Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 98
Текст из файла (страница 98)
В заключение отметим, что в настоящее время доказаны существование и единственность обобщенного решения задачи Коши в случае невыпуклой функции ф(и). При этом устойчи. вость обобщенного решения понимается как выполнение условий (24). что, как мы видели в 5 (, вытекает также из условий Гюгонио, Итак, для существования интегральной кривой задачи ((9), (20) необходимо, чтобы В(и-) = г"(и+) = О, Этого, однако, недостаточно, Другим необходимым условием существования йи является требование отсутствия перемены знака у функции Г(й ) на интервале (и-, и+).
В самом деле, если на этом интервале существует точка и* такая, что слева и справа от и* функция Р(и) имеет разные знаки, то, очевидно, не существует интегральной кривой йи = йи(иь). Умножая уравнения (2!) на величину 2(и„— и — ), придадим ему следующий вид: $ 3. СИСТЕМА КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 583 $3. Система квазилинейных уравнений 1. Вводные замечания.
Теперь мы будем рассматривать консервативную систему квазилинейных уравнений ди дф;(и, х, Г) д,. + 'д, =~,(и,»,1) (1=!,...,п), (1) которую для краткости будем записывать в форме (2) понимая под и, ф, 1 векторные функции с и компонентами. Мы будем считать в дальнейшем, что вектор-функции ф(и, х,1), 1(и,х,1) обладают двумя непрерывными производными по всем своим переменным в рассматриваемой области изменения переменных и, х, 1. Система дифференциальных уравнений (2) в гиперболическом случае приводится, как мы видели в главе 1, к виду 1и( »11)~ д; +~~(и*» 1) д„'1=ни(и х 1). (3) при этом (хе( ((1„(ц„х, 1))) ~ О. (4) Вектор 1А(и, х, 1)=(1,(и, х,1)) — левый собственный вектор /гдф тт матрицы Л (и, х, 1) = ~~ — д, а $А (и, х, 1) — соответствующее ГЛди Д' собственное значение, т. е. 1А (и, х, 1) Л (и, х, 1) = ЕА(и, х, 1) 1А (и, х, 1). Задача построения классических решений системы (2) рассматривалась в главе 1, а здесь мы будем изучать обобщенные (разрывные) решения.
Обобщенное решение системы (2) удовлетворяет интегральным законам сохранения $ и Фх — ф (и, х, 1) й + ~ ~ 1 (и, х, 1) с(х г(1 = О, с Ус (7) а в области, где существуют первые производные ди ди д1 ' дх ' дифференциальным уравнениям (2) либо (3); последние мы На протяжении всего этого параграфа мы будем рассматривать лишь системы уравнений (2), (3), гиперболические в узком смысле, т.
е. считать, что 81(и, х, 1) <4(и, х, 1) « ... $„(и,х, 1). (6) 584 Гл. с оБовщенные РГЕ1ения квАзилинГЙных уРАВнениЙ также будем записывать более кратко: (д1 +~~ д~) (8) Для системы квазилинейпых уравнений (2) мы будем ставить задачу Коши с начальными условиями и(х, О)= Ну(х), (9) где иБ(х) — вообще говоря, разрывная ограниченная вектор- функция. Как мы видели В $1, разумная постановка задачи Коши приводит к некоторым условиям устойчивости, которым должны удовлетворять обобщенные решения этой задачи. В этом параграфе мы будем рассматривать в основном обобщенные решения, имеющие кусочно-гладкие линии разрыва х = х(Г), вне которых они являются классическими решениями системы (2).
Условия устойчивости, в соответствии с $ 1, будем понимать в следующем смысле. Каждой линии разрыва х = х(г) ставится в соответствие некоторый номер /г, называемый индексом линии разрыва. Для этого номера й на линии х = х(1) выполнены неравенства йь (и (х(г) — О, 1), х(г), 1) ) 0 ) $„(и (х(г) + О, 1), х(/), /), (! О) $Б н (и (х (Г) — О, 1), х (г), г) ( 0 ( $4+, (и (х (г) + О, 1), х (г), г), (! 1) 0 = х'(/). В наиболее простой форме свойства обобщенных решений систем квазилинейных уравнений могут быть изучены на примере однородной нелинейной системы уравнений да ! дч(Б) О дг дх т. е. в случае, когда вектор ~р не зависит от переменных х, 1, а /= — О.
2. Автомодельные решения системы квазилинейиых уравнений. Решения системы уравнений (3.!.12), зависящие лишь от оДного пеРеменного У =(х — ху)/(à — 14), называютсЯ автомодельными. Не ограничивая общности, будем считать Г, = х, = О. Мы ищем решение и(у) системы. (3.!.!2), определенное при х г') О и зависящее лишь от переменного у = —. Совершая в (3.!.!2) подстановку по формулам д х д у д дГ П ду г ду' $ а системА кВАзнлинегп!ых уРАВнении 585 получим, что автомодельное решение и = и(у) удовлетворяет системе обыкновенных дифференциальных уравнений !Л (и) — уЕ] — „= О, Л (и) = (( — ')), (1) где Š— единичная матрица л-го порядка.
Из системы уравнений (1) следует, что если уФ$»(и) (й=1,2,...,л), то вектор — тождественно равен нулин ди ду 4и — — = О, ду и решение и(у) = — сопз!. Поэтому будем считать, что на некотором отрезке переменного у выполняется тождественно равенство у=$А(и), (2) где й — какой-либо среди номеров 1, 2, ..., л. Тогда система уравнений (1) имеет нетривиальное решение относительно векЫй тора производных — : ду — = Лг~ (и), дд (3) Система уравнений (3) еще не позволяет определить и(у) путем интегрирования„так как в эти уравнения входит неизвестный множитель Л.
Для его определения продифференцируем уравнение (2) по переменному у. Мы получим уравнение дии !и) ии! / ! которое перепишем в форме — ага!!$А(и) = 1, ди ду вводя обозначение где ги(и), как обычно, означает правый собственный вектор матрицы Л(и) (гл. 1), т. е. Л (и) ги (и) = ЕА (и) ги (и). ВВВ ГЛ.
С ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ Наконец, подставляя в уравнение (4) выражение (3) для йи — получим уравнение, служащее для определения велилу чины Х: и Хг~ (и) ига 6 $« (и) = ). ~~' А га =! . / / (6) Уо = йа (ио) = йа (" (Уа)) Обозначим решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений (7), проходящее через точку иа=(иа„..., иа), следующим образом; и (У) = (/ (У ио) (/ (Ь (ио)* ио) — = иа (8) б) Вторая возможность имеет место тогда, когда в данной точке У = Уа га (и (у)) игаса йа (и (у)) = О.
(9) В этом случае уравнение (5) не выполнено при А ~ О, и решение и(у) либо постоянно в некоторой окрестности точки уа, либо разрывно в этой точке. Случай разрыва автомодельного решения будет обсуждаться ниже. Вообще в дальнейшем мы будем ограничиваться, если противное не оговорено особо, случаем, когда условия (6) Выполнены при всех /г = 1, 2...,, а и любых и. Ограничиваясь этим случаем, мы теперь подробнее изучим решение и(у) системы (7).
Решение (8) мы, следуя аналогии с уравнениями газовой динамики, будем называть «центриро- Рассмотрим следующие две возможности: а) На рассматриваемом интервале изменения переменного у выполнено неравенство га (и) пгад $А (и) ~ О.
(6) Системы уравнений, для которых при всех значениях // = 1, 2, ..., и и любых и = (и/,..., и,) выполнены неравенства (6), П. Лаке [1957] называет истинно нелинейными. Если выполнено неравенство (6), то из (5) однозначно определяется величина А, подставляя которую в (3) получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений (7) а/у га (и) Егаа $А (и) из которой интегрированием можно определить решение и(у), если известно значение иа = и(У«) такое, что выполнено соотношение (2), т. е. 5 а системА кВАзилинеяных уРАВнения 587 ванной волной разрежения» либо центрированной бегущей волной. В пространстве переменных и!, им ..., и, рассмотрим дифференциальное уравнение в частных производных для одной (скалярной) функции о = о(и) = о(иь ., и„): г" (и) Ига!( о(и) = ~Х г,'(и) — О.
а ! Пусть о=о(и) — какое-нибудь решение уравнения (!О). Покажем, что о(!ГА(у, иа)) = сопз!. (! !) В самом деле, да дГГа Х диа ду а ! ~, д„, 7!га(!7)!1у Хууг»(и) агабо=О. а ! Итак, каждое решение о(и) уравнения (!0) постоянно на волне разрежения (8). Это же можно сформулировать еще следующим образом. Интегральная кривая (8) системы уравнений (7) лежит на гиперповерхности о(и) = сонэ!, если о(и) удовлетворяет уравнению (10).
Уравнение (10) имеет л — 1 независимых решений, которые мы обозначим через о = оа (и), о = о," (и), ..., о = оФ ! (и)! при этом система л векторов га(и), йта!(о~(и), ..., дгабой !(и) линейно независима. Из уравнения (1!) вытекает, что в бегущей волне и и(у), заданной формулой (8), постоянен (л — !)-мерный вектор оа(и)= =(оа!(и), ...„ВА,(и)), т. е. оа((7~(у, и,)) = с~, где са — постоянный (л — !)-мерный вектор. Таким образом, интегральная кривая (8) уравнений (7) мо- жет быть задана другим образом: оь(и)=сола!, $»(и)=у, и задача интегрирования системы (7) сводится к определению л — 1 независимых решений уравнения (10). ЧЗЗ ГЛ. и ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕниЙ Вектор ох(и)=(о",(и), ..., ох,(иЦ мы будем называть (п — 1)-мерным вектор-инвариантом Римана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
