар(иа), О=у. (12) Предположим, что уравнения (12) определяют в пространстве переменных и и гладких кривых, проходящих через точку и= иа. Рассмотрим одну из этих кривых и введем какой-либо параметр $, считая, что решение уравнений (12) параметрически выражается через $: и=и(Е), 0=0(9) и и($а) =па. Дифференцируя систему (12) по параметру $, найдем Ри+ 0 [и($) — иа] = Л(иф)) и, где через й, Ь обозначены производные соответствующих функций по параметру 9. Полагая здесь $ = еа, получим [Л (па) — РЕ'! и ($а) = О (13) так как и($а) =па. Величина й(йа) отлична от нуля лишь в том случае, если Ре!((Л(иа) — 0(аа) Е)) = О.
Поэтому положим 0(йа) =РА(йа) =йа(,) и будем обозначать эту ветвь кривой, определяемой из системыы (12), через и = ()А (й). Выберем теперь параметр $ вполне определенным образом: $=$А(и). (14) Уравнения (13) приводят к следствию ()'Щ= ~."(ц,), (15) а из (14) получаем путем дифференцирования по $, что () (Еа) дг аг) $А (иа) = 1. (16) Сравнение формул (15), (16) с формулами (3), (4) приводит нас к выводу, что й,а( ) Г (иа) (17) гА (иа) егаа $А (иа) 59О гл 4 ОБОБщенные Решения кВАзилинеиных уРАВнении т, е. производная 02($2) имеет то же значение, что и в волне разрежения (7). Мы покажем сейчас, что и вторые производные (12($2) совпадают со вторыми производными, вычисленными на волне разрежения, Дважды дифференцируя по $ = $2(и) формулы (12) и полагая затем $2(и) = Ео(ио), получим (Л (па) — ~, (и,) Е) [7 (~~) = Юа йо) [7 (Ы вЂ” (ЧЛ (иа) (7' Ва)) [7' йа), (18) (20) Теперь из сравнения системы уравнений (18) с системой (20) заключаем, что (еа) «у2 (уоо иа).
(24) где символ (ЧЛО") [г~ обозначает вектор а и 2 (~~ЙР=~ ~ ...'„ЙЙ. (! 9) 4 4 4 Для сравнения продифференцируем по переменному у уравнения (1); мы получим уравнения, сходные с (18), если положим в них у =уо: [Л (ио) — оь» (ио) Е) а — — — ~)ЧаЛ (ио) йу1 д~ ' В левой части уравнений (!8), (20) матрица коэффициентов вырождена, так как $2(ио) — собственное значение матрицы Л(ио). Поэтому для разрешимости системы (20) относительно 4(ои — необходимо, чтобы правая часть была ортогональна к ледуо вому собственному вектору 12(иа) матрицы Л(ио), так как левая часть равенства заведомо ортогональна к этому вектору. Так как в силу формулы (7) функция и(у) обладает вполне определенными вторыми производными, то это условие заведомо выполнено, Следовательно, записывая условие ортогональности правой части (20) к вектору 12(иа), получим 44и(уо) 12,, г" (ио)! (ио) 1" (ио) [УА (ио) га(ио)1 го (ио) (2!) 1 Фо)— 4!У га (и,) ягао) 12 (ио) [г" (ио) егао) аа (ио)Р Условие ортогональности правой части системы (18) к вектору 1'(ио) запишем с учетом (17) в следующем виде: д .
1 г~ (ио) [РА (ио) " (ио)1 га (ио) (22) 2 (га(ио) етао) Ц(ио)) (га(ио) 42(ио)) Учитывая формулу (21), из (22) получим 0.В,) =-,. 1 (28) $ К СИСТЕМА КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 591 Обозначим через и=(7»($»(и), ио) решение уравнений (12). Тогда из равенств (17) и (24) следует, что (7» (в» (и), ио) = (7~ (я» (и), и ) + О [($» (и) — $» (ио))'] (25) и 1 О.й»(и), ио) =Ь(ио)+ —, [В»(и) — Ь(ио)]+ 0[($»(и) -$»(ио))']= + О [($» (и) — в» (ио))»] (26) формулы (25) отражают то обстоятельство, что состояние »7», связанное с состоянием ио с помощью ударной волны й-го индекса, отличается от состояния (7», связанного с и, волной разрежения, на величину третьего порядка малости относительно разности [(7» — ио].
Этот факт для общих систем квазилинейных уравнений впервые был доказан П. Лаксом [1953]. В газовой динамике подобное свойство слабых ударных волн является общеизвестным. Итак, через точку и = ио проходят две гладкие кривые и = = (7»($»(и), ио) и и = 0»(я»(и), ио). Первая кривая изображает семейство состояний, которые могут быть соединены с состоянием ио посредством волны разрежения й-го типа.
Вторая кривая образована состояниями, которые могут быть связаны с состоянием ио посредством ударной волны индекса й. Эти две кривые в точке ио имеют касание второго порядка. Из формул (25) следует, что в малой окрестности точки и = ио кривые ударного перехода и = О» Я», ио) близки к кривым и = (7», описывающим переходы по волнам разрежения. Однако в целом, т. е. вдали от точки и = ио структура кривых ударного перехода может быть довольно сложной и весьма непохожей на структуру кривых и = (7».
Так кривые и = (/» продолжаются без самопересечения через любую точку области, в которой выполнены условия (6), вплоть до выхода на границу области. Наоборот, кривые ударного перехода, заданные с помощью условий Гюгонио (!2), могут вести себя совершенно иначе. Пример системы двух уравнений и»+(5!пи+ п)„О, о»+ ( — ) =О 2 (см. В, А. Боровиков [1969]), гиперболической в узком смысле при и ) О и удовлетворяющей условиям (6) в этой полуплоскости, дает тому подтверждение. !у1иожество значений (и, о), являющихся решением условий Гюгонио (!2) для этой системы, расположено на ограниченной замкнутой кривой, имеющей форму восьмерки.
599 Гл. с ововшеннь!е Рппа!!ия кв»зил!и!ейных уелапвнин Таким образом, для этой системы даже разбиение этого мнонсества на кривые и = (7! и и = 17' имеет смысл лишь вблизи точки и = и;, ограниченность этой кривой приводит к принципиальным затруднениям при решении задачи о распаде произвольного разрыва. Если мы будем считать состояние и, левым состоянием, то для значений у > ум как мы говорили выше, имеет смысл лишь одна половина кривой и = (7»($»(и), и,), заданная условием $» (и) > й» (и»). Для ударной волны и = П»($»(и), и») условия устойчивости (3.1.10), (3.!.11) требуют, чтобы выполнялись неравенства $,((7'(9»(и,) и»)) > 0»($»(и), и,) > $»(О'($„(и), и»)) $» !(Р Я»(и,), и,)) < 17»($»(и), и,) < $»+!(РЯ»(и), и»)), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
