Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 109
Текст из файла (страница 109)
Нишида [1968] показал, что для системы двух квазилинейных законов сохранения — — — =О, ду ди (17) д» дх задача Коши с начальными функциями У(х„О)= Уи(х), и(х, 0)=из(х), которые ограничены и имеют локально ограниченную вариацию, а Уи(х) >6 > О, также имеет обобщенное решение в случае р(У) = а»/У. Н. С. Бахвалов [1970] выделил класс систем двух квазилинейных уравнений, включающий в себя, в частности, систему (17) прн р(У) = а»У», 0 = у ( 2, для которого теорема Глимма справедлива без предположения о малости полной вариации начальной функции. Для этих конкретных систем двух законов сохранения в силу их специфики удается провести оценки ограниченности решений и их вариации (т. е.
доказать оценки (5) — (7) без условия малости (4)), Аналогичный подход к проблеме имеется также в работах Диперна [1973, 19766] и ряде других. Н. Н. Кузнецов и В. А. Тупчиев [1975] обобщили теорему Глимма в другом отношении: для более общих систем законов сохранения, не удовлетворяющих «условиям выпуклости» (2), они показали применимость этого метода. Иной подход к проблеме существования решения задачи (1) был развит Т.
Занг, Ю. Ф. Гуо [1965], которые рассмотрели задачу Коши для системы (17) с давлением р = р(У), удовлетворяющим обычным условиям выпуклости р)(У) ( О, р" (У) > О. Однако начальные функции не произвольны, они должны удовлетворять некоторым условиям упорядочения, которые, грубо говоря, означают, что все возникающие в решении ударные волны движутся в одном направлении, а волны разрежения — в другом.
В этом случае не требуется малость вариации начальных функций, достаточно их ограниченности. В. Ю. Ляпидевский [1974] доказал единственность решения задачи Коши для системы (17) в тех же предположениях. б44 ГЛ. З ОБОЕ!ПЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КВАЗИЛИНЕИНЫХ УРАВНЕНИИ В работе В. Ю. Ляпидевский (1975) доказывает единственность решения задачи Коши для более общей системы из двух законов сохранения, однако лишь в классе решений, имеющих конечное число линий разрыва. Накоиец, отметим, что изложенная здесь методика Глимма обобщена на случай начально-краевых задач для систем законов сохранения (см.
А. Доктор (1977)). !О. Метод вязкости для системы квазилинейных уравнений. Феномены метода вязкости. В главе 2 мы видели, что ударные волны в газе или жидкости могут рассматриваться как пределы течений вязкой и теплопроводной жидкости, познакомились с применением некоторой нелинейной вязкости (вязкость Неймана — Рихтмайера). В пп. 2, 7 5 2 атой главы показано, что устойчивое обобщенное решение одного квазилинейиого уравнения является пределом решений уравнения с «вязкостью» при стремлении коэффициента вязкости к нулю. Для систем квазилинейных уравнений метод вязкости исследован еще недостаточно.
На примере однородной системы квазилинейных уравнений (1) гиперболической в узком смысле: $, (и) < йз(и) «... $„(и), мы покажем, что вопрос о выборе той или иной вязкости суще- ствен и требует большой осторожности. Соответствующую (1) систему уравнений с вязкостью будем записывать в виде дин дф (ии) д дип — н+ — и = )г — В(и ) —, д) дх дх и дх (2) где В(ии) — квадратная аХа матрица.
Тем самым мы ограничиваемся классом «дивергентных» *) вязкостей. Сделаем предварительно несколько самых общих замечаний. Очевидно, матрицу В надо подбирать таким образом, чтобы выполнялнсь следующие требования: а) корректность постановки задачи Коши для системы (2); б) решения и гладки при 1) О при любых кусочно-непрерывных и кусочно-гладких начальных данных; в) имеет место сходимость (в какой-либо норме, например в среднем) решений ии при )т-»О к устойчивым обобщенным решениям и(х,1) системы (!).
д ди ') дивергентная форма вязкости в виде —  — обеспечивает выполдх дх пенне условий Гюгонно иа фронте размазанной ударной волны (ср. гл.2,$6). а 3. системА кБАзил1и!еииых уРАВнений 645 Указать какие-либо достаточные требования, при выполнении которых будут иметь место условия а) — в), в настоящее время невозможно, ввиду того что системы (2) недостаточно изучены. Поэтому мы постараемся ограничить класс матриц В, опираясь на некоторые простейшие аналогии.
Рассмотрим случай линейных систем (1) и (2) с постоянными коэффициентами, когда 1р = Аи и А,  — постоянные матрицы. Заметим прежде всего, что тогда всякое решение и„(х,г) представимо в виде ии (х, 1) = и ( — ", — '), где и (к, 1) есть решение системы ди ди дии — +А — =В д1 дх дх (3) поэтому следует потребовать, чтобы было Йе р1 ) 0 (/ = 1, 2, ..., Й). (6) В самом деле, при Ке()1 <0 можно указать последовательность начальных функций, скажем, и (х, 0)= — 'е' У которая при у- оо стремится к нулю, но для которой решения и,(х,1), согласно (4), стремятся (по абсолютной величине) к оо при всяком 1 О. Условие (5) есть хорошо известное условие корректности задачи Коши для системы уравнений (3) по Адамару.
В последнее время было обращено внимание на то (см. 3. А. Искандер-заде [1966) ), что условия (5) в некотором смысле недостаточны для корректности рассматриваемой задачи. Рассмотрим поведение чисел Х при малых У. Если 1х~ — собственные значения матрицы А, а г1 и 11 — соответствующие Эта система имеет частные решения вида и= ииехР(1(А1+ ъх)), (4) 1Х Х где ии — собственный вектор (правый), а ( — —,) — собственное значение матрицы В+ — 'А.
Если 61 — собственные значения матрицы В, то при 1 у~ — и со Х= фр'+ 0(у). Согласно требованию а) мы хотим обеспечить выполнение условия и(х, Г)- 0 при и(х, 0)-+О, Б4Б ГЛ, 4 ОБОБШЕНИЫЕ РЕШЕНИЯ КВАЗИЛ1П!ЕПНЫХ УРАВНЕНИИ собственные векторы (мы, как обычно, допускаем, что и! веще. ственны и различны), то, как легко видеть, Л= — — а!т+ !уе((~ВГ!)+ 0(тз)„ Если для некоторого у = !о ()!,Вгл)(0, то, согласно (4), си- стема с вязкостью будет иметь частные решения вида и ) (!На~и) ~! и =е ои, где аи — ограниченная (при р-э. 0) фуикцвя, которые прн и- 0 будут стремиться при всяком ! 0 к оо. Согласно требованию в) мы должны исключить эту возможность и требовать, чтобы наряду с условием (5) выполнялось условие ((гВГ!)~)0 (1=1, 2...,, н), (6) Отметим, что требование (6) означает, что должны быть по- ложительны диагональные элементы матрицы вязкости в си- стеме, возникающей из (3) после ее приведения к инвариантам Римана.
По аналогии с линейным случаем также и для нелинейной системы будем требовать выполнения условий (5), (6). Рассмотрим некоторые простые примеры. гх — 01~ Будем искать частные решения и ~ — ) системы (2) и э зависящие лишь от одного переменного у= (х — ОГ)~И, т, е. и„(х, г) =и„(у), у = —.
и Функция и„(у) удовлетворяет системе уравнений уии ЛФ (ии) иии Лии — В(и ) — = йу и йу йу — Π— =(А( ) — ВВ) лу и которая допускает интегрирование йии В(ии) у — — !у(ии) Вии — С= р(ии), (7) где С вЂ” произвольный постоянный вектор, От решения и„потребуем, чтобы оно стремилось к постоян- ным значениям при у- ~ оо, т. е. ~ и ири у-у — оо, ии (У) -У + ( и+ прн у-+ + оо, Для существования такого решения необходимо, чтобы точки и = и —, и„= и+ были стационарными точками системы (7), т. е, г" (и ) =г" (и+) =О. 5 Х СИСТЕМА КВАЗИЛИНЕЙИЫХ УРАВНЕНИИ 647 Эти условия можно переписать в виде ф(и ) — Ф(и+) =0(и — и+).
Отсюда мы заключаем, что состояния и-, и+ должны быть свя- заны условиями Гюгонио. Этого, однако, еще недостаточно для существования инте- гральной кривой и„(у) системы (7), проходящей через точки и- при у = оо и иэ при у = +оо. Выясним некоторые дополнительные необходимые условия, для чего систему (7) перепишем в виде — „и =В (и„)Е(и„), где В-' — обратная к В матрица.
Разложим правую часть этой системы в ряд в окрестности стационарной точки, например, и = и . Тогда — (и„— и ) =В (и )( — (~ (ии — и )+ 0(~и„, — и ~~)= =В (и )еА(и ) — 0Е1(и„— и )+0(~и„— и ) ). Умножая эту систему скалярно на вектор (и — и ), получим (и„— и ) лу 2 =(и„— и )В (и )еА(и ) — 0Е1(и — и )+ 0(~и — и (). (ии-.-)' При возрастании переменного у величина 2 не убы- вает в окрестности и = и-; поэтому, если существует интеграль- ная кривая и„(у) системы (7), то матрица В-'(и-) [А(и-) — 0Е) не может быть отрицательно определенной.
Совершенно анало- гично устанавливается, что матрица В-'(и+) (А(и+) — 0Е) не может быть положительно определенной. Пусть существует искомое решение и„(у) системы (7). Тогда предел Г и при х — 01<0, 1)гп и„(х, г) =и(х, 1)=) + и„.,> и * ' Х и+ пРИ х — 0Г>0 есть разрывная функция, которая удовлетворяет условиям Гюгонио на линии разрыва х = 01 и, следовательно, интегральным законам сохранения системы (1). Однако это решение может оказаться неустойчивым решением системы (1), так как условия существования решения и„(у), которые обсуждались выше, и условия устойчивости разрйва и-, иэ различны.
а4а Гл 4. Ововщенные Решения кВлзпгн1нгг1ных ЕРАВнений Подтвердим это простым примером, построенным в работе Э. Б. Быховского 11962). Пусть и 2; ф(и)=( — и;, р(и1)); р'(и,) <О, р" (и,) > О. Тогда система (1) есть система уравнений изотермического течения нормального газа (см. гл. 2, $2), Пусть и+ = (1, 0), 0 > О, Покажем, что существует решение и„(у) при и; >1. Такое решение при )1- 0 переходит в ударную волну разрежения, которая, как мы видели в главе 2, является неустойчивым решением уравнений газовой динамики.
Выберем постоянную положительно определенную матрицу /а О1 В=~ ~, а, Ь>0, сФО. Ь Ь,) Тогда Собственные значения матрицы В-'(А(и) — 0Е), как легко проверить, являются корнями квадратного уравнения )1+ ~(а+ Ь) 0 — с) ) + 0~+ Р (и ) (8) аЬ Л аЬ Согласно условиям Гюгоиио р(1) — р(а! ) и — 1 Х/ — р' (1) > 0 > л/ — р' (и;), (9) или р' (1) + 0' < О, р'(и;) + 0' > О.
Так как а, Ь > О, то отс1ода следует, что корни квадратного уравнения (8) прн и, =-и+ =1 имеют разные знаки. Таким образом, собственные значения матрицы В-'(А(и+) — 0Е) разных знаков. Это означает, что точка и = и4 — седло.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
