Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Но это доказательство не показывает, каким путем мы пришли к формуле (14). Поэтому мы изложим здесь другой способ построения разрывного решения задачи Коши (1), (2), который автоматически приводиг к формуле (14) для обобщенного решения.
Этот метод применим при тех же предположениях о задаче (1), (2), которые были сделаны выше, и даже при отказе от некоторых из них. Однако в целях ясности и простоты изложения мы начнем с разбора случая гладкой начальной функции ио(х), а затем рассмотрим случай кусочно-гладкой и кусочно-непрерывной функции иа(х) Итак, предположим, что функция ф(и,х, г) удовлетворяет нашим прежним требованиям, а начальная функция ио(х) обладает непрерывной первой производной и ограничена при любых конечных значениях переменного х, До тех пор, пока уравнение х=Х(г, х,, ио(хо)) б45 $ а одно КВАзнлннеиное уРАВнение тенциала Ф (х,1), который почти всюду удовлетворяет нелинейному уравнению а~+ф(а ' х ') (43) и начальному условию » Ф(х, 0) =Фз(х) = ~ иа(э) д$.
(44) а Обозначим через Ф = Ф(1, х«) геометрический интеграл задачи Коши (43), (44), т. е. уравнение интегральной поверхности этой задачи, выраженное в цараметрах 1, хм где ха — точка, через которую проходит характеристика (41). Эта поверхность, вообще говоря, однозначно не проектируется на плоскость переменных х, Д Согласно п. 2 9 9 главы 1 функция Ф(1,х«) определяется с помощью интегрирования «уравнения полоски» 'ф,"; "' = иф'„(и, х, 1) — р(и, х, 1), (45) где и=и(1, х...(х,)), Х=Х(1, х,,(х,)).
Учитывая начальное условие (44), интегрируем уравнение (45): Ф((, х,) =Ф,(х ) + ~ ~иф'„(и, Х, 1) — ф(и, Х, 1Ц, дт. (46) о В случае, когда уравнение (41) однозначно разрешимо относительно параметра хм потенциал Ф(х,1) задается формулой Ф(Х(1, хо ио(ха)) 1) =Ф(~, хо) (47) либо явной формулой Ф(х, 1) =Ф(Е, хе(х, 1)). (48) Если же зависимость (41) неоднозначно разрешается относительно хм формулы (47), (48) определяют многозначную функцию Ф(х,1), из ветвей которой должна быть построена однозначная и непрерывная функция Ф(х,1) — потенциал обобщен. ного решения. Фиксируем произвольное 1 0 и рассмотрим поведение кривой х = Х ((, хо, ио(ха)) (49) в плоскости переменных х, х«(рис.
4.16). Зависимость (49), очевидно, изображается некоторой непрерывной кривой, кото. рая, однако, при достаточно большом значении аргумента 1 9 646 ГЛ. 4, ОБОБ!ЦЕННЫЕ РЕП!ЕНИЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ ие проектируется однозначно на прямую хо — — О. Кривая (49) всегда однозначно проектируется на прямую х = О. Поэтому мы можем считать, что каждой точке этой кривой соответствует при фиксированном значении переменного Е определенное значение параметра хо. Следовательно, можно считать, что на непрерывной кривой (49) заданы непрерывные функции (Е(Е, ха, ио(хо) ), Ф(Е, хо) (как фуннции переменного ха).
Нана задача состоит в том, чтобы из ветвей многозначной функции (48) выбрать однозначную и непрерывную функцию— потенциал Ф(х, Е). Покажем, как производится такое выделе. ние, и установим попутно, что оно единственно. Рис. 4.16. Рис. 4.17. Пусть на некотором участке () < хо < а кривая (49) имеет по три точки пересечения с прямыми х = с при х! < с < хь т. е, тРижды пРоектиРУетси на отРезок х! < х < хз оси ха = О (О (2 (З) (рис.
4.17). Пусть х, <х < х„и пусть хо <хо <хо — значения переменного ха, удовлетворяющие *) равенству (49). Через (!) (2) (3) (О (2) (з) и(х, Е), и(х, Е), и(х, Е), Ф(х, Е), Ф(х, Е), Ф(х, Е) обозначим соответствующие значения функций (Е(Е, хо ио(хо)), Ф(Е, хо) т. е.
(!) (о (!) и(х, Е)=(Е(Е, хо ио(ха)) (!) (!) Ф (х, Е) Ф (Е, хо) . Для каждой из этих ветвей ввиду «условия полоски» (45) выполнен ы равенства (50) Мы предполагали ранее, что краевая задача характеристиче- *) Кривая (49) может иметь вертикальные участки. В этом случае некоторым х может соответствовать бесконечное множество точек на кривой (49). Как мы увидим, это не повлияет на ход наших построений. $2.
ОДНО КВАЗИЛИНЕИНОЕ УРАВНЕНИЕ в4т ской системы однозначно разрешима. Из этого предположения следует, что (() (2) (з> Ф„(и(х, (), х, () > ф„'(и(х, (), х, () > ф„'(и(х, (), х, (), (51) а так как (р'„', (и, х, () > (н и(х, Согласно формуле (50) (н дФ (х, () дх О, то и (2) (з> () > и(х, () > и(х, ().
(52) мы можем написать (2) (з> дФ(х, 0 дФ(х, О дх дх (53) На рис. 4.18 изобразим на участке (х„хз) зависимость (48), которая, согласно нашему предположению, является трехзначи) (2) ной. Ветвь Ф(х, () определена при х(х„ветвь Ф(х, () — при х, » х » (х,; при этом ввиду непрерывности функции Ф((, хз) по переменному хз имеем равенства (н (2) Ф(хз, О=Ф(х„(), (2) (з> Ф(х(, () =Ф(х(, (). Учитывая, наконец, неравенства (53), приходим к выводу, что график зависимости (48) имеет вид, гй изображенный на рнс. 4 18.
Итак, на участке х, < х ( х,, на котором функция Ф(х,() трех. значна, выделение однозначной и непрерывной функции — по- тенциала Ф(х, () — производится, очевидно, единственным обра- зом и дается формулой Ф(х, () = пипФ(х, (), (54) и) где минимум берется по всем значениям Ф(х, () в данной точке х, (. На рис. 4.18 показано, что минимум этот достигается на 1-й и 3-й ветвях Ф(х, (), т. е. (в (з> Ф(х, ()=Ф(х, () при х~$, Ф(х, ()=Ф(х, () при х)~й. (55) Соответственно этому определяется и функция и(х, (): ш гп и(х, () и(х, () при х»$, и(х, ()=и(х, () при х~>$. (56) В43 ГЛ. 4.
ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КВАЗИЛИНЕИНЫХ УРАВНЕНИИ Если теперь кривая (49) имеет участки, которые более чем три раза проектируются на ось хо = О, то, разбивая ее на отдельные куски, на которых Ф(х, 1) трехзначна, мы сведем всю процедуру построения непрерывного потенциала Ф(х,1) к только что рассмотренному случаю. Итак, обобщенное решение и(х, 1) задачи Коши (1), (2) задается формулой и(х, 1)=(>'(1, $(х, 1), ио(9(х, 1))), (57) где $(х, 1) — значение параметра хо, при котором Ф(х, 1) = Ф(0 $(х, 1)) (58) есть наименьшее значение функции Ф(1о, ха) при значениях ха, ограниченных условием (49), т.
е. х= Х(1, ха~ ио(ха)). Учитывая теперь формулы (46), (!9), (23), легко устанавливаем, что формула (54) эквивалентна требованию минимума функции 7(й х, Б). Таким образом, мы снова пришли к формуле (14) для обобщенного решения и(х,(). Мы рассмотрели, однако, лишь случай, когда начальная функция ио(х) является гладкой и, в частности, непрерывной функцией переменного х. Мы уви- ф дим сейчас, что ничто существенно йа' не меняется и в случае кусочно- )(( гладкой и кусочно-непрерывной начальной функции ио(х). Если рассматривать разрывную начальную функцию иа(х) как прет' .аааа1 дел непрерывных, то это приводит лишь к тому, что в точках разрыва ио(х) при решении характеристической системы нужно придавать Рис 4.
19. функции иа(х) все промежуточные значения между левым и правым предельными значениями ио(х — 0), и,(х+ 0). Тогда зависимость (49) по-прежнему будет изображаться непрерывной кривой в плоскости переменных х, ха. Отличие состоит лишь в том, что в точках разрыва эти кривая имеет горизонтальные участки и> (рис, 4.19). Так, например, на рис. 4.19 точке х, соответствует случай, когда о> и> ио(ха — 0) > иа(хо+ О). $ к одно квознлинвлное уРАвненив 549 (о) а точке хо — случай, когда (2) (о) ио(хо — 0) (ио(хо+ 0) Из точки разрыва начальной функции ио(х) выходит пучок характеристик х = Х(й хо, ио(хо) ), который, конечно, не может быть описан с помощью одного лишь параметра хо.
Поэтому мы введем в точке разрыва ио(х) еще один параметр а (О ( а ( 1) н определим функции Х((, хо, ио(хо), а), У(1, хо, ио(хо), а), Ф(1, ха и) следуюшим образом: Х((, хо ио(хо) (')=Х((, хо аио(хо 0)+(1 — а)ио(хо+0)) (У(1, хо ио(хо), а)=У(1, хо аио(хо 0)+(1 — а)ио(хо+0)) ) у( (59) с Ф(1, хо, а)=Фо(хо)+ ~)"У(р„'(У, Х, т) — (р(У, Х, т)]дт. (60) о В формуле (60) через У, Х обозначены функции (59) при г = т. Если теперь параметр хо пробегает значения от — оо до оо, а а изменяется от 0 до 1, то кривая х= Х(), хо ио(хо), а) будет непрерывной в плоскости переменных х, хо, вдоль этой непрерывной кривой непрерывным образом изменяется Ф(6 ха а).
Поэтому, повторяя предыдущие выкладки, мы приходим к выводу, что и в случае разрывных начальных функций ио(х) формулы (57), (58) для обобщенного решения остаются в силе. Эти формулы теперь будут выглядеть следующим образом: и(х, 1) = У(1, $(х, 1), ио(~(х, ))), а(х, ()), где $(х, 1) и а(х, 1) — значения параметров хо, а, для которых Ф (х, 1) = Ф(й $(х, 1), а(х, ()) есть наименьшее значение функции Ф(6 хо,а) по параметрам хо, а, подчиненным условию х= Х (1, хо, и,(хо), а).
Для неоднородного закона сохранения — + — (р(и, х, 1) = ) (и, х, 1) (61) с начальным условием (2) формулы (14) и (54) по-прежнему определяют обобщенное решение в случае, если ~(и, х, 1)=)((х, ()+('о(()и. (62) БЗО гл с ОБОБщенные Решения кВАзилинепных уРАВИГИИН Только теперь под (с'(с, хо, ио), Х(с,хо, ио), П, Х понимается решение характеристической системы для уравнения (61): — „, =ср„'(и, х, г), с =1(и, х, 1) — ср,'(и, х, ~), (63) а под Ф(с, хо) — решение «условия полоски» для уравнения (61): — = Уф„' (У„Х, () — ср (У, Х, 1) + Г (х, 1) + [, (1) Ф, (64) где Г„'(х, 1) =)с(х, 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
