Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 113
Текст из файла (страница 113)
ляется не образование разрыва решения (как можно было бы думать), а также не неограниченность решения (как видно из записи (8), решение остается ограниченным в конечных точках х, р). Поэтому причиной несуществования решений в целом системы (8) является вырождение поверхности, т. е.
случай гр1 = <рм со = О. Во всех известных случаях, действительно, на краю поверхности получается, что оз = О, и поверхность не может быть продолжена гладким образом за границу (край). Отметим, что в последние годы было получено доказательство сформулированной гипотезы при некоторых ограничениях на производные от К(х, У). 5. Уравнения магнитной гидродинамики.
В этом пункте мы получим дифференциальные* ) уравнения, описывающие одномерное движение электропроводного газа в магнитном поле. Если через Е и Н обозначить соответственно напряженности электрического и магнитного полей, то силу Г, действующую со стороны электромагнитного поля на единицу объема газа, можно, как известно**), записать в виде Г = р, Е + — [у Х В), (1) где о, — плотность электрического заряда, 1 — плотность электрического тока, с — скорость света. В формуле (1) принята гауссова система единиц для электромагнитных величин. Прн протекании в неподвижном веществе электрического тока т' за единицу времени в единице объема выделяется энергия (джоулево тепло) ч) Г)ри изучении разрывных решений следует вывести интегральные заковы сохраиеаии. для простоты мы ограничиваемся здесь гладкими решеииими уравиеиий магниткой гидродииамики.
'*) И. В. Т а м м, Основы теоРии злектРичества. Гостсхиздат, Мч 1946. ааз гл. ! оьоыцшн1ы1 рен!гния квлзнлРН1сРтных урлвнвннп В случае, если проводник движется со скоростью и, то Я = Е'(', где Е', )' по формулам электродинамики с точносзью до членов порядка и2/са записываются в виде Е'=Е+ —,[и)<В1, Т'=7' — р,и, (2) где  — индукция магнитного поля. Электромагнитные поля удовлетворяют системе уравнений Максвелла го! П= — ' г+ — —, 4л .
! д2з С С д! 11(у Р = 4по„ ! д22 го1 Е= — — —, (3) се!У В.= О. При этом Р = еЕ, В = !2П (в, !2 — электрическая и магнитная проницаемости газов). Мы будем считать, что рассматриваемая нами среда удовлетворяет условию квазинейтральности. Это означает, что суммарный электрический заряд всякого элементарного объема равен нулю (о, = О).
Тогда !' = !. Среду, удовлетворяющую условию квазинейтральности, обычно называют плазмой. Наконец, для хорошо ионизированной плазмы можно с достаточной точностью полагать, что В = П, Р = Е. Для определения плотности тока ! воспользуемся законом Ома: ! = оЕ' = о [ Е + — [и Х Н)) .
(4) в уравнения движения входит сила 1: — + (и!2) и + — ига!( р = —, да ! д! Р Р (6) а в уравнение баланса энергии, записанное для энтропии Е еди- ницы массы газа, входит джоулево тепло: — + (и'22) 5 = — = —, дд О !'2 д! РТ РТа ' (7) Таким образом, полная система уравнений, описывшощая движеРРие плазмы в электромагнитном поле, есть система (3) — (7). Получим уравнения, описывающие движение плазмы.
Опи состоят из двух групп: уравнений Максвелла в движущейся среде н уравнений гидродинамики. Последние должны учиты- вать действие электромагнитной силы (1) и выделение в единице объема д>коулева тепла г;Р = 1'/о, Очевидно, что уравнение неразрывности остается неизменным: ~р +б(урн=О, др (5) » 4. ПРИЛОЖЕНИЯ КВЛЗИЛИНЕИИЫХ УРАВНЕНИИ При этом «электромагнитные» уравнения (3), (4) связаны с «гидродинамическими» (5) — (7) только правымп частями: в (3) входит зависящая от скоросте и функция 1, а в (5) — (7) входят зависящие от Е и Н функции 7', 1.
В большинстве представляющих интерес для практики случаев система (3) — (7) может быть несколько упрощена. Дело в том, что даже в случае довольно холодной плазмы обычно 1 дЗ можно пренебречь в системе (3) током сме1цения — — по 4п д! сравнению с током проводимости !. При этом, очевидно, следует отбросить уравнение 8!уй = О. Тогда из системы уравнений (3) — (7) искл!очается Е, и уравнения (3) принимают впд (8) Рассмотрим дальнейшее упрощение системы, предположив, что электропроводность плазмы о бесконечно велика, т.
е. рассматриваемый газ является идеальным проводником. Прн этом предположепип закон Ома (4) заменяется условием конечности тока 7', т. е. уравнением Е= — — (иХН) а уравнения (8) принимают вид 8 1УН = О, — + го1 [и Х Н 1= О. (9) го1 ™ Х Н = — йгаб — + — (Н,Н) + — (НУН) + — (Н,Н), то уравнения (б) преобразуются к виду д! + (Ит!) и + — кгаб (р + — ) = 4 ! ~ д (Н Н) + д (Н и) + д (Н Н)з (1О) а уравнение (7) переходит в условие адиабатичности %+(иЧ)Я=О. (11) Система уравнений (5) — (7) упрощается в этом случае очень существенно.
Так как 7 — го1 Н, $ — — (7 Х Н( — — ( 1 Н Х Н1 Вто ГЛ, Е ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КВАЗИЛИНБЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Рассмотрим одномерное движение, т. е. предположим, что все величины зависят только от х и й Тогда из уравнений (9) следует, что Н = Н, = сопз!. Выпишем нашу систему уравнений (5), (9), (10), (11): дыу д — „" + —,х ( хну — иуН,) д! + дх (и„Н, — и,Н,) дн, д дих дих ! д I Агу+и» ! — х+ и,— х+ — — (р+ " / д! х дх р дх ~. Бл ! диу диу ! д — + и„— У вЂ” — — (Н,Н ) д! " дх 4лр дх У вЂ” '+и ' — — (Н Н) дих дих 1 д д! " дх 4ли дх др дрих — +— д! дх дЗ дд д! " дх =О, =О У =О, [ (12) =О, Система (!2) связывает семь переменных: р, 5, их, и„, и„Н„, Н,— семью уравнениями.
Записывая характеристическое уравнение для системы (!2), получим /др 'х 77~С Ну + К~ где си=[ — [, аи —, Ь'= [, др(З' 4лр ' 4лр Первый множитель дает обычную энтропийную характеристику (линию тока) яу —— их, второй множитель — так называемые альфвеновские характеристики Б ! = и„~ а. Паконец, последний множитель в (13) дает еще четыре вещественных корня: эху=и„+ а; Ьз=и„=Еа+, где ! а з/2 (с'+ а'+ Ь') — ~/ ! а+ ——— зГ2 (с'+ а'+ Ь') + !/(с'+ а'+ Ь')' — 4с'а'. Эти характеристики называются соответственно медленными и быстрыми магнитозвуковыми характеристиками.
(их — Ц [(и„— $) — а~) [г(их — $)' ~(их — $)' — — ~— — с' [(их — $)' — а'[~ = О, (13) Литература (Ннфры перед названием работы указывают год издания; цифры в квад- ратных скобках указывают год издания оригинала ори ссылках на русский перевод работы.) А б а р б а н ел ь С., Г о тли б Д. (5. АЬагЬапе1, О. Оо!ГИеЬ) 1973. Н!рйег огбег асспгасу ИпИе 6!!!егепсе а1доНйгпз 1ог ОпазИ!пеаг сопзегчаИоп !а1ч ЬурегЬоИс зуз!ешз МаПь Сошр. 27, 123, 505 — 523. Адамский В. Б, 1956. Интегрирование системы автомодельных уравнений в задаче о кратковременном ударе по холодному газу. Акуст.
журнал 2, 1, 3. А л л е н Р., С а ус нелл Д. (((. АПеп, Р. Боп!ЬтчеИ) 1955. ((е!аха1!оп ше!Ьобз аррйед 1о бе1егш!пе 1Ье шоИоп !п Вяо д!шепа!опз о! а чисопз ПпЫ раз1 а Ихег( сП!пдег. Опас!. 3. Месй. Лрр!. Май. 8, 129 †1. Альтшулер Л. В. 1965. Применение ударных волн в физике высоких давлений. УФН 82, пып. 2, 197 — 258. Андер со н Д. (Апдегзоп О.
А.) !974. А согпрапзоп о1 пшпеНса! зо!п1юпз 1о йе !пч(зсЫ ейпаИопз о1 ПпЫ шо1!оп. 3. Сошр. РЬуз. 15, 1, ! — 20. Андреяиов П. А. 1975. Об устойчивости решений задачи Коши для квазплинейиых уравнений первого порядка. Матем. заметки 17, 1, 79 — 89. Арсении В. Я., Яненко Н. Н 1956. О взаимодействни бегущей н ударной волн в изотермическом газе. ДАН СССР 109, 4, 11 — 14.
Бабенко К.И., Гельфанд И. М. !958. Замечания о гиперболических системах, Научные доклады высшей школы. Физ.-мат. науки. Ьй 1, 12 — 18. Балакин В. Б. !970. О методах тина Рунге — Кутта для уравнений газовой динамики. ЖВМ и МФ 10, 6, !512 — 1519. Балл о у Д. (ВаПоп О, Р.) !970. 5о!пцопз 1о попИпеаг Ьурегйойс Сапспу ргойсгпз МПюп! сопчсхау сопгИ!!опз, Тгапз. Лшег. Май.
Бос, 152, 441 — 460. Бар и 1-!. К. 196!. Тригонометрические ряды. Физматгиз. Бахвалов Н. С. 1961. Опенка погрешности численного интегрирования квазилинейного уравнения первого порядка. ЖВМ и МФ 1, 5, 771 — 783. 1967. О параболических системах с малыми параметрами при старших производных. ДАН СССР 174, 2, 263 — 266. 1970. О существовании и целом регулярного решения квазилинейной гиперболической системы. ЖВМ и МФ 10, 4, 969 — 980. Б е к к е р Р. (Весйег й.) !921. 8(пзатчеИе ппд Ое!опа1!оп, 2, РЬуз. 8 (1921 — 1922), 321 — 362, ЛИТЕРАТУРА 673 Бе х е р т К.
(Вес!сег1 К.) 1940. 2иг ТЬеопе еЬепег 81готипяеп 1п гс!Ьисс8в!ге!еп Оавеп. Апп. РЬувй 37, 38. 1941. ОЬег д!е АивЬгеПип8 чоп 2у!!пдег ипд КийейчеПеп !п ге!Ьипяв(ге!еп Оавеп ипд Г1йвмййейеп. Апп. РЬув82 39, 169. Боропнхов В. А. 1969. К задаче о распаде разрыва дли системы двух квазилннейных уравнений. ДАН СССР 185, 2, 19 — 21. 1972. О распаде разрыва для системы квазнлинейньж уравнений„Труды Моск. матем.
обш-ва 27, 53 — 92. Бояринцев Ю. Б. 1966. О сходимости разпостиых схем для уравнений с переменными ковффипневтами. Труды Матем. ин-та АН СССР 74, 16 — 37. Брушлннсхий К.В., Каждан Я. М. 1963. Об автомодельных решениях некоторых задач газовой динамики. УМН 18, 2 (110), 3 — 24. Бур ш те йи С., Л4 яр ни А. (Вигв1есп 5., М!пп А.) 1970. ТЬ!гд огдег дИ!сгепсе тейодв !ог ЬурегЬо11с ейиаБопв.
3. Согпр. РЬув. 5, 547. Быховский Э. Б. 1962а. О недопустимых матрицах вязкости для уравнений изотермнческого движения газа. ДАН СССР 146, 4, 751 — 753. 19626.0 методе малого параметра («исчезающая вязкость») для системы уравнений газовой динамики. 7КВМ и МФ 2, 6, 1128 — 1131. 1972. Начально-краевая задача для уравнения и, + а (и) = О. ДАН СССР 202, 3, 5Н вЂ” 5!4. 1972. Краевая и начально-краевая задачи «в целом» для квазилинейного закона сохранения. ДАН СССР 215, 1, 17 — 20. Б сор ге р с И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
