Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 105
Текст из файла (страница 105)
Таким образом, ввиду произвольности К ) 1 мы можем считать неравенство (30) выполненным в области 6. Итак, существует область 6 типа указанной на рис. 4.45, в которой все последовательные приближения БРО Гл. 4 ОБОБщенные Решения квАзилинейных уРАвненил (и) (л) г, (х, 1), д2(у, () обладают ограниченнымн первыми производными, Заметим, что в случае липшиц-непрерывных входных данных задачи Гурса аналогичным образом доказывается равномерная липшиц-непрерывность последовательных приближений.
Докажем сходимость последовательных приближений. Из уравнения (6) имеем следствие д М) (л-0 Ро (и-0 д (л) ( -0 (г! г( ) + Б( (г! г2 ~ х т) — (г( г( ) ~ < + [шах ! д )+ Е(! дг ! )( !2 г21~~ (л) (л-0 (л -0 (л -2) (М[Е!+1](~г! — г, !+п)ах! г2 — г, 1). (35) а С учетом условия (7) отсюда следует, что существует В > О такое, что (л) (л-0 (л-0 (и-2) 1 г( (х, !) — г, (х, 1) ! < В (! — т) (пах ~ г, — г2 ~ < а (л-0 (л-2) < В( шах ~ г, — г2 ~.
(36) (М (л -0 Величину ~ г,— г2 ~ нам легче оценить, исходя из характеристической системы (9). Из уравнений (9) и начальных условий (10) следует, что м) (л-0 (л — 0 (и -2) ~х,(1, 13) — х2 (1, 13)~<В(шах~ г, — г, 1, (л) (л-0 (л-0 (л-2) ~ г,((, )3) — г, ((, р) ~(В(шах ~ г, — г, ~. с Согласно нашим обозначениям (л) (л -0 (л) (и) (л — 0 (л) ~ г2(х, !) — г2 (х, !) / =(г,(хх((, р), С) — г2 (х2(4, )3), 4) ! (~ (л) (и) (л-0 (л-0 <(г (х2 (1, )3), 1) —, ( х, (1, р), !) (+ (л 0(л 0 (л-0 (л-0 (л) (л-0 + ~ !'2 ( х2 (!.
р) !) гг ( х2 ((, 13), !) ~ < ~ г2(1, р) — !'2 (т, 13) (+ Еа (и-и + !' ! Х2(1, Р) — Х2 (1, Р) ~. Подставляя сюда оценки (87), получим (л) (и-И (л — 0 (л 2) ! г2(х, 1) — г, (х, 1) ~ < В (пах ! г, — г, ! ((+ Е2). (38) 4 х системА кВАзилинейных урАВнений 621 Оценки (36) и (38) доказывают равномерную сходимосгь в области 6 последовательных приближений при достаточно малой величине (о. Таким образом мы доказываем существование решения поставленной задачи Гурса для системы двух квазилинейных уравнений. Интересно отметить, что в случае и =и Э неясен не только вопрос о существовании решения, но и сама постановка задачи Гурса.
7. Построение разрывных решений системы двух квазилинейных уравнений. Теперь мы рассмотрим несколько случаев построения разрывных решений системы двух квазилинейных уравнений, которую будем записывать в инвариантах: д! +еи(г, х, 1) д — — |А(г,х, |) (юг=1, 2), (1) а также в виде законов сохранения: ди, др,. (и, к, 0 д|'+ ' д ' — — й|;(и, х, 1) (1=1, 2). (2) Мы будем считать, что система уравнений (2) удовлетворяет требованиям (3.5,4) — (Э.5.12), только теперь входящие в эти условия функции 6А, )сь йь Пн Оь помимо аргументов, указанных в п. 5, зависят также от х и й Построение кусочно-гладких разрывных решений системы двух законов сохранения (2) было проведено независимо большой группой китайских ученых (см.
Ч. Х. Гу, Д, К. Ли и др. [1961 — 1962! ) и Б. Л. Рождественским [1962б, в, 1963). Локальное построение разрывных решений проведено в почти совпадающих предположениях о системе (2), однако методы построения в этих двух циклах работ несколько отличны один от другого. Изложение в этом пункте следует работам Б. Л.
Рождественского [1962в, 1963], так как этот подход более тесно связан с изложением методов решения систем квазилинейных уравнений гиперболического типа, принятым в этой книге. Мы будем искать обобщенное решение г = «(х, 1) системы уравнений (1), принимающее начальные значения г(х, О) = «и(х).
(8) Будем считать, что ги(х) имеет разрыв 1-го рода в точке х = 0; за исключением этой точки, иа отрезке [х[( а функция ги(х) предполагается непрерывно дифференцируемой. В случае, когда г,'( — О) ~ г',(+ О), |',. ( — О) (~ г,'(+ О) ВРЕ ГЛ. С ОБОБЩВННЫЕ РБШЕНИЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Аналогично случаю задачи о распаде произвольного разрыва, рассмотренному в п. 5, задача (1), (3) при условии (4) разбивается на три взаимно исключающих друг друга случая: а) гз(+ 0) < гс( — 0), Ц(го(+ 0) го( 0) го( 0) 0 0) ~~ <го(+ О) (5) б) го(+ 0) < го( 0) Р (г'( — 0) го(+ 0), го(+0) 0 0)) Б ( — О); (6) в) )с (гз(+ 0), гз( — 0) г'( — 0), О, 0) > г' (+0), гс (г'( — 0), гз(+0) гз(+0) 0 0) <г ( — 0).
(7) В случае выполнения (5) решение г(х, 1) задачи (1), (3) имеет линию разрыва ОЯО, индекса 1, выходящую из точки (0,0), и волну разрежения,У70,У,+ (рис. 4.46, а); при выполнении (6) из точки (0,0) выходят волна разрежения Ы~ ОЫ'~~ и Р х а) д ,Б 4 Рвс. 4.46 гг р линия разрыва ОЫШ индекса 2 (рис. 4.46, б).
Наконец, при выполнении неравенств (7) из точки (О, 0) выходят две линии разрыва 02'ш индекса 1 и 02'Б, индекса 2 (рис. 4.46, в). Построение решения г(х,1) различно в каждом из этих случаев, однако случаи а) и б) отличаются друг от друга лишь индексами линий разрыва и волн разрежения, Поэтому нам достаточно рассмотреть вопрос о построении решения лишь в случае выполнения неравенств (5) либо (7) Изложим способ построения решения г(х,1) в каждом из этих двух случаев. решение «(х,1) будет содержать лишь центрированные волны разрежения и не будет иметь ливий разрыва (ударных волн), Решение в этом случае может быть построено с помощью решения двух задач Гурса, рассмотренных в предыдущем пункте. Поэтому здесь мы будем рассматривать случай разрывных решений и от начальной функции гз(х) потребуем, чтобы, например, гю( 0) > го(+ 0) (4) 4 3.
Сигтемх КВАзилинеяных уРАВнения 623 Общим моментом для этих двух случаев является решение задачи Коши для уравнения (1) с начальными условиями г (х, 0) = г, (х), — а ~(х < О, заданными лишь слева от точки х = О, и начальными условиями г(х, 0) =г,(х), 0 <х(а, заданными лишь справа от точки х = О. Решение каждой из этих двух задач Коши является непрерывно дифференцируемым и может быть определено в области определенности каждой из задач методом характеристик, изложенным в главе 1.
Решение первой задачи определяется при х Рнс 4 48. Рнс. 4.47 этом в области 7, ограниченной справа характеристикой первого семейства ОЫ1, решение второй задачи — в области П, ограниченной слева характеристикой второго семейства, которую мы обозначим через ОУ2+ (рис. 4.47). Заметим, что в некоторых случаях может оказаться, что области ! и П перекрываются друг с другом, т.
е. линия 02'2 лежит левее линии 02',, однако для нашего дальнейшего рассмотрения это не имеет существенного значения. Решения этих двух задач в областях 7 и П мы дальше будем обозначать через гн(х,7). Согласно результатам главы 1, гн(х, 7) обладает ограниченными первыми производными по переменным х и 7; мы будем считать, что эти производные ограничены по модулю числом С =» О. В случае выполнения условий (5) построение решения начинается с решения задачи Гурса для системы уравнений (1) с условиями, заданными на характеристике ОУ2.' г, (х, 7) ~ + = г', (х, (), 2 и в точке (О, 0): 1цп г,(7(12(г'(+ О), й, О, 0), () = Р, 2.+О где 14 ~г'(+0) г ( — О) г ( — 0) 0 0)<й~(г (+0). аз4 Гл.
4. Овоешенные Решения кВАзилинеиных уРАВнениЙ Решение этой задачи строится методом, изложенным в п. 6. Пусть при 0 <1< Т в зоне Уо ОУо (рис. 4,48) построено решение этой задачи, Согласно п. 6 решение г(х, 1) этой задачи Гурса является гладкой функцией и, в частности, дифференцируемо вдоль характеристики О.м'о . Решение г (х, 1) в зоне Ыо 02'о+ мы также будем обозначать о(к, »). Дальнейшие построения имеют целью определение функций »1(х, 1), го(х, (), удовлетворяющих следующим условиям: 1) Т„йо определены в зоне .У1~027, содержащей зону .У1 О.Уо, и удовлетворяют в зоне .Т1~0х7 системе уравнений (1), 2) Интегральная кривая 02'р, уравнения — „= Р1(», (х, 1), г,(х, 1), х, г), (8) проходящая через точку (О, 0): к (0) = О, целиком лежит при 0(1(Т внутри зоны,У1~0лР1 . 3) На линии О,У7 выполнено условие т,(х, 1)1 =г',(х, 1), (9) (10) а на линии 02'р, — условие го(к, ) !р„„йо(~1 (х, 1), го(х, Г), х, 1). 1 (11) Легко заметить, что если такие функции Т„ГЕ и линия Орр, найдены, то обобщенное решение задается формулами »(х, г) в зоне 2'р,02'о, г(х, 1) = г,(х, ») вне зоны,'У'р,О,'х:о.
(12) В самом деле, формула (12) определяет разрывную на линии Ом'р, функцию, которая всюду, кроме линии разрыва, удовлетворяет системе уравнений (1). На линии разрыва 09Рр, решение г(х,г) удовлетворяет условиям Гюгонио и условиям устойчивости. Итак, задача сведена к построению функций гь г,, удовлетворяющих требованиям (1), (2), (3), сформулированным выше. Мы укажем сейчас метод последовательных приближений, с помощью которого могут быть построены эти функции. 1о1 Определим функцию го(х, ») слева от линии 02'о.
Будем 1о~ считать, что г,(х, 1) не зависит от х и на линии 02'о принц- 4 3. системА квхзилинейных уРАВнений 625 удовлетворяющее на линии О'Гз условию (1) г, !о -=г',(х, !). Рис 4.49. (1) н)„ Решение г( однозначно определяется в зоне Ы'1+027 (рис, 4.49), (1) где О,У~) — характеристика уравнения (19), проходящая через точку (О, 0). Согласно нашим условиям г',(+ 0) < »А)( — 0), по- (1) этому при достаточно малых Т в зоне .У'1~05.'1 будет выполняться неравенство (1) г,(х, 1) < г', (х, 1), Из условий (3.5.!1) следует, что 0) (о) ь((»1(0, 0), г,(0, 0), О, 0) = = $1 (»1(+ О), !(( (»1(-)- 0), гд( — 0), О„ 0), О, 0) < < К)(г"1( — О), г", ( — 0), О, 0) (14) В неравенстве (14) в левой части стоит наклон линии ОЯ'~+ в точке (О, 0), в правой — наклон характеристики 02'1 в точке (О, 0). Поэтому из выполнения этого неравенства следует, что (1) „ при достаточно малом Т кривая ОУ(+ лежит слева от ОУ), как это и показано на рис, 4.49.
(1) „ Теперь в зоне 2'~~02'~ рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение ((х — = Т)1(у) (х, 1), гэ(х, (), х, 1), (15) мает те же самые значения, что и »А(х, 1), Таким образом, (о) Г,(х, 1) определена слева от 02', и задается формулой (о) г (х, 1) =»А(х(Е), 1), где х=х(1) — уравнение линии О,У'1. (1) После этого определяем й( (х, 1) как решение уравнения Э»1 (1) (О) Э»1 (и (1) .8~ — + 91 (гь г,(х, 1), х, 1) — = о) (1) (А) = (1(»1, г,(х, г), х, 1), (!З) ГЛ, 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
