Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 110
Текст из файла (страница 110)
Наоборот, в точке и = и- корни квадратного уравнения (8) одного знака (если они действительны). Позтому для существования интегральной кривой, соединяющей точки и-, и4, мы должны требовать, чтобы корни уравнения (8) были действительны и положительны, т. е. матрица В-'(и — ) 1А(и-) — 0Е) была и согласно нашим предположениям и, > 1, 0 > О. Так как р'(и!) < 0 и р" (и,) > О, то отсюда следуют неравенства 4 3 СИСЕЕМА КВАЗИЛИНЕИН!ЯХ УРАВНЕНИИ б42 положительно определенной.
Это будет иметь место при выпол- нении неравенств (и+Ь)0)0 1' — ('+'101" 0 р (и ))О (10) аЬ Легко видеть. что этим двум неравенствам можно удовлетво- рить, фикснровав произвольное с ) 0 и выбирая величину 0 ) 0 достаточно малой. Пусть величины а, Ь, с, 0 ) 0 таковы, что эти неравенства выполнены. Тогда точка и =(и;, и;) — узел (и, > 1, ие < 0) точка и+ = (1, О) — седло. Таким образом, картина интеграль- ие ных кривых системы (7) на плоскости переменных и1, и, имеет вид, изображенный на рис.
4.55. Стрелками на и; рисунке указано направление возра- у Е1 стания переменного у. Итак, существует при сделанных ограничениях интегральная кривая и = ин(у), проходя- а; .д щая через точки и-, и+. Устремляя в решении и„ параметр 1А к нул!о, получим в пределе ударную волну разрежения, которая является неустойчивой. До снх пор мы не учитывали условия (б). В нашем случае, как легко проверить, 11Вг! =а ~/ — р'(и,) — с+ Ь.~l — р'(и1), 12Вгз = а 'т/ — р (и1) + с + Ь 'у' — 12 (и1) . Если удовлетворены условия (10), при которых мы получили неустойчивую ударную волну, то, согласно (9), (11Вг1) < (а+ Ь) 0 — с < О, и! и! 2 2 1 1р(и)=( —, — ~, В= 1 2 ! 2/2 1 — а При 0<а<1 †1 2 ц/2 ') Пример предложен Н.
Н. Кузнецовым. т. е. (6) нарушено. Еще более простой и поразительный пример ') представляет система (2) в случае ь овоашвш<ма гашения кв»зилннияных хг»знании матрица В положительно определена, кроме того, она всегда симметрична и, очевидно, удовлетворяет условию (6). Система и» и» ) 2 (1) при ф = ~ †, — у распадается на два уравнения: да< д и< ди д и 2 2 — + — — =О, — + — — =О, д< дх 2 ' д< дх 2 а система (2) в этом случае имеет решение и,= — х/2 и,, Отсюда следует, что при р- О и< — — и,(у) =и< [ — 11 стремится ')</ к неустойчивому решению ( — и',, к<О, и< (х) = ~ , и', ) О, и» х ) О, уравнения Хопфа (и»(у) стремится к устойчивому решению).
Заметим, что интегральная кривая в этом случае проходит через точку и< = иг = О, в которой собственные значения системы (1) $< = и<, $» = и» совпадают (т. е. система не гиперболическая в узком смысле). Именно с этим связано то, что условие (6) в данном случае оказывается недостаточным. Возможны ли подобные примеры с симметричной матрицей вязкости для систем, гиперболических в узком смысле,— неизвестно.
Рассмотрим матрицу вязкости В = Ь (и) Е, которая, очевидно, удовлетворяет условию (6). Покажем, что в этом случае при а = 2 система (7) не может иметь решений, которые при )<-» О соответствуют неустойчивым разрывам. Действительно, если существует интегральная кривая и„(у), проходящая через точки и-(у = †) н иэ(у = оо), то невозможно выполнение неравенств Ц (и ) < 0 < $» (и+) (11) ни для какого й = 1, 2. В самом деле, пусть эти неравенства имеют место, например, для й = 1. Тогда, так как $,(и)) $<(и), то ~»(и+) ) О. Поэтому матрица В '(и+) [А(и+) — 0Е~)= в + ! Ь (и+) Ь (и+) = — [А (и+) — 0Е» = [А (и+) — 0Е) имеет собственные 1» (и+) — <) значения а < +), которые, .согласно (11), оба положительны.
ь <и+) % 3 юктгмх ив ю!!л!!!!! и!!Ых хрхз!!! !!!!и Как мы видели выше„в этом случае не существует интегральной кривой системы (4), соединяющей точки и —, и!., поэтому выполнение (11) невозможно. Аналогично доказывается невозможность (11) при й = 2. Итак, в случае В = Ь(и)Е ни для какой интегральной кривой не может выполняться (11). Заметим, что отсюда еше не следует, что все решения и„(у) при и-»0 будут стремиться к устойчивым решениям системы (1), так как дл ! произвольных систем условия устойчивости не формулируются а виде неравенств (3.1.10), (3.1.11).
Тем не менее для систем, для которых этн неравенства гарантируют единственность, матрицы вязкости рассмотренного вида дают лишь устойчивые решения. Некоторые преимушества единичной матрицы вязкости можно установить и в более общих случаях (см. Л. Фой [1964] ). Общие матрицы вязкости, но для систем более специального вида рассматривались в работе А.
Г. Куликовского [1962]. Преимушества единичной матрицы вязкости не означают, конечно, ее предпочтительности. На практике приходится пользоваться более сложными матрицами вязкости. Так, например, для вязкой и теплопроводной жидкости «матрица вязкости» не является единичной. С помощью метода вязкости успешно исследован вопрос о допустимых разрывах для общих систем из двух и более законов сохранения. В работах В.
А. Тупчиева [1964, 1966, 1973а] формулируются условия допустимости разрыва для достаточно общей системы законов сохранения. Там же вводится понятие допустимой матрицы вязкости и устанавливаются достаточные условия, при которых матрица вязкости допустима. Интересно применение специального вида вязкости, когда матрица В(и) в (2) заменяется на (В(и) и система уравнений (2) имеет вид д! + д «" д (и) дх див д!»(ии) д ди„ (12) Такая форма вязкости применялась в работах А, С. Калашникова [1959], В.
А. Тупчиева [1964, 1972б], К. Дафермоса [1973а, 1974]. Система уравнений (12) инвариантна относительно преобразования подобия х' = йх; 1' = йг (й ) 0). Поэтому задача о распаде произвольного разрыва для системы (12) имеет автомодельное решение и„ = и„(у), у = х!г, аналогично задаче о распаде разрыва для системы без вязкости. Это решение удовлетворяет системе обыкновенных дифференциальных уравнений дии ~!г (ии) дии 1х — В(и ) — = — у— и д!К дд (!3) взя Гл.
е ОБОБщенн1ае РРВ!е1!ня ХВАЗплпнгпных уРАВнГння и краевым условиям на бесконечности ) и при у -э — оо, ] и+ при у- + оо. (14) — +р — =О, дР 0 ди д! дэ (! 5) — так называемую модель Бюргерса, — которые совпадают с уравнениями газовой динамики с вязкостью в лаграижевых Изучение структуры решений задачи (13), (!4) приводит к необходимым условиям на разрывах решения и(у) = !Нп и„(у) Р-Р-КО задачи о распаде для системы уравнений гиперболического типа. Более подробно рассматривалась система двух законов сохранения, для которой изучалась структура решения и(11) и для «невыпуклыхъ систем (см, цитированные выше работы).
В частности, показано, что на допустимых разрывах решения и(у) должны выполняться условия (3.2.32), (3.2.33). Теперь рассмотрим более общие задачи для уравнений с вязкостью. Наибольший интерес представляют уравнения движения вязкого и теплопроводного газа или близкие к ним системы уравнений. В главе 2 3 5 мы уже рассматривали автомодельные решения уравнений движения для вязкого и теплопроводного газа, которые были применены для изучения структуры ударного перехода. Более общие задачи — задача Коши и смешанные задачи — изучены в настоящее время недостаточно.
Вопрос о глобальной разрешимости этих задач для большинства случаев остается открытым. Математическое исследование системы уравнений Навье— Стокса для сжимаемого вязкого и теплопроводного газа было начато Дж. Нэшем [1962]. Им доказано, что при любых гладких начальных данных на достаточно малом интервале времени су. ществует единственное классическое решение задачи Коши. Этн результаты были затем повторены и обобщены с применением другого метода в работах Н. Итая [1970] и А. И. Вольперта, С. И.
Худяева [1972]. В. А. Солонников [1976] доказал локальную разрешимость смешанной краевой задачи для уравнений баротропной сжимаемой вязкой жидкости. Поведение решений уравнений вязкого газа в целом по времени изучено пока только в одномерном случае, а также для модельных уравнений. Н. Итая [1974] рассмотрел простейшие модельные урав- нения а 3.
системА кВАзилннеяных уРАВнении ббз дУ ди да д / -1 ди — — — =О, — = — ~р)Т- — — р), д2 дд ' д1 дч 1. дд (16) д 1. 2 ) д ~ А.' ! д )1 д ( д ) с уравнениями состояния р)'=КТ, е=суТ (17) (см. гл. 2, формулы (2.5.14), (2.5.16) при у = 0). Центральное место в доказательстве глобальной разрешимости задачи Коши для системы (15) занимает установление ограниченности и строгой положительности плотности р(д, г) при любом г' ) 0; в случае краевой задачи для системы (16) надо также установить зто и для температуры Т. Из второго уравнения системы (15) следует ограниченность сверху и снизу скорости и = и(д,1) при любом г ) О, после чего легко устанавливается ограниченность сверху и снизу плотности р(21,1).
Для системы (16), (!7) в работе А. В. Кажихова [1976] ставятся начальные и(Ч, 0)=и ()), Р(Ч, 0)=)ТР()) >О, Т(Ч, 0)=ТА(Ч) >О, (18) о<д<д и краевые рР— — р=о, х — =0 (д=о, 7=д1) (19) -1 ди дТ дд ' дд условия. Условия (19) описывают истечение теплоизолированной массы газа в вакуум. С помощью введения новых безразмерных переменных р=— 6= —, Т Т, х= —, Ч1 и О= —, и, ' где 1 (Т = — ~ Р (11)'И ~1 О Ч1 21 2 Т,=— 2 д1 СУ и и1 = —, координатах, если в них положить р — = сопз1. Н. Итая доказал существование и единственность классического решения задачи Коши для системы (15) для любых 1 ) О.
В работах А. В. Кажихова [1975, 1976] доказаны глобальные теоремы для некоторых смешанных краевых задач для более общей модели баротропной жидкости и для системы уравнений совершенного политропного газа с вязкостью и тепло- проводностью В54 ГЛ, В. ОБОБШВН))ЫЕ РЕШВНПЯ КВАЗНЛННЕИВ)ЫЯ ЯРАВНВНИО! приводим уравнения (16) — (19) к виду д до до д р' до т д — Р+рз = О, — — р — — й (рй), дх дх ' дх дх (. дк ) дх (й = Р/с„, Х = и/1хс„) (20) — — йО=О, — =0 прн х=О, х=1.
(21) до де дх ' дх 0(л) ~~ро(х), Оо(х)»(М < оа, (22) Получим оценку для р (х, !). Интегрируя второе из уравнений (20), найдем: в дз(')о1д д ! до о Так как из первого уравнении системы (20) следует, что до д!п р р — = — —, то отсюда имеем после интегрирования по т: дх дт к р(в г)„р1((р(,,)в(,,)в,~= о =р,( ) *р(1 (,(в) — (в )) рвф. (вв) хо Умножим формулу (23) на йй(х, т) и вновь проинтегрируем полученное равенство по т. Мы получим р(р1р(, )в(, )в~в о хк в-в (*)(в(, ) р(!( (!) — в, ))р))р, (вв) Комбинируя (23) и (24), получаем соотношение !'к р.(*)- (1 ("а)- ((.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
