Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 112
Текст из файла (страница 112)
3, Химическая сорбция и задачи хроматографии*). Пусть через трубку, содержащую сорбционно активное вещество (сор- бент), пропускают жидкую нлн газообразную смесь веществ, подлежащих разделению. Отвлекаясь от эффектов, связанных с влиянием стенок тоубки, будем считать задачу одномерной.
Пусть 1 — время, х — координата вдоль оси сорбционной колон- ки, и; — концентрация 1-й компоненты в смеси, ас — концентра- ция 1-й компоненты в сорбенте и У вЂ” скорость движения смеси в колонке, предполагаемая постоянной. Пренебрегая диффузионными потоками веществ как в смеси, так и в сорбенте, запишем уравнения сохранения массы каждой компоненты: аае гл, 4, ОБОБЩеННЫе РЕШения КВАЗилинеИНЫХ УРАВНении времени между сорбированным веществом и свободной смесью имеет место равновесие. Математически это выражается в том, что концентрация сорбированного вещества определена составом смеси, т. е. имеют место зависимости а,=1,(ин ..., и„)=(4(и) (1=1, ..., И). (3) Уравнения (3) называют обычно уравнениями изотермы сорбции. При этом условии система уравнений (2) переписывается в виде д4 (и+ 7 (и))+ 1' д" — — О, (4) где и, 7' — векторы с и компонентами.
Характеристические значения $ = е(и) системы (4) определяются из уравнения 0е( К((' — иби — Б й) =О. (5) Обозначим через Х = Х(и) собственное значение матрицы К'л л д( ~ — 4)~. Тогда, очевидно, из уравнения (5) получаем 1, ди1 Д ' (б) ~А(и)= ( У (У > 0), (7) т, е. скорость БА(и) характеристик дх —,„, =Ь (и) (8) системы (4) меньше скорости потока (А. Рассмотрим более подробно случай специальной нзотермы сорбции (3), когда а4 Й4Я а, = (4=-1, 2, ..., и), 1+~ ар, 5 1 Будем предполагать (на самом деле это следует из общих закономерностей характера сорбции), что все собственные значе- ~4' д(4 ХХ д( ния ХА(и) матрицы ~~ — д положительны, т.
е. матрица— Цди Д ди положительно определенная. Тогда из (б) вытекает, что собственные значения ь = БА(и) системы (4) удовлетворяют нера- венствам % 4. ПРИЛОЖИ!ИЯ КВАЗНЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 663 а систему (4) в виде — (о+ 4р(о)) + ~' — — О. (11) Будем предполагать, что все коэффициенты Генри Г! различны (если ряд Г; совпадает, то задачу можно свести к случаю, когда Г; различны), и занумеруем их в порядке возрастания: Г<Г« ... Г„. (12) Для изотермы (10) собственные значении Х определяются из уравнения )зе1(НГ;р — 5) ЬΠ— Г4о!)) = О. (13) Рассмотрим случай, когда о! Ф 0 прн всех 4=1,2, ..., л.
Тогда уравнение (13) преобразуется к виду (14) Уравнение (14) можно записать также в виде Р(Х, о)=1, (15) где 4 Х г А=! (16) Поскольку 4 рх(), о)= ~„ГАВА(ГАр — Х) '> О (оА > 0), (17) А=! то функция р(7., о) — монотонно возрастающая функция переменного Х, имеющая полюсы в точках Х" = Г р > 0 (рис. 4.56). Так как корни Х = ХА(о) суть абсциссы точек пересечения графика функции Р (Х, о) с прямой Р = 1 (рис. 4.57) и !" о„! 0<р(0, о)=~ А" =1 — — <1, =2. р'„р" = р А=! называемый обычно случаем лэнгмюровской сорбции.
Здесь а, — величина адсорбцин насыщения, е, — коэффициент сорб ируе мости. Вводя обозначения о, = й,.ир Г! = а,, й, (коэффициенты Генри), перепишем уравнения изотермы Лэнгмюра (9) в виде 4 4р,(о) = Ь!а! = Г, '„= — '', р= 1+ ~~ о„(10) !+~ о 4 ! Б64 ГЛ. !. ОВОВШЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КВАЗНЛННЕЙНЫХ У!'АВНЕНИИ то мы заключаем, что уравнение (15) имеет и действительных, различных, положительных корней А =- ХА(э). Эти корни удовлетворяют неравенствам О < й! (а) < ).;, А; ! < Х! (О) < АР (18) и согласно формуле (6) характеристические значения е = с,(о) системы (11) также действительны, различны и положительны; при этом > ь! (о) > ь2 (о) > > й„(в) > О, (19) т. е.
при условии Г;о; Ф О система (11) гиперболическая в узком смысле. Вычисляя левые собственные векторы ! = (1Д системы (11), найдем (с точностью до множителя) — (20) А 1 Г,п — ХА (с) ' а правые гь=ггА): Рвс. 4.57. г)= ' ' . (21) г,.р-х,(Р) Отметим еще некоторые особенности системы уравнений (11).
Для системы (11) существуют н инварнантов Римана, так что эта система может быть приведена к виду д)(! д)( — + КА (Р) — = О (!' = 1, 2, ..., и), (22) где Х2(Р) Я2(о) = — ' Р Разрывы решения о(х, !) системы (! 1), как обы !но, удовлетворяют условиям Гюгонио, которые в этом случае принимают вид 0[в+ !а(в)) = )7(о), 0= — „ (23) и условию устойчивости ~А(о(х — О, !)) > 0 > $2(о(х+О, !)). (24) Интересно отметить, что для системы (11) волны разрежения ()( = сопз1 при !' М й) й-го типа совпада2от с адиабатой Гюгонио 72-го типа, т.
е. прямая )г!(о) = сопз! (! Ф й) дает решение уравнений (23). $ ь пГ1!ложения квизилипег4ных уРАВнепии ббб Различие в скоростях характеристик ~А(р) объясняет способ разделения компонент смеси в сорбентс. Способ разделения ком. понент, основанный на различии коэффициентов Генри, носит название хроматографии. 4.
Приложения к дифференциальной геометрии. Задачи геометрии связаны с нелинейными дифференциальными уравнениями. Поэтому геометры первыми начали систематическое изучение нелинейных дифференциальных уравнений и их решений. Не случайно выдающийся геометр прошлого столетия Риман получил основные результаты в газовой динамике, во многих отношениях оставшиеся непревзойденными и в настоящее время. Мы укажем здесь на связь теории квазилинейных уравнений с одним из разделов дифференциальной геометрии — теорией поверхностей. Пусть на некоторой гладкой поверхности в трехмерном пространстве осуществляется метрика еьи = 4(хз+ В2 (х В) е(у2 (() где линии р =- сопз1 — геодезические липин на поверхности, а линии х = сопз1 — семейство ортогональных к ним траекторий.
Такая система координат (х,р), введенная на поверхности, носит название полугеодезической. Гауссова кривизна К(х, у) поверхности определяется лишь метрикой (!) с помощью формулы В" (х, у) + К (х, у) В (х, В) = О. (2) Если задана лишь метрика (1) (первая квадратичная форма), то вопрос о существовании поверхности в трехмерном евклидовом пространстве, реализующей эту метрику, сводится к нахождению коэффициентов 1 (х, р), М(х, у), Л4(х,14) второй квадратичной формы. Этн коэффициенты должны удовлетворять основным уравнениям теории поверхностей — уравнениям Петерсона — Кодацци "): пи ̄— Т.и — — „М, Л4,. — ̄— — „(й1+ В В) — — М. (З) С другой стороны, гауссова кривизна поверхности может быть вычислена и внешним образом, через коэффициенты второй квадратичной формы. Для этого служит формула Гаусса В2К вЂ” ) 4у М2 (4) Если теперь мы исключим из уравнений (3) с помощью (4) одну из величин Е, М, Л4 то получим систему двух квазилинейных уравнений с двумя независимыми переменными х, В относительно двух искомых функций.
') См Ближне, 24ифференииильнии геометрии. 011ТИ, М.— Л., 1ОЗГН аав гл ь оьоьщвнные гашения квхзилинаиных ррхвньнии Исследуя эту систему уравнений, легко установить, что она является эллиптической в случае К О, параболической при К = О и гиперболической в случае К ( О. Итак, в случае отрицательной гауссовой кривизны К ( О уравнения Петерсона — Копании сводятся к системе двух квазилинейных уравнений гиперболического типа. Характеристиками при этом являются интегральные кривые уравнения 7.
!(ха+ 2М г(х !(у+ Лг Й)з= Π— линии, называемые в геометрии асимптотическими линиями поверхности. Как мы видели в главе 1, для всякой системы двух квазилинейных уравнений гиперболического типа можно ввести инварианты Римана. Несложные вычисления приводят к следующим выражениям для инвариантов: Г= — М вЂ” В З/ — К вЂ” М + В фг — К Ж а=В р( (б) после чего уравнения (3) приводятся к виду дг в дг Вх (г — в) Г дЯ г доз — з(1 ( гз) дх В дд В 2 ). дх В дд )' ) — + — — ~ — + — — = — г(1+ з ) — '+ дв г дв Вх (в — г) Г дЯ в д!)з дх В дд В 2 ).дх В дд)' + ~, (7) а=~ вг — к7,д, в=в[,а.
Если положить г=1пФ!, з =1пфь то Фь Фз — Углы, обРазованные на поверхности направлением асимптотнческих линий (характеристик) с направлением геодезических линий у = сопз1. При этом система (7) записывается еще в следующем виде: дф~ дф1 Мп фв дф, . Вх ! . д!7 = Соз Фх — + — = 3!П Я~а — + — $1п гв —, двв дх В дд В 2 дв,' дфв дфв в!и ф~ дфв ° Вх ! дЯ (8) — = соз Ф! — + — = — з(пФ, — — — з(пв —, дв~ дх В дд В 2 двв ' и=% Фг.
Если мы посмотрим теперь на систему уравнений (7) либо (8), то легко заметим, что система (7) является слабо-нелинейной системой квазилинейных уравнений, так как 5 г Ь!= Ьз= —. В(х, д) ' В(х, д) ' Регулярная поверхность отрицательной гауссовой кривизны К(х, у) ( О обладает различными направлениями асимптотических линий (характеристик), так что мы можем считать, что в точках регулярности г Ф з, т. е, в! Ф Зм т. с. системы (7), (8) 4 с пРилОжения кВАзилинеиных уРАВнений 667 являются в точках регулярности гиперболическими в узком смысле.
Как мы видели в главе 1, слабо-нелинейные системы обладают замечательным свойством: решения таких систем остаются непрерывными и гладкими, пока ограничено само решение. Аналогичное свойство имеет место и для решений системы (7) либо (8). В начале этого века Д. Гильберт сформулировал гипотезу о том, что не существует полной регулярной поверхности отрицательной гауссовой кривизны К(х, р) ( в ( О, погруженной в трехмерное евклидово пространство. Он же дал и доказательство этого утверждения для случая постоянной гауссовой кривизны К = — 1. Поскольку система (8) является слабо-нелинейной, то причиной несушсствования поверхности К(х, р) ( — 1 яв.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
