Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 103
Текст из файла (страница 103)
4.39, в), а в случае г, > г+, г, > г+ также обязательно содержи! хотя бы одну ударную волну. Если нам удалось определить функции 142, 2)1, 141, 02, то, за исключением случая, когда рассматриваемое автомодельное решение имеет две 4) 4) Рис. 4.89, ударные волны, решение г(д) определяется явно.
В случае двух ударных волн (рис. 4.38) построение автомодельного решения г(у) сводится к решению системы двух уравнений )(>2(г„г ) = г„)21 (г„г ) =гь (29) Гае йь г2 — значение автомодельного решения между ударными волнами. Система уравнений (29) может быть решена методом последовательных приближений: (2 + 1) (2) (2 + 1) (2) г, =Р)(го,г ), Г2 =Р2(Г),г ); (о> (о> при этом мы можем положить г, =г;, Го=го+. Условие сходимости последовательных приближений <, дЛ2(Г!, г-) д)(> (г2, г+) ~ дг! дго (30) (31) очевидно, выполнено, если выполнены неравенства (5). Заметим теперь, что условие (31), более широкое, нежели (5), достаточно для единственности автомодельного решения.
К тому же это условие инвариантно по отношению к замене зависимых переменных, в отличие от требований (5). Условие (5) мы принимали для простоты, на самом деле достаточно условия (31). Пусть система двух квазилинейных уравнений удовлетворяет требованиям (2), (11), (12), (31). Тогда решение задачи о распаде для такой системы автомодельио. $3.
СИСТЕМА КВАЗИЛИНЕЯНЫХ УРАВНЕНИЯ 609 Действительно, пусть для системы квазилинейных уравнений (1) поставлена задача Коши (32) Обозначим ограниченное устойчивое обобщенное решение этой задачи через г(х, г) и докажем, что оно автомодельно, т. е. зависит лишь от переменного д = х/!. Пусть решение г = г(х, Г) задачи Коши (1), (32) непрерывно при г ) О. Это возможно лишь в случае, когда $!(г-) ( Ь(«Р) . Проведем через начало координат (О, 0) две характеристики х = е!(г )Г в и х = $е(г+) Г (рис.
4.40) . ТО~ Очевидно, что в зонах ! и 7,! П решение постоянно. Пред- Г положим, что в некоторой II окрестности линии х = З4~' = е!(г-) ! в зоне П! решение г(х, г) переменно. Но в ху этой окрестности ге(х, г) = Риа 4.40. так как $Е(« — ) ) ,.Р з! (г-). Поэтому функция г!(х, !) удовлетворяет в окрестности характеристики х = $! (г-) г' уравнению (33) Из уравнения (ЗЗ) мы заключаем, что вблизи линии х = $!(г-) ! в зоне !П функция г!(х, 1) постоянна вдоль прямых линий х=3!(«„г;)г+а. Очевидно, что зти прямые могут пересекаться лишь при г'(0 (рис. 4.41).
Совершенно аналогично мы заключаем, что в зоне 1П в окрестности характеристики х=$,(г+)! г,(х, г)=г!+, а гд(х, !) постоянна вдоль прямых, ко торые могут пересекаться лишь при 1~ О. Итак, г,(х, !) по. стоянна вдоль прямых х=5,(г„г;) «+ а!(г!), а)~0, а г,(х, Г) постоянна вдоль прямых х=$,(г+, г,)Г+~(г,), Р(0. Покажем, что и = р = О.
Если зто не так, то эти два семейства прямых пересекаются при ! ) О. В точке пересечения мы будем иметь г,(х, г) = г;, г, (х, !) = г+. Отсюда мы получаем, что в области ОАВС (рис. 4.42) г(х, Г) .= Сопз(, что возможно лишь в случае, когда г- = г+. В этом случае решение вообще постоянно и, следовательно, В!О ГЛ, 4, ОБОВШЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КВАЗИЛИНЕИНЫХ УРАВНЕНИИ автомодельно. Если же и — Ф г+, то а =- р = О. Если а = (3 = О, то непрерывное решение г(х, 1) автомодельно. Рассмотрим теперь случай разрывных решений г(к, 1) задачи о распаде разрыва. Предварительно заметим, что из условий устойчивости обобщенного Ф решения (3.1.10), (3,1.11) следует, что устойчивое обобщенное решение, ограниченное и Рис.
4.41. Рис. 4.42. кусочно-непрерывное при 1'-» О, не может иметь более двух линий разрыва, распространяющихся из одной точки в область 1) О. Поэтому достаточно рассмотреть случаи, когда решение имеет одну и две линии разрыва, выходящие из точки (О, 0) разрыва начальных значений. Рассмотрим случай одной линии разрыва.
Пусть решение г(к, 1) имеет одну линию разрыва ОА индекса 2 (рис. 4.43). Очевидно, что справа от ОА г(х, г) = и+, а слева от характеристики х = $~(г-)г' г(к,г) = г-. Анало. гично предыдущему, мы заключаем, У что в зоне ВОА г,(х, 1) = г;. Действи. Рис. 4АЗ. тельно, из условий устойчивости (3.1.10), (3.1.11) следует, что характеи'Х ристики д —— $и(г(х, 1)) пересекают одновременно линии ОВ и ОА и, следовательно, г,(х — О, г)~ „=г;=г,(х, г)~ . Поэтому на линии ОА заданы г,(х — О, 1) — г, г(х+ О, 1) — г .
(34) Согласно нашим предположениям о системе двух квазилинейных уравнений, по этим данным однозначно определяется скорость 0 линии разрыва ОА и значение г~ (х — О, 1) при этом эти величины будут постоянны: 1:1 = В (г,, г+), г, (х — О, 1) = )с1 (ги, г+). (35) $3. системА кВАзилинепных уРАВнениЙ 6!! Итак, линия разрыва ОА — прямая. После этого мы так же, как и выше, устанавливаем, что в зоне ВОА г(х, !) = г(у), т.
е. решение задачи о распаде, имеющее одну линию разрыва, автомодельно. Наконец, рассмотрим случай, когда решение г = г(х,!) имеет две линии разрыва ОА и ОВ (рис. 4.44), на которых вь!полняются условия устойчивости (3.1.10), (3.1.11). Опуская некоторые детали, заметим, что интегральные кривые уравнения В Ых — =$, (г(х, г)) (36) Ю в зове ВОА пересекают одновременно линии ОА и ОВ. На рис. 4 44 интегральная кривая уравнения (36)— кривая СЕ, при этом гс ) бп Анало- Е гично интегральная кривая С0 урав- Р ,У нения ВХ Рнс.
4.44. — = $,(г(х, !)) (37) пересекает одновременно линии ОВ и ОА, при этом гэ) Гс. Таким образом, мы можем написать г,(0) = гх(С), гз(С) = Е,(г,(С), г ) (38) г,(С)=г,(Е), г,(Е)=Я!(г,(Е), г+), (39) где через г(0), г(С), г(Е) обозначены значения решения в зоне !П в соответствующих точках. Подставляя (39) в (38), найдем г,(0)=ЕЕ(Е,(гх(Е), г"), г ). (40) Аналогично мы могли бы получить гг(0) = Из(Е! РЕЯ! (г9(Е'), г+), г ), г+), г ). Продолжая этот процесс и сравнивая его с процессом последовательных приближений (30), мы заключаем, что г,(0)=гм Ввиду произвольности точки 0 мы заключаем, что величина г,(х — О, !) постоянна на линии ОА и равна гх, аналогично г!(х+О, г) на линии ОВ равна г!.
Итак, решение г(х, г) постоянно в зоне ВОА, а линии ОА и О — прямые. Это и означает автомодельность решения г(х, !)= г(у), содержащего две линии разрыва. Доказательство автомодельности решения задачи о распаде в сочетании с единственностью автомодельного решения задачи о распаде позволяет утверждать, что решение задачи Коши о распаде произвольного разрыва единственно н автомодельно. ГЛ, С ОВОВЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ Задача о распаде разрыва для системы двух квазилинейных уравнений изучалась в предположении «выпуклости» законов сохранения, т.
е. выполнения условий (2), в работах Дж. Джонсона, Дж. Смоллера [1969], Дж. Смоллера [1969б] и ряде других. Изучалась структура решения, условия единственности (и существования) решения. Вопросы существования и единственности решения задачи о распаде для системы двух квазилинейных уравнений изучались также и при отказе от условий выпуклости (см., например, В. А. Тупчиев [1966], Б. Вендроф [1972], К. Дафермос [1973а, !974], Т.
Лю [!974], Л. Лейбович [1974]). В этом случае возникают линии разрыва решения„совпадающие с характеристиками по одну или по обе стороны линии разрыва, типа рассмотренных для уравнений газовой динамики в п. 9 9 6 гл. 2. В качестве условий устойчивости разрыва принимаются условия (3.2.32), (3.2.33); условие (3.2.33) должно выполняться вдоль волновой адиабаты индекса й, между ее точками и„, и и„р, где и„, и и,р — значения решения по разные стороны рассматриваемой линии разрыва.
Следует иметь в виду, что для произвольной системы двух квазилинейных уравнений эти условия устойчивости недостаточны для выделения единственного устойчивого решения задачи о распаде произвольного разрыва. 6, Задача Гурса для системы квазилинейных уравнений.
Теперь для системы двух квазилинейных уравнений +йь(т, х, !) А =72(т х !) (л=!, 2) (1) мы будем рассматривать некоторые более общие задачи, чем задача о распаде разрыва. Пусть $2, !АЙ С2 и $! (т, х, !) ( $2(т, х, !), > 0 (й = 1, 2). (2) Пусть кривая ОЖ, уравнение которой будем записывать в виде Х2(!), является характеристикой системы (1). На кривой 2'2 йзвестны дифференцируемые функции т24(х, !), т22(х, т). Кривая ОУ2 обладает непрерывной касательной и является интегральной кривой уравнения в.! = $2(тв(х, !), х, !), а функция тв(х, !) удовлетворяет на Ом'2 условию совместности т2 (Х2 (г)У 1) ~2 4 т~ 4 Х2 (1)э 1) Х 1) $ Э. СИСТЕМА КВАЗИЛИНЕПНЫХ УРАВНЕНИИ 613 Будем искать в некоторой области .'Т,02'и (рис. 4.45) решение г(х, () системы (1), удовлетворяющее условиям: 1' Решение г(х, 1) на линии ОЕАР, принимает заданные значения г()(х, т)1 г(х, 1) !о — — г~(х, 1) ! (3) 2' Функция гз(х,() имеет особенность в точке (0,0) типа автомодельной волны разрежения.
Аналитически это условие выглядит так: !Нпг ((~ (г(1(0, О), ин, О, 0), 1) =ин, (4) Г " э 1.+О Ах а параметр !) принимает значения из некоторого интервала Ф ,й 51<5<0,=Р4(0, 0). г Из условия (4) вытекает, что функ. ция г,(х,() должна обладать в точке (О, 0) особенностью вида () г(х 1)=к (~ 1) (5) 1(1ы будем искать такое решение задачи (1), (3), (4), что функция гз(х, т) представляется в виде (5); при этом Ат,(у,1) обладает непрерывными первыми производными по у и по 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
