Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 101
Текст из файла (страница 101)
е. в интервале (у;, у+) решение и(у) образует волну разре- жения, соответствующую первому собственному значению $1. На рис. 4.33 по оси абсцисс откладывается значение пере- менного у, по оси ординат — значения величин $~(и(у)), $х(и(у)), ..., $,(и(у)) и проведена биссектриса $ = у. На участке у, ( у ( у1+ $1 (и (у) ) = у, все остальные собственные значения $~(и), ..., $ (и) больше, чем у. Состояния а = и(у) на отрезке (у1, у1+) связаны с состоянием и-, как с левым со- стоянием, волной разрежения, соответствующей собственному значению $ = $1(и).
График зависимости $1 — — е1(и(д)) при у; (у (у+ лежит на прямой $ = у. Пусть на интервале (д;, у+~ $,(и(у)) =у, т. е. решение и(д) на этом интервале образует волну разрежения, соответ- ствующую з = $х(и). Тогда совершенно очевидно и, в частности, нз рис. 4.33 видно, что у; ) у+, $ (и(д)) > у, $1(и(у)) <д.
(15) 5 а системА кВАзилиненных »РАВнении 597 (16) где дает автомодельное решение задачи о распаде разрыва. Рассмотрим другую возможность, когда в точке у = у» решение и(у) разрывно. Тогда, согласно условиям устойчивости, существует номер й такой, что 9»(и(у» — О)) > у„> $»(и(у»+О)), (18) $»+> (и (у»+ О)) > у» > $» > (и (у» — О)). (19) Пусть индекс линии разрыва в точке у> есть й = 1. На рис. 4.34 снова изобразим зависимости 9»(и(у) ) при й = 1, 2, ...
..., и. В этом случае в точке у~ $,(у, — 0)=$,(и ) >у» $>(и(у>+О)), $»(и(у, +О)) > у, прн й > 1. (20) (21) Состояния и(у), рассматриваемые на интервале (у,, у+1, связаны с состоянием и(у+), как с левым состоянием, волной раз- ! )' режения 2-го типа (у = $»(и)). Теперь из рис. 4.33 совершенно ясно, что каждая волна разрежения, соответствующая й-му собственному значению (у = $»(и(у) ), лсжит правее л>обой волны разре- 1,1Н-,1» жения, соответствующей собственному значению д~»ч $> с меньшим номером 1, и левее любой волны раз- 1 1 режения с ббльшим но- ° ' ' ~ ~ ~ 14 а мером 1. у/ у усу Отсюда мы заключа- У> УГ ' ' ' У» У»~ У" ем, что непрерывное ре- ! шение и(у) задачи (7), (12) содержит не более и упорядоченных волн (гм > ~ разрежения.
Если удалось выбрать Ряс. 4.33. величины у, у»+ так, что и(у,)=и —, и(у+)=и+, то функция и(у), определенная на интервалах (у», у»+) в виде волны разрежения, т. е. и(у)=(7 (у, (7+ ') при у «у«у», и (у) = 1>'+ при у «у«у+И (17) ЗЭЭ ГЛ, С ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КВАЗИЛИНЕИНЫХ УРАВНЕНИИ ния индекса й, и наоборот. Таким образом, при решении задачи о распаде (1), (2) в классе автомодельных решений представляется возможность построения решения в виде л бегущих волн, амплитуды которых должны быть выбраны таким образом, чтобы удовлетворялись условия (11). Как мы видели в предыдущем параграфе, если известно Рис. 4.34. левое состояние, то на волне й-го типа семейство состояний, в которые можно перейти с помощью этой волнь1 (ударной или волны разрежения й-го типа), описывается с помощью одного параметра.
Таким образом, задача состоит в том, чтобы, выбрав а таких параметров, удовлетворить условиям (11). По заданному значению и-, которое является левым для решения и = и(у), мы определяем как функцию одного параметра $~ = $~(и) решение в волне (ударной или разрежения) индекса 1: и'= Р'($И и ), (22) где Р' задано, согласно (3.2.27), формулой (' У'($Н и ) при $,>$,(и ), гчяи и )=~ х О'(йь и ) при $~ ~$~(и ); (23) при этом дР' г' (и ) дф, (~~ ( )' ) г'(и-) дгад З1(и-) (24) Состояние (22) является левым для волны индекса 2. Поэтому вводим и'= р'я„и') Р й,, р'($ь и )), (25) Огсюда сразу следует, что если в точке у = и имеется ударная волна с индексом й=1, то в решении и=и(у) отсутствует волна разрежения, соответствующая значению $ = $~(и) = у. Вообще, из сравнения рис.
4.33 и 4.34 мы заключаем, что усзойчивое (удовлетворяющее условиям устойчивости (18), (19)) обобщенное автомодельное решение и(у) содержит не более и бегущих волн (волн разрежения либо ударных), которые упорядочены по своим индексам, так как присутствие ударной волны индекса й исключает 1(.) возможность волны разреже. $ а. системА кВАзилинеинъ|х уРАВиении 599 где га определяется по формуле (3.2.27) аналогично (23). Продолжая наши рассуждения, мы найдем и =г""(9„, и" )= =р"й., р"-'й. ь р"-'(."й,, р'(Ь.-)) ...)))= = гр(ЕИ $„..., Еи, и ). (26) Решение задачи о распаде в классе автомодельных решений сводится к определению величин $ь Еь ..., Е„из системы и уравнений 6з($И ~ь ..., й„, и ) =и+. (27) Будем считать, что состояния и', иа, ..., и" = и+ лежат в достаточно малой окрестности точки и-.
Поскольку якобиан дФ($~Ь" $и и )( д(йь йь ..., Еи) ь ь(и ) и м(и ) Е„-Е„(и-) "„.~-~. (га (и-) Егаа Е» (и — )) отличен от нуля в силу предположения о гиперболнчности системы (1) и выполнения условий (3.2.6), то существует некоторая окрестность )и — и†) ( 6 точки и†такая, что при и',..., и", лежащих в этой окрестности, якобиан дФ (йь ..., Еи, и-) д йь °" $и) отличен от нуля. Уравнения (27), кроме того, совместны при и~ = и-; $А = $а(и — ). Поэтому по теореме о неявных функциях в этой окРестности сУЩествУет елинственное Решение Еь $,, ...
..., 9„системы уравнений (27), которому отвечает автомодельное решение и = и(у). Эта теорема существования решения задачи о распаде малого разрыва была доказана П. Лаксом [1957]. Заметим теперь, что существование и единственность авто- модельного решения и(у) доказано сейчас не только в предположении о достаточной близости точек и-, и+, но и в предположении близости величин и-, и', и', ..., и" = и+. Поэтому вопрос о единственности решения при достаточно близких и-, и+ здесь тем не менее не решен, так как вполне может случиться, что при сколь угодно близких и-, иг существует другое решение й(у) задачи о распаде разрыва, для которого промежуточные состояния а', ..., и"-' находятся далеко от и-, и~.
воо гл. 4. ововпзанные гашения квхзнлннгяных хгив~зез~ин 4. Пример неединственности автомодельного решения задачи о распаде. Мы покажем сейчас, что если не предполагать достаточной близости векторов и-, и+, то без ограничения на рассматриваемые системы квазилинейных уравнений нельзя рассчитывать на единственность автомодельного решения этой задачи. Предварительно заметим, что понятие разрывного автомодельного решения задачи о распаде введено нами лишь для консервативных систем вида (3.3.1); однако непрерывное решение и(у), если оно существует, определяется и для систем, не записываемых в виде законов сохранения. Поэтому мы рассмотрим сейчас гиперболическую в узком смысле систему трех квазилинейных уравнений 1 (и) ~ †, + $и (и) — 1 = О, и = (иь из из) (й = 1, 2, 3), (1) 3, (и) < $з (и) = — из < $з (и).
(3) 1з взаимно ортогональны, поэтому мы можем Векторы 1', 1з, считать, что г (и) =1 (и). (4) для системы уравнений (1) принимают вид: д-з — 'з созиз+ д з1пиз Ф О, д1~ — =1>0, д "йз диз — —,' з1 и и, + — ' соз и, Ф О. д",з . дйз диз з диз Условия (3.2.6) (6) Легко заметить, что всегда можно выбрать функции $ь $з такие, чтобы удовлетворялись условия (5) и (3), например: й~ = и, — а (зй соз из+ и, з(п из), а ) О, а' чь О, (6) йз=из+(1( — из з(низ+ и,соки), 6) О, р' ~ О. (7) оставляя в стороне вопрос о возможности записи этой системы в виде законов сохранения, п покажем, что задача о распаде для этой системы может иметь несколько непрерывных автомодельных решений и = и(у).
Заметим, что подобная ситуация имеет место и для консервативных систем квазнлинейных уравнений (см. В, Ф. Дьяченко 11963] ), мы же рассматриваем неконсервативную систему, так как в этом случае пример более прост. Положим 1'=(созна О, з(низ), (з=(0, 1, 0), (з=( — з(пим О, созсзз), (2) и пусть ао! $ 3. СИСТЕМА КВАЗИЛ!П1ЕП!!ЫХ УРЛвНЕНИЙ (8) (9) (10) иг иг !! ц,' ц! ц, Рос. 4.36.
Рис. 4.33. прямая и, =ии и =ио (рис. 4.35). Стрелками на прямых и = У' обозначено направление возрастания величины $с(и). Рассмотрим две какие-либо плоскости и,= с, и, = с + — ", например и,=О и ио= — (рис. 4,36), Так как У(и„О, и,)= =1о(и1, —, ио), то прямые и = (1! и и = Уо, лежащие в этих 2 ' двух плоскостях, проектируются друг на друга. Стрелками на этих прямых и = Уо по.прежнему обозначено направление возрастания величины $о(и). Рассмотрим теперь для системы (1) задачу о распаде для случая, когда и =(ио 0 ио) и+ ~цо " ца~ (11) Построим одно из решений этой задачи и при у(0, У'(у, и ) при 0(у( —, (12) и (у) = и+ при у Кривые и = уо(у, и,), описывающие состояния, которые могут быть соединены посредством волн разрежения, для системы (1) являются прямыми: У ! (у, цо) = ио + Р (и,) 3, — ~ = 1' (и,) ига!( $! (У!), У'(у, ио) = и„+ 1а(ио) (у — цо) У'(у, цо) =ио+ 1'(ио) з, — ~ = 1'(ио) ига!(ео(У').
Прямая и = У' лежит в плоскости и,= и", и имеет направление вектора 1'(ио); прямая и = (1' также лежит в плоскости и,=ио и имеет направление вектора 1 (ио); прямая и = [Р есть ввв ГЛ. Ф ОВОЕШЕННЫЕ РЕШГНИЯ КВАЗИЛИНЕИНЫХ УРАВНЕНИИ которое, очевидно, непрерывно по переменному у. Покажем, что для этой же задачи существует бесконечное множество других автомодельных решений и(у).
Пусть, например, точки С и е> лежат на одной прямой, параллельной оси и;. С(ин О, ио) 0 (и,, —, из) (рис. 4.36). Ввиду наших предположений $,(ио О, ио) ) $,(и„О, ио) Ц(и,, ~, и~~~ ) ез (ио — ис). (13) Поэтому мы можем выписать также другое автомодельное и непрерывнос решение этой задачи о распаде: )= и при у(«й~(и ) (О, У'(у, и ) при е,(ио 0 иоз) ««у««е, (и, 0 иоз) (>' ($, (и„О, и ), и ) при $,(ин О, иЯ<у«0, Из(у, (и„О, ио)) при 0«уе-' —, Уз( — „(ин О, иэо)) пРи — «(У««е (ио ~ изо)' '( ( + "Л ° ~(" Ф "1.) < -~ (" -" Ф (ез (и1 ~ из) (и~ 2 из)) при У~~оз (~~ ' о ' йз)' и(у (! 4) дз + А (и) д = 0 ди ди (1б) трех и более квазилинейных уравнений рост решения и(х, Г) за дачи Коши с начальными данными и(х, 0) =ио(х) которое, очевидно, отлично от решения (12).
Произвольно изменяя величину и, ) ио, получим бесчисленное множество авто- модельных решений. Этот пример показывает, что для гиперболической системы трех квазилинейных уравнений задача о распаде может иметь бесконечное множество автомодельных решений. Наконец, мы отметим еще, что, возможно, неединственность решения задачи о распаде произвольного разрыва для системы типа (1) каким-то образом связана с общим свойством систем трех и более квазилинейных уравнений гиперболического типа, которое заключается в следующем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
