Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 100
Текст из файла (страница 100)
е. мы приходим к выводу, что если и = и» вЂ” левое состояние, то правым состояниям отвечает лишь половина кривой и = = (?»(9»(и), и,), заданная неравенством »»(и) < $»(ир). (27) (29) Поэтому кривая У'Я»(и), и,) при у=$»(и) >$»(и,), РЯ»(и), и,) при я»(и)<$»(и,) обладает в силу уравнений (25) двумя непрерывными произ- водными, проходит через точку с!» и изображает семейство со- стояний, которые могут быть соединены с состоянием им рас- сматриваемые как левое состояние по отношению к и, за- данному формулой (27), с помощью волны разрежения либо ударной волны. Напротив, если состояние и, считается правым, то аналогич- ная кривая задается формулой у" (г»(и), и») при $» (и) ($»(а»), и= (28) О'$»(и), и,) при $»(и))$»(и,).
Кривые (27) и (28) состоят из всех состояний и, которые могут быть связаны с состоянием и, волной разрежения й-го типа или же ударным переходом й-го типа; при этом в случае (27) состояние и, является левым по отношению к и, а в слу- чае (28) — наоборот правым. Кривые (2?) и (28) будем называть волновыми адиабатали системы законов сохранения (3.1.12) А-го типа.
Наконец, рассмотрим случай, когда для какого-либо значе- ния й=1, 2,, и г" (и) ягайло»(и) =О. Ф з систем» кв»зплццспцых ге»вцепив зэз Характеристику $ = $»(и), удовлетворяющую условию (29), будем называть коитпктной. Очевидно, что вдоль линии п»(и) =(о»(и), в»(и), ..., п»,(и)) =с» (30) величина $»(и) постоянна в силу уравнения (1О). Поэтому величина $»(и) не может быть выбрана, как это мы делали выше, в качестве параметра, определяющего точку на этой кривой. Введем какой-либо другой параметр на кривой (30), например длину дуги этой кривой, отсчитываемую от любой ее точки, Тогда кривая (30) есть интегральная кривая системы уравнений — =г (и), ди дя так как мы считаем, что ~(г'(и)11= 2 (г»)'=1.
Умножая это ! ! уравнение слева на матрицу Л(и) =- — ~, получим дф ди ' Л (и) — „= — — = — „=Л(и) г (и) =$»(и) г (и) =$»(и) — „ ди д ди дф » » ди Но вдоль кривой (30) величина $»(и) постоянна, и, следовательно, эти уравнения интегрируются. Проинтегрируем эти уравнения от и = им до произвольной точки и = и(з), тогда ф(и(з)) — ф(и»)=К»(и)(и(з) — и,)=з»(и»)(и(з) — и»). (31) Таким образом, мы видим, что любые две точки кривой (30) удовлетворяют условиям Гюгонио при 0 = $»(и») = $»(и). Разрывы такого рода в газовой динамике называются контактными, Наконец, заметим, что если выполнено условие (29), то не существует центрированной волны разрежения л-го типа. Эта волна разрежения переходит в ударную волну (30). Понятие волновой адиабаты й-го типа может быть обобщено, в частности, с учетом того, что условия (6) могут нарушаться.
Всякое обобщение понятия волновой адиабаты должно опираться на обобщение условий устойчивости разрыва решения. По аналогии со случаем одного уравнения и системы уравнений газовой динамики (см. гл. 2, в 5, п, 7; в 6, п. 9) представляется необходимым для устойчивости разрыва (им и), где и» вЂ” левое состояние, и — правое состояние, х = »11 — линия разрыва, потребовать выполнение неравенств $» (и») ~ )0 > $»(и).
(32) Однако выполнения лишь этих условий недостаточно даже в указанных выше простых случаях. По-видимому и в общем 594 ГЛ. С ОВОВШЕ!!НЫЕ РЕШЕНИЯ КВАЗИЛННЕЙИЫХ УРАВНЕНИН случае нужно требовать, чтобы точки и, и и были связаны непрерывной кривой Н(ио, й) = О, любая точка й которой соот- ветствует решению условий Гюгонио (12), т. е. ф(й) — !р(ио) = = (3(й — и,), где 17 = 0(и,, и), при этом В(ио, й) >В(и„и) (33) для любой точки й кривой Н(ио, й) = О, промежуточной между ио и и. Таким образом, мы приходим к обобщению понятия волновой адиабаты й-го типа, построенной для точки иш рассматриваемой как левое состояние по отношению к состоянию и.
Она должна быть непрерывной кривой в пространстве переменных и = (и!, ..., и„] и состоять из множества значений и, которые могут быть связаны с состоянием и, (рассматриваемым как левое состояние) волнами разрежения у = $а(и) и допустимыми разрывами, на которых выполнены условия (32) и (33). Подобное понятие волновой адиабаты для уравнений газовой динамики фактически использовалось Г.
Я. Галиным [1958], было определено А. Д. Сидоренко [1968], изучалось Б. Вендрофом [1972], Т. Лю [1975а]. Для более общих систем из п квазилинейных законов сохранения понятие волновой адиабаты изучалось в работе Т. Лю [1975а]; в этой работе предлагаются условия на законы сохранения, при которых волновая адиабата определяется однозначно. 3.
Задача о распаде произвольного разрыва. Задача Коши ди + дф (и) (1) д! дх Ги, х(0, и (х, 0) = ] ( ит, х>0, (2) (3) Поэтому, если предположить единственность решения задачи Коши (1), (2), то отсюда следует автомодельность решения. В самом деле, пусть и=и(х, () (4) *) Допускается лишь й ) О. Это объясннется тен, что в постановку за. дачи Коши (!), (2) входят условия устойчивости линий разрыва. Эти условия содержат понятия левых и правых значений решения на разрыве, которые Неинвариантны относительно преобразования (3) прн й < О. называется задачей о распаде произвольного разрыва. Легко заметить, что эта задача инвариантна относительно преобразования подобия *) (=И, х=йх', й =сонэ(>0.
$3. системА КЕАзилинеиных уехвнении 595 есть решение задачи (1), (2). Совершая преобразование подо- бия (3),мы видим, что решение и(х,г'), в силу предположения о единственности, совпадает с решением (4), т. е, и ( —, — ) =и(х, 1). (5) Равенство (5) выполнено при любых значениях параметра й ) О. Поэтому, полагая й = 11( ) О, получим и(х„г)=и(1, — ",) =и(1, у) =ич(у). (6) А (и) — =у —, ии и'и ь иу' (7) а в точках разрыва — условиям Гюгонио у(и(у+ 0) — и(у — 0)] = р(и(у+ 0)) — <р(и(у — 0)).
(8) Будем предполагать решение и(у) ограниченным. Тогда можно утверждать, что вектор и(у) непостоянен лишь в огра- ниченном интервале значений переменного у. В самом деле, пусть )и(у) )(М, )$А(и) ) ~ М; тогда, если у = и,— точка не- прерывного изменения и(у), то в этой точке выполнены урав- нения (7) и, как мы видели в и.
2, 1р,~=(й( (у.)))<М (9) Легко видеть, что если не предполагать единственности решения задачи Коши (1), (2), то нельзя утверждать, что все решения этой задачи автомодельны, т. е. зависят лишь от переменного у = х/г. Поэтому доказательство единственности авто- модельного решения задачи (1), (2) не позволяет утверждать, что эта задача Коши имеет единственное решение.
Тем не менее вопрос о единственности автомодельного решения задачи (1), (2) имеет определенное самостоятельное значение, во-первых, потому, что в ряде случаев удается доказать непосредственно, что всякое устойчивое обобщенное решение этой задачи автомодельно, а во-вторых, потому, что в процессе доказательства единственности автомодельного решения вскрываются основные трудности, с которыми сталкиваются при изучении общей задачи Коши (1), (2). Дадим геометрическую интерпретацию задачи о распаде произвольного разрыва.
Будем рассматривать автомодельное решение и(у) задачи (1), (2), предполагая, что оно существует. Тогда в областях гладкости вектор-функции и(у) она удовлетворяет системе уравнений (3.2.1): зза Гл. с ововщенные Ре!Венин кВАзилинейных уРАВнениЙ (1О) Если же у = у,— точка разрыва функции и(у), то из условий устойчивости следует, что 101=)уа~( гпах шах 1$А(и(у))1(~М. А-1...., » У-.У,,ЕО У-У;О Итак, если ) $А(и(у) ) ) ( М (й = 1, ...; п), то вне интервала 1 — М,М) функция и(у), очевидно, постоянна.
Условие (2) для функции и(у) принимает вид и (у) — Р и при у — Р— оо, и (д) — Р и+ при у — э со, (11) а в виду ограниченности и(у) Ги при у< — М, (12) Пусть в точке у ) — М решение и(у) = и-. Рассмотрим возможное изменение функции и(у). Если и(у) изменяется, об- разуя волну разрежения й-го типа, то у = $„(и (у)). Наименьшая среди величин $» есть $1. Поэтому рассмотрим участок переменного у, на котором У = $1 (и (У)). (13) Поскольку и(у) = и- при у ~ — М1, то решение типа (13) может иметь место, начиная с значений у,—, где У, =$1(и ). (14) Пусть на интервале [у;, у1+") выполнено равенство (13), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
