Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 108
Текст из файла (страница 108)
Мы ограничимся здесь -О. лишь обсуждением узловых моментов довольно эз эз сложного доказательства ~т ' — ~ ьэтой теоремы, отсылая читателя за деталями к ра- эг боте Дж. Глимма [1965). Сначала строится не- е е е которое семейство «при- эг эз пз ближенных» решений за- и 4ьт ел л дачи (1). На полуплоско- Рис 4.54.
сти Г)О введем «шахматную» сетку точек (гпп, пт), п = О, 1, 2...,, а пт при каждом и пробегает множество всех целых чисел таких, что гп+ и четно. Пусть функция о(х, Г) кусочно-постоянна на каждом слое Г = пт, где она имеет постоянные значения о" на каждом интервале (гп — 1) й < х < (гп+ 1) й (при т+ и нечетном). На рис. 4.54 указаны точками границы этих интервалов и буквами принадлежащие этим интервалам постоянные значенияо" азв гл, е ОБОБщенные Решения кВАзилинеиных уРАВнении Опишем процедуру построения по известным о" приближенного решения о(х,1) в полосе ит(1((и+1)т и последующего выбора постоянных значений о"+' Кусочно-постоянные значения о" на и-м слое ~ = ит примем за начальные условия для системы законов сохранения (1) и найдем решение о(х, !) этой задачи Коши в слое ит ( ! ( «(и+1)т.
Таким образом, в этой полосе о(х, !) является точным обобщенным решением системы (1) с кусочно-постоянными начальными значениями, т. е. нахождение о(х, 1) сводится к последовательному решению задач о распаде разрыва, сосредоточенного в точках сетки на и-м слое. Ширина этой полосы — шаг т — может быть выбрана столь малой, что волны, возникшие в результате распада разрыва в точках (т)г, ит) остаются при !'~(ит, (и+1)т) в интервалах (иг — 1)й(х « «= (и!+ 1)й. Тогда за время т эти волны не успевают вступить друг с другом во взаимодействие. Условие — „знр ~ СА (и) ~ < 1 (й = 1, 2, ..., и), (8) лап очевидно, обеспечивает нужную малость т.
В силу близости величин ол, и ол+, (которая следует из малости вариации ил(х) ), согласно теореме Лакса (см. п. 4), существует решение задачи о распаде дл дв (о) т-!' — + =О, о(х, ит)=~ д! дх ' ' ол х)!ий Ввиду выполнения условия (8) ол (х, !) определяется при всех и! таких, что !и + и четно, формулой л(х !) 1/(х л~а ° ол ол ) (9) ит ( ! ((и+ 1) т, (иг — 1) й ~ (х ((и+ 1) й. Пусть на каждом сеточном интервале ! =(и+1)т, (!и — 1)и( (х~((т+1) й выбрана произвольная точка х"+'.
Тогда пола гаем ~ хл+! ~А ол+! — ол (хл+! (и 1 1) т) 1' 'л ° ол ол ) (19) Формулы (10) позволяют определять рекуррентно последовательности (о") при и = 1„ 2, ..., если, конечно, заданы по- 5 х системА КВАзилинеиных уРАВнений б39 о = о(х, Г; Ь; а), определенную (9) и (10), в которых хп =(гл — 1)Ь+2Ьа". Согласно построению приближенного решения функция с (х, 1; Ь; а) является точным обобщенным решением рассматриваемой систе. мы законов сохранения внутри каждой полосы ат < Г < (и + 1)т.
Для доказательства существования с(х,(; Ь; а) нужно обосновать применимость теоремы Лакса к распаду разрыва во всех точках сетки, т. е. доказать достаточную близость сп н и" +, для всех а, т, а также принадлежность значений с(х,(; Ь; а) области ь), что необходимо для удовлетворения (8). За доказательством этих деталей мы отсылаем читателя к цитированной работе Дж. Глимма. Также без доказательства отметим, что приближенное решение о(х, Г;Ь; а) удовлетворяет оценкам, аналогичным (5) — (7): (11) (12) ецр! В(х, Г; Ь; а) — й !< Кепр! В(х, 0; Ь; а) — й !, 1о(чаг В(х, Г; Ь; а)< К 1о1чаг В(х, 0; Ь; а), 'в (х(пп (и('е ~ ! с (х, Гз1 Ь' а) — и (х, 11; Ь; а) ! йх < < К (т+ ! ГА — Г~ !) 1о1 маг и (х, 0; Ь; а) (13) сп (п(сп с постоянной К, не зависящей от Ь, а.
следовательности (х"). Полагаем о' =и,(хс), тогда формулы (10) можно рассматривать как некоторую конечно-разностную схему, аппроксимирующую задачу Коши (1) на сетке (х" ) (схема Глимма). Заметим, что задание совокупности точек (х") на полуплоскости г' ) О, х эквивалентно заданию совокупности точек хп а" = „фиксированного отрезка (0,1]. Эту совокупность будем обозначать буквой а. Ее можно считать точкой бесконечномерного пространства А = Ц [О, 1). пп и В качестве приближенного решения задачи (1) принимаем функцию с(х, Г), которая определена равенствами (9) и (10).
Оно зависит от параметров т, Ь и бесконечномерного параметра а = (а" ), Из параметров т, Ь будем считать независимым только один (Ь), фиксируя отношение т/Ь с выполнением (8). Параметры а" будем считать независимыми. Таким образом, в качестве приближенного решения мы принимаем функцию б4о гл. 4. ововшвпныв гашения квлзнлннвииых л звпвння Из неравенств (11) и (12) по известным теоремам теории функций следует, что прп каждом фиксированном 1 и а семейство функций о(х, Ь Ь; а) содержит последовательность о(х,1;Ьа а) (Ь; — 0), сходящуюся почти всюду и в среднем: о(х, г; Ь,; а) — ~ о(х, 1; а) для почти всех х, [о(х, 1; Ь,; а) — о(х, 1; а) [ах-+0 для любых хь х,.
к, Из неравенства (13) с помощью простого рассуждения следует, что из этой последовательности можно выделить подпоследова- тельность, которая сходится почти всюду в полуплоскости 1= О, а также в среднем в любой ограниченной области этой полуплоскости. Будем поэтому считать, что этими свойства- ми обладает сама последовательность о(х, ~; Ьб а)-+ о(х,1; а) (почти всюду при 1~ 0), Доказательство теоремы Глимма завершается рассмотре- нием иевязки приближенного решения о(х, 1; Ь; а) — ошибки в выполнении равенства (3) с гладкой финитной функцией а(х, 1): б(я; Ь; а)= ~ ~ (д4о+й„у(о))й4(х+ ~д(х,О)из(х)дх.
(14) с>о, -ео(к(» Учет того, что в полосах пт » ~ ((п+ 1)т приближенное решение о(х, 1; Ь; а) является точным решением, приводит к вы- полнению равенств ы+о~ 1 Ф 1 (ы4о+ыл( ))а Вт » ~ [д(х, (п+ 1) т)о (х, (в+ 1) т — 0; Ь; а)— — д (х, пт) о(х, пт; Ь; а)[Нх, и поэтому б(д; Ь; а)= Еб,(к; Ь; а), » О где бо(Ю Ь; а) = ~ д(х, О) [и, (х) — о(х, 0; Ь; а)) дх, б» (Ю Ь; а) = ~ д(х, пт) [о (х, п с — 0; Ь; а) — о (х, пт; Ь; а)[г(х.
» $3. системА квАзилинеиных уРАВнения 641 Доказать, что б-й.О при Ь-й О и любом фиксированном а (т. е. всюду на А) не удается. Поэтому будем рассматривать б как функцию переменных а=(а") и покажем, что невязка б стремится к нулю в среднеквадратичном, т. е. в метрике У,(А)1 ~1б(у; Ь; а))й((а — йО при Ь вЂ” йО. (15) Так как Ьй = 2; б' + 2 ~ ~ б„бй к!х и число значений п, при которых Ь„Ф О есть О ( — „) (ввиду финитности д), то для доказательства (15) достаточно показать, что ~ Ь„да ~СЬ, ~ ~ Ь„б ((а~(~ СЬь. (16) Первая оценка (16) является следствием равномерной на А оценки 1б„(д; Ь; а)1~СЬ1о(чаго(х, 1; Ь; а), которая легко проверяется. Для доказательства второй оценки из (16) обозначим через а" совокупность а" с фиксированным и и заметим, что б„(у; Ь; а)((а" (й-1-1) й д(х, тп) ((х ~ ((а" (о" '(х,пт) — о"-'(х", пт))= й (й-пй (й+и й ! д(х, пт)((х ~ ((а" (о" '(х, пт) — сй '(х" пт)~= й (й-пй о (А+и й (й+1) й 1 — у(х, пт)((х ~ (п" '(х, т) — о" '(у, т)1((у= 2~ 2И й (й-нй (й-1) й (йй1) й (йй))й 1 — $ (у(х, пт) — д(ЬЬ,пт)](Хх $ (о" '(х,пт) — о" '(у,пт)1((у.
й (й-1) й (й-н й Поэтому ~ ~ Ь„(у; Ь; а) ((а" ~ ~ м+пй йй < С( ~~, ~ ((х ~ 1о"-1(х„пт) — о"-'(х+ у, пт)1а(у< й (й-пй -йл ~4Ь)С(1о(чаго(х, 1; Ь; а), Еоэ ГЛ. «ОЗОВЩВННЫЗ ГВШВНИЯ КВЛЗИЛИНЗИНЫХ ГГХВНЗНИИ где С, — постоянная, оценивающая ~д,(х, 1) ~. Так как при т ( и б (я; Ь; а) не зависит от а" (она зависит только от а' при Ь «= т), то ~$6„6 о(а")~(~б ~ 0(Ь')=0()гз). Отсюда следует вторая оценка (16), так как, очевидно, )) б„б„,да~(~ ~6„б о(а" !. Итак, стремление 6(д;Ь;а) к нулю в среднеквадратичном смысле в бесконечномерном пространстве А (15) показано для любой гладкой финитной д(х,1).
Согласно известным теоремам теории функций существует подпоследовательность 6(д; Ьп а), которая при Ь; 0 стремится к нулю почти всюду в А. Простое рассуждение показывает, что эту последовательность можно выбрать общей для всех пробных функций д(х,1). Поэтому мы можем считать, что последовательность (Ь;), определяющая о(х,1; а) и есть эта последовательность. Итак, для любой точки а я В с А, где шез(А — В) = О, и любой пробной функции д(х,1) невязка 6(и; Ь; а)-»О. Совершая предельный переход при Ь; — 0 в равенстве (14), получаем (д,о(х, 1; а)+ д,~р(о(х, 1; а)) й о(х+ с>о -ао(х( ОР + ~ я(х, 0)и,(х) дх=О.
Следовательно, о(х,1; а) есть обобщенное решение задачи Коши (1), и теорема доказана. Снова подчеркнем, что теорема Дж. Глимма не устанавливает единственности решения задачи (1). Другой существенный недостаток этой теоремы — ее неконструктивность: конкретного алгоритма построения приближенных решений, которые стремились бы при Ь~- 0 к точному, в ней не указывается, ибо неизвестна сетка (а" ). Наконец, пожалуй, самым серьезным недостатком метода Глимма является то, что даже при априорном предположении о сходимости приближенных решений о(х,1; Ь; а) при Ь- 0 к некоторой функции о(х, 1; а) нельзя утверждать, что она есть точное решение задачи (1), так как б(д; Ь; а) при этом может не стремиться к нулю при Ь-~.О.
Можно сказать поэтому, что метод Глимма не является «сходящимся по не- вязке» (точнее, не доказано противное). 4 х системА кВАзилинепных уРАВнении б43 Несмотря на эти недостатки, теорема Глимма явилась первой теоремой, устанавливающеи существование обобщенного решения задачи (1) в целом для случая системы (и > 2) квазилинейных уравнений и, хотя и сильно ограниченного условием (4), но все-таки достаточно интересного класса начальных условий. Метод Глимма был применен рядом математиков для более частных систем законов сохранения, в результате чего для этих систем были получены более общие теоремы существования. Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
