Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Итак, хо фи(и)1 или хо (13) а по формуле (2.3.46) Ф (1 хо ) = Фо (хо ) + 1[и-ф„' (и-) — Ф (и-)) = =и х +1[и-ф,',(и ) — ф(и ))=1[и Ф„'.(и ) — ф(и )) — ути-, (14) Согласно формулам (2.3.57), (2.3.58), для того чтобы и(х, 1) = =ио(хо) =йФи-, необходимо, чтобы выполнялось неравенство Ф(1, хо)<Ф(1, хо ) или Ф(1, хо) — Ф(1, хо) <О. (15) Вычитая из формулы (12) формулу (14), получим Ф(1, х ) — Ф(1, х ) =[Фа(х,) — йхо1+ Ь(и — й)+ +1[Ф„(и )(й — и )+Ф(и ) — Ф(и)(.
(16) Теперь в формуле (16) оценим последний член. Учитывая, что й < и- и ф„"„(и) ) О, получим по формуле Тейлора ф(и ) — ф(й))ф„(и )(и — й)+ — (и — й)'. (17) Подставляя это выражение в (16), получим Ф (1, х ) — Ф(1, х;,) > [Ф, (х ) — йхД+ й (и- — й) + т ( — — й)'. (18) ') В случае, если хо — точка разрыва начальной функпни ио!х), пол Л слелует понимать по~(то) при соответствующем значении параметра и, 4 3, ОднО квлзнлнненное уРАВнеггня Из формулы (9), учитывая, что и- > й, легко получим ф„'(и ) — ф„'(й) = " и (и- — й)) ' . (19) Последнее неравенство позволяет переписать ()8) в виде Ь(Ь+ х,) а(Ь+ х,]' Ф((, хо) — Ф(Г, хо ) )[Фо(хо) йхо1+ лг + ол г (20) Итак, для выполнения неравенства (!5) необходимо, чтобы [Ф (х) — йх)+ ' + ' <О (2!) или Ь (Ь+ хо) + а (Ь+ хо)' < [й- (22) Неравенство (22) ограничивает область переменных х, лежащую в полуплоскости г)0 слева от прямой х=ф„'(и-)г, так как Ь=ф„(и-) г — х.
Завышая область влияния отрезка [О,Ь), будем считать, что точка (х, () ей принадлежит, если существует хотя бы одно значение хо (О = хо < Ь), для которого при данных х, ( справедливо неравенство (22). Так как )й/ < ~(М, )Фо(хо)1~( Мхо, то усиливая *) неравенство (22), запишем: Ь + (и+хе)а аыхолг < 2ЛМ( (23) "хЛ Ь+ х Ь < 2ЛМ(.
(24) ~й~ Неравенство (24) показывает, что гг Ь х при малых Г величина Ь растет линей. но с ростом г. Наоборот, мы заведомо увеличим область влияния отрезка [О, Ь), если в (22) положим хо = О, а в правой части возьмем максимум при всех хо. Тогда запишем: Ье ( + ) ( 2МЬЛ( или (ге < + < 2ЛМЬ(. (26) Ыы видим, что при больших значениях г величина Ь растет, как ~/Г. Таким образом, область влияния лежит внутри области, заштрихованной на рис.
4.30: Ь < )/2ЛМЫ =Ь(г). (26) *) то есть заведомо увеличивая область влияиия отрезка [О, О). 57О ГЛ, С ОБОБЩЕННЫС РЕШЕНИЯ КБАЗИЛИс!ЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Совершенно аналогично оценнвается область влияния отрезка [О, Ь! справа от прямой х = Ь + р„' (и+) (. Неравенство (22) остается в силе, если только под Ь понимать теперь величину Ь=х — Ь вЂ” р„(и+)(, (27) а правую часть брать с обратным знаком. Неравенство (26) остается при этом вообще без изменения. В случае и-' и+ существует такое (! > О, что при () (! и при х — с<О(, и(х, ()= !с+ при х — с > О(, (28) где В= ф (и+) — ф (и-) (29) В самом деле, если и- > и+, то прямые х=ср„(и-)( и х= Ь+ ф„'(и+)( расположены так, как па рис.
4.3!. Так как расстояние между этими прямыми растет пропорционально (, а границы областей влияния отрезка [О, Ь) отстоят от этих прямых на расстояние порядка )((, то найдется такой момент ( = („ при котором область влияния отрезка [О,Ь] исчезнет (рис. 4.3!), т. е.
кривые сс Ь х и-> и+ (с! = ср„' (и-) ( — х = 1/2ЛМЫ, Ьт= — Ь вЂ” ср„'(и+) (+ х= !(2ЛМЫ Рис, 4.3!. пересекутся. Для определения величины (, имеем уравнение 2 т(2ЛМЫ + Ь = (, [ф„' (и-) — ф„' (и+)). (30) Пусть (, [ф,', (и ) — ср„'(и+)1 > 2Ь. Тогда из (30) получаем 4 т(2АМЬ(ю 32АМЬ (,<,, ли (,<, „=-Т. (3!) ~и фи Теперь мы с очевидностью заключаем, что при (! — — Т справедлива формула (28). В самом деле, так как область значений переменных х, (, заданная условиями Ь+ р„'(и!)( < х < ф„(и )(, 5 2. ОДНО КВАЗИЛИНЕЯНОЕ УРАВНЕНИЕ 57! Итак, мы установили, что решение и(х, 1) задачи Коши (1), (2) при условии и > и+ совпадает при 7 ~) Т с решением ио(х, 1) задачи о распаде разрыва — + =О ио(х О)=~ (38) дио дф(ио) 1 и, Х ( С, д1 дх ' ' 1, и+, х>с. Полученный результат может быть сформулирован иначе.
Пусть и и й — обобщенные решения уравнения (1), и пусть и (х, 0) = — й (х, 0) и ри ~ х ~ ) Ь. (37) Если, далее, Г и при х(~ — Ь„ и (х, 0) = — й (х, 0) = ~ + ~, и+ при х>Ь (38) и и- > и+, то существует 11 > 0 такое, что при 7=»1, и (х, 1) = — и(х+ с, 1), (39) где с =- + ~ 1й(х, О) — и(х, 0)) йх. 1 (40) Доказанное нами свойство обобщенных решений выражает тот факт, что в случае и- и+ обобщенные решения задачи Коши (1) — (7) «с точностью до сдвига» не зависят при достаточно больших временах от начальных значений на любом конечном отрезке начальной оси 1= О.
лежит слева от прямой х=ф„'(и-)1 и справа от прямой х=ф„(и+)г+ Ь, то для того, чтобы в этой области и(х, 7)~ии и(х, 1)Фи+, необходимо, чтобы точка (х, 7) принадлежала области влияния отрезка [О, Ь), что при 1>Т невозможно. Для определения величины с в формуле (28) рассмотрим некоторую точку хз на прямой Г=ГИ Определим эту точку из условий хл — ф„'(и ) 7, = х, хз — ф,'(и+) 7, = х+, (32) ор(11 хо ) = Оз(71 хо ) (33) Условие (33) можно переписать в виде и х +1,[и ф„'.(и ) — ф(и )1= =Фо(Ь)+и+(х,+ — Ь)+Г,(и+ф„,'(и+) — ф(и+)). (34) Рассматривая уравнение (32), (34) как уравнения, определяющие величины х,, х+, хю находим величины х„, гл х = ' +01~ — — с+.О(н с= " (35) и — и+ и- — и+ 572 Гл. а, ОБОБщенные Решвния кВАзилинеиных ЕРАВнения Заметим, что полученный результат может быть усилен в двух направлениях: !) для более общих уравнений, когда ф = ф(и, х, ~), при не- которых предположениях о функции ф; 2) ослабляется требование (38): )й(х, 0) — и(х, 0))-РО при х-+~ сс, ~и при х -+ — сс, и (х, 0) -Р + 1и+ при х-Р+ сс; где иа(х, () — решение задачи о распаде.
Однако и в этом случае решение и(х,() близко к решению и'(х,1) при достаточно больших ~. Именно докажем, что ха д х Рвс. 4.32. !и(х, ~) — ис(х, ))!~0 при ~- сс. (4! ) Пусть ис есть решение задачи о — + диа дф (иа) =О, дэ дх (и- при х и'(х, 0) =~ (.и+ при х Функция иа задается формулами распаде (42) <О, >О, И (И+. и при х ~ (ф„(и-) О ис(х, ~)= )( — ) при и+ при ф„' (и -) ~ ( х ~ (ф,', (и+) а, (43) фи (И где фи'(1($))=$, т е )" ($)=)ф„') '(е) (44) Таким образом, слева от луча ОЛ иа(х, )) — = и, а справа от луча ОС ис(х, ~) =и+ (рис. 4,32), в зоне же ЛОС иа=) ( )).
при этом требуется определенный порядок стремления к пределу. Изучим асимптотическое поведение решения и(х, 1) в случае и-( и+. В этом случае, как легко видно из рис. 4.32, область влияния отрезка [О,Ь) не исчезает при (-ьсо, а, наоборот, становится неограниченной. В этом случае уже нельзя утверждать, что для достаточно Е д l .д больших 1 и (х, ~) = ис(х, ~), Ь 2, ОднО кВАзилинеяное уРАВнение 573 Как мы видим, вне области влияния отрезка [О, Ь] это также имеет место для и(х, С), т. е. при фа(и )С вЂ” х вй(С) и(х, С) — = и, (45) а при х — ср„'(и+) à — Ь~)Ь(С) и(х, С) = — и+. (46) Следовательно, доказывать свойство (41) надо только в области влияния отрезка [О,Ь] — зоне ЕОВЕс.
Пусть (х, С) — любая точка, лежащая внутри зоны ЕОВВ. Тогда, так как через эту точку не проходит ни одна характеристика х = Х(й хо, и,(хо)) при хо 4й [О, Ь], то, следовательно, (х С) ио (йо) х сра (ио (хо)) С хо (47) при этом (48) Из (47) получаем ф„(и (х,)) = ф„' (и (х, С)) = — — о . Сравнивая (49) с (44), заключаем, что и (х, С) = ио (хо) = ! ( — — с ) .
(50) Таким образом, в зоне ЛОС ]и(х С) ио(х С)[ ]7( о) ! ( ) ~~ ~щас ][г(о)) ~~ (51) Так как со= 1/ф'„'„, то из (51) следует ,о(, С)[~ хо ~ ' (52) Таким образом, свойство (41) в зоне ЛОС доказано. Пусть теперь (х, С) — любая точка в зоне ЕОВО, например, пусть эта точка лежит справа от прямой х=ф„'(и+) С, т. е. в зоне СОВО (рис. 4.32). Тогда в этой точке ио = и+, а и(х, С) по-прежнему определяется из формул (47), (48). Согласно определению области влияния отрезка [О, Ь], имеем х — ф„'. (ио) С(Ь+ Ь(С) = Ь+ 1~2ЛМЬС. (53) Следовательно, [и(х, С) — и'(х, С)]=1]1 ( —,"') — и+ ~= [Ь вЂ” хо+А(С)[ Ь + Ь!С) Ь + УЕАМЬ аС аС аС аС а А/Е 574 гл.
4. Ововщенные Решения кВАзилинеиных уРАВнениЙ Так как слева от луча ОА неравенство (54) доказывается совершенно аналогично, то тем самым мы доказали свойство обобщенного решения (4!) и установили при этом порядок стремления и(х, !) к и'(х, /), именно: ~ и (х, /) — иа (х, /) ! < — + = ч/сАМЬ. ас а ч/Е Объединяя результат для случаев и-(и+ и и ) и+, можно его усилить и сформулировать следующим образом. Пусть и(х,/) и й(х,/) — ограниченные обобщенные решения уравнения (!), начальные значения которых отличаются лишь на конечном отрезке начальной оси, т.
е. !и(х, 0) — сс(х, 0)3= — 0 при ~х~~)Ь. (56) тогда существуют константы с, О, 0 такие, что при /)/, ! и (х, /) — и (х + с, /) ! . / (57) Подчеркнем, что в этой формулировке не предполагается, что и(х, 0)-~сс, и+ при х-с — оо, + ао. Доказанные выше асимптотические свойства обобщенных решений одного квазилинейного уравнения существенно связаны с нелинейностью уравнения. В самом деле, решения линейных уравнений, отличающиеся в начальных значениях, отличасотся друг от друга при всех значениях / ) О, и эта «невязка», вообще говоря, не стремится к нулю при /- со, 7.
Метод вязкости. В п. 1 этого параграфа мы уже рассмотрели одно из применений метода вязкости — обобщенное решение задачи ди д гсссх — + — ~ — )=О, и(х, 0)=из(х) дс дх ~ 2./ было получено как предел при !А-+0 решений и„(х,/) другои задачи Коши: При этом для и„была получена явная формула, которая позволила совершить переход к пределу при !А-~.О и изучить свойства обобщенного решения и(х,/).
Естественно, что для более сложных уравнений трудно рассчитывать на получение аналитических формул для решения. Однако, желая познакомить читателя с применениями метода вязкости, мы рассмотрим некоторые простые случаи, из которых можно сделать вывод о возможностях этого метода. $ а одно квлзилинеипов уохвпеиие Будем рассматривать задачу Коши и(х, 0)=ио(х), ]ио(х)]~М. Наряду с этой рассмотрим другую задачу: див дз>(а„! д'и„ д + д — — !х д, (р>0)> и„(х, 0) =ио(х). (2) (3) (4) Будем считать, что начальная функция ио(х) обладает непрерывной первой производной, и пусть ~и'(х)](К ( — <х< ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
