Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 87
Текст из файла (страница 87)
рис. 47). Решение и = и2(х,1), заданное формулами (13) — (15), удовлетворяет интегральному закону сохранения для уравнения (8) и = ир (х; гу Рис. 4.9. а=а,(х 6 Рас. 4.8, и условиям (10). Таким образом, если ф" (и, х, 1) — знакопеременная функция аргумента и, то «условия устойчивости» (10) удовлетворяются дву. мя решениями и1 (х, 1), ирРбху И2(», 1).
На рис. 4.8 и 4.9 изображены поля характеристик для решений и = и,(х,1) и ! и = из(х, 1). $1 Отметим попутно одно -б х,' х, ! ! интересное свойство решения х- х- б х п2(х,1). Линия разрыва х = = 021 является карактери- ~ †-- иу стикой решения и2(х,1), вы- — — — и' численной по правым предельным значениям реше- Рис. 4.1Ц ння и,(1) на ней; аналогично линия разрыва х = 01( является характеристикой, вычисленной по значениям и,(1) на линии х = 01(1).
Для того чтобы отдать предпочтение одному из этих двух решений, снова применим метод проверки устойчивости этих решений с помощью сглаживания начальной функции. Сгладим начальную функцию ис(х) с помощью монотонной функции из(х), которая изображена на рнс. 4.10. Точки (х-, и-)„ (х+, и+) соответствуют точкам 0, С рис. 4.7, а точки и,, и+— точки перегиба графика функции у(и), т. е. у'„'„(и-,)=у" (и+) =О. 5!Б ГЛ. 4. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШБНИЯ КВАЗИЛИНЕИНЫХ УРАВНЕНИИ Рис. 4.11. левым значением является величина и-, а правым и+, не может возникнуть при сглаженной начальной функции исз(х). В самом деле, как видно из рис. 4.11, должны возникнуть два разрыва, из которых разрыв 7, расположенный слева и соответствующий значениям и, и;, будет иметь скорость 11", =ф„'(и ) < ф„'(и+), а разрыв П, соответствующий значениям и+, и+, будет иметь скорость (У" =ф„'(и+).
Таким образом, линии разрывов, которые образуются * при начальной функции исз(х) (они изображены на рис. 4.11 жирными линиями и обозначены цифрами 1 и П), будут вести себя следующим образом. Линия разрыва Р никогда не пересечет характеристики, выходящей из точки х начальной оси и будет приближаться к ней асимптотически при 1- со.
Это, очевидно, вытекает из неравенства ис~=~и-) <, ~„-) и — и- и при и <и<и~. Изобразим на рис. 4.11 характеристики решения и=из(х, 1), Как видно из рис, 4.7, ф„'(и) на интервале [и, и, ) является монотонно возрастающей функцией переменного и, и, следовательно, наклон характеристики ф„'(и~(х)) на начальной оси монотонно убывает на отрезке [ — 6, х, ); аналогично атому ф„'(исс(х)) монотонно возрастает на отрезке [х,, х+) и убывает на отрезке [х+, б|. Внимательное рассмотрение картины характеристик (рис. 4.11) приводит нас к выводу, что разрыв решения, на котором р !.
постАнОВкА ВАдАчи коп!и В клАсгв РАВРыВных Функпип 517 Совершенно аналогично заключаем, что линия разрыва П будет асимптотически приближаться к характеристике, выходящей из точки х+ начальной оси, и никогда не пересечет ее. Теперь становится очевидным, что если стремить величину б к нулю, то решение и,(х, 1) будет стремиться к из(х,1).
Таким образом, решение и!(х,1) и линия разрыва х = 01 неустойчивы. Итак, условие (10) не гарантирует устойчивости обобщенного разрывного решения квазилинейного уравнения (8) для случая, когда ф" (и, х, 1) знакопеременна. Правильное обобщение условий устойчивости разрывного решения уравнения (8) в случае, когда ф'„'„ знакопеременна,может быть получено при внимательном рассмотрении решений, которые получаются при сглаживании разрывов.
Так, решение типа и,(х,1) (рис. 4.8) можно было бы считать устойчивым, если бы линии разрывов 1 и П (рис. 4.! 1) догоняли друг друга, т. е. картина движения разрывов 1 и П имела бы схематически следующий вид (рис. 4.12). Эти соображения приводят нас к еле. Рис 4.12. дующему условию устойчивости. Пусть на линии разрыва х=х(1) решения уравнения (8) и,(1) = и —, и„(1) = и+, и пусть х'(1) = О. Разрйв называется устойчивым, если неравенства !р (и', к, !) — ф(и-, к, !) ~ 0 ~ !р(и', х, !) — ср (и+, х, !) и' — и- - и' — и+ и'~(и, и+), х=х(1), выполнены для любого значения и" из интервала (и-, и+), Легко заметить, что разрыв решения и!(х,1) не удовлетворяет условию (16). Действительно, если выбрать, например, в качестве и' любое число из интервала (и+, а. ), то неравенства (16) нарушаются.
Разрывы же решения из(х,1), очевидно, удовлетворяют этим неравенствам, что ясно из рис. 4.7. Наконеп, отметим, что условия устойчивости (9) автоматически вытекают из (16), если считать, что <р,"„(и, х, 1)ФО, т. е. для выпуклой ф(и, х,1). условия устойчввостн (16) были введены впервые О. А. Олейник (1958). Еще более сложен вопрос об устойчивости разрывных решений для системы квазилинейных уравнений гиперболического типа.
Дело в том, что для сложных систем мы фактически не имеем наглядных способов построения разрывных решений. ПО- 513 Гл. ~ ОБОБшенные Решения кВАзилинейных уРАВнений этому выяснение правильности тех или иных условий устойчивости решения весьма затруднительно. При формулировке условий устойчивости мы будем опираться на зналогн1о со случаями одного квазилинейного уравнения и системы уравнений газовой динамики (гл.
2). Ограничимся рассмотрением систем, гиперболических в узком смысле, т. е. будем считать, что $! (и, х, 1) < йл(и, х, !) « ... $„(и, х, 1). Как и в случае одного уравнения, условия устойчивости должны требовать, чтобы на линии разрыва х =х(1) пересекались приходящие характеристики одного семейства.
Пусть, например, на линии х = х(!) пересекаются при- Ф ходящие характеристики Й-го семейства, тогда $л(и„(1), х((), 1) ) 0 ) )$л(ип(1), х(1), 1), 0=х'(1). (18) Если ничего более не требовать, то возх!о>кно, что на линии разрыва х = х(1) будут пересекаться приходящие характеристики и других семейств, а для некоторых семейств Рис. 4.!э. на линии разрыва будут отсутство- вать приходящие характеристики. Поэтому н неравенствам (18) мы добавляем еще два неравенства: йл 1(их(1), х(1), 1) < 0 < $л+1(и,(1), х(!), Г), (19) которые с учетом (17) приводят в окрестности линии разрыва х = х(1) к картине характеристик, изображенной на рис.
4,13. Иа рис. 4.!3 через точку А линии разрыва проведены интегральные кривые уравнений Ых — =$!(и(х1, 1), х1, 1) (20) для номеров !'= и — 1, й, й+ 1. Согласно условиям (17), (18), (19) в точку А приходит п+ 1 приходящая характеристика (по одной от наждого семейства и две от й-га) и из точки А выходит п — 1 уходящая характеристика (по одной от каждого семейства, кроме й-го). Итак, мы будем говорить, что на линии разрыва х = х(1) кусочно-непрерывного решения и(х, 1) системы квазилинейных уравнений, гиперболической в узком смысле, выполнень $ 1.
пОстАнОВкА зАдлчн ко!Ви В клАссе РА3РыВных Функций 519 условия устойчивости, если удовлетворены неравенства '4А(и.Я, х(1), 1) > И >й„(а„(1), х(1), 1), ЕА 1(и,(1), х(1), 1) ( 0 ( $А+1(и„(1), х(1), (). (21) Условия (21) были опубликованы в работе П. Лаков [1957!. Номер и, для которого выполнены условия (21), называют индексом линии разрыва. Из аналогии со случаем одного уравнения ясно, что условия устойчивости (21) могут обеспечить единственность и непрерывную зависиМОсть решений от начальных данных лишь в некотором, возможно узком, классе систем квазилинейных уравнений. Однако этот класс до сих пор не найден, Возможно, что условия (21) гарантируют единственность разрывного решения для систем квазнлинейных уравнений, удовлетворяюших требованию г~(и, х, 1)~гад„$А(и, х, 1)чьО (й=1, 2, ..., и) (22) (ср.
9 10 гл. 1), где г~(и, х, 1) — правый собственный вектор матрицы А = (( — „' )). 4. Необратимость процессов, описываемых разрывными решеннямн систем квазилинейных уравнений. Пусть при 0 ~ ! ( 11 построено решение и = и1(х, 1) задачи Коши в! + в' ' — — ((а, х, 1), и(х, 0)=ио(х). (1) Будем говорить, что решение и = и1(х, 1) описывает обратимый процесс, если решение обратной задачи Коши с начальным условием, поставленным при 1 = 11, (2) и(х, 11)=и,(х, 11), Оя=1~~Е„) совпадает в полосе 0 (1(11 с и1(х,1); если же решение задачи (2) отлично от и1(х, !), то будем говорить, что и1(х,1) оплсывает необратимый процесс, Если и! (х, 1) — классическое решение задачи (1), то, очевидно, оно описывает обратимый процесс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
