Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 88
Текст из файла (страница 88)
В самом деле, гладкая функция и1(х,1) является единственным гладким решением как задачи (1), так и задачи (2), как это вытекает нз теоремы единственности классического решения системы квазилинейных уравнений, доказанной в главе !. Переходя к вопросу об обратимости процесса, описываемого разрывным решением задачи (1), мы должны учесть, что решением этой задачи будем называть лишь устойчивые решения. Пусть и1(х,() — устойчивое разрывное решение задачи (1) и 52О ГЛ, С ОБОБШЕННЫЕ РЕН!ЕНИЯ КБАЗИЛИНЕЯНЫХ УРАВНЕНИЯ х = х(1) — его линия разрыва.
На линии х = х(1) выполняются, следовательно, условия устойчивости йь(и,(1), х(1), 1) > И > й„(п,(1), х(1), 1). (8) Решениями обратной задачи Коши (2) мы будем называть также лишь решения, устойчивые по отношению к изменению начальных данных. Легко, однако, видеть, что изменение направления отсчета времени 1 приводит к условиям устойчивости, обратным (3), т.
е. ьь(и„(1), х(1), 1) < АУ < ьь(и„(1), х(1), 1), (4) так как при этом меняются местами правое и левое положения. Таким образом, если и1(х, 1) — устойчивое разрывное решение задачи (1), то и = и,(х,1) не является устойчивым решением обратной задачи Коши (2), так нак оно не удовлетворяет условиям (4), Значит, устойчивым решением обратной задачн Коши (2) будет функция и = иэ(х,1), заведомо отличная от и1(х, 1), и решение и~(х,1) описывает необратимый процесс. Поясним эти наши выводы простейшим примером.
Для уравнения — + — — =0 ди д иР д1 дх 2 (5) с начальным условием ( и при х<0, и (х, 0) = иа (х) = ~ + ~ и+ при х>0, как мы видели выше, в случае и-) и' устойчивым разрывным решением является функция ~ и при х<01, и,(х, 1)= Г и+ при х > 1У'1, и — +и+ 2 Если >ке мы выберем какой-либо момент 1= 1~ > 0 и будем решать для уравнения (5) обратную задачу Коши, т. е. задачу, когда начальное условие (' и при х < хн и(х,1)=и,(х,1)=~ е х,=Р1И (8) — 1.
н- при х>хн задано при 1= 11 и ищется решение при 0 < 1< 1н то устойчи- вым решением этой задачи будет являться функция и при х — х <и (1,— 1), и,(х, 1)=,,' прп и (11 — 1)<х — х,<и'(1,— 1), (9) 1 и+ при х — х, >и+(1, — 1). (б) % 1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ КОШИ В КЛАССЕ РАЗРЫВНЫХ ФУНКЦИИ зх! На рис. 4.14 приведена картина характеристик для решений и~(х, !) и ир(х, !). Характернстики решения и,(х, !) изображены сплошными линиямн, решения из(х, !) — пуннтпрными. Таким образом, решения и1(х, !) и и,(х, !) различны в зоне !'. Итак, разрывное устойчивое решение системы квазилинейных уравнений гиперболического типа описывает необратимый процесс. Этот вывод верен лишь для гиперболических уравнений, так как для уравнений других типов обратная задача .уана ~ Ряс. 4.!4.
впр!!1з(х, !) — чк(х, !)1 к вцр/Ф(х, О) — ЧУ(х, О) | — >О. к (10) если (11) Коши может оказаться ненорректной, т, е. необратимость процесса имеет там другой характер: в частности, и гладкие решения могут описывать необратимые процессы. Наконец, мы хотим обратить внимание также и на то, что этот вывод верен лишь для существенно нелинейных систем квазилинейных уравнений гиперболического тяпа.
Действительно, разрывные решения линейных, полулинейных и слабо-нелинейных систем уравнений гиперболического типа описывают обратимые процессы. Это вытенает из того, что теорема единственности разрывных решений для этих систем может быть доказана лишь на основании интегральных законов сохранения, т. е, для этих систем отсутствуют неустойчивые решения.
Изложим„наконец, некоторые соображения о характере непрерывной зависимости обобщенных решений системы квазилинейных уравнений от начальных значений. Из рассмотренных выше примеров видно, что мерой близости обобщенных решений не может служить норма пространства С. Как мы увидим в этой ~лаве, в случае одного квазилинейного уравнения устойчивые обобщенные решения обладают тем свойством, что БЕЕ ГЛ. «ОБОБШЕННЫЕ РЕПГГНИЯ КЕАЗИЛИНЕЯНЫХ УРАВНЕНИЯ Здесь Ф(х, г), Ф(х, г) — цоте~циалы обобщенных решений и(х, г), й(х,г). О решениях, обладающих этим свойством, мы будем говорить, что они непрерывно зависят от начальных данных «в потенциальной метрике». Это свойство устойчивости решений одного уравнения позволяет предполагать, что и для систем квазилинейных уравнений устойчивость обобщенных решений означает их непрерывную зависимость от начальных условий «в потенциальной метрике».
й 2. Одно квазилинейное уравнение 1. Обзор результатов, Одно квазилинейное уравнение представляет собой самый простой случай системы квазилинейных уравнений, в котором пмеготся существенные упрощающие детали. Естественно поэтому, что первые результаты по изучению разрывных решений задачи Коши были получены для одного квазилпнейного уравнения. В своей классической работе Э, Хопф (1950) построил разрывное решение задачи Коши и(х, О) =и«(х). (1) Метод Э.
Хопфа состоит в следующем. Вместо задачи Коши (1) он рассматривает другую задачу Коши: ди д и~ ди„ дг + дх 2 гг дк', ии (х, О) =ие(х) р ) О, (2) решение которой выписывается явно. Обобщенное решение задачи Коши (1) определяется как предел и„(х,1) при р-+0: и(х, г) = Игпи„(х, Г). (3) и-+о Явное выражение для и„(х, г) и формула (3) для обобщенного решения и(х, Г) задачи Коши (1) позволяют детально изучить свойства разрывного решения задачи (1). Таким образом, построение Э. Хопфа можно считать первым результатом, устанавливающим существование н единственность обобщенного решения задачи Коши для одного квазилинейного уравнения в достаточно широком классе начальных функций (для построения Э. Хопфа достаточно потребовать лишь ограниченности и измеримости начальной функции ие(х)).
Отметим, что задача Коши (2) рассматривалась также И. Бюргерсом (1940, !948] и И. Коулом [1951!. Эта задача Коши широко известна в теории турбулентности, а само уравнение (2) для и„(х, г) часто называют уравнением Бюргерса, З з Одно квхзплш!епнос угла!!ение 523 который на примере задачи Коши (2) (и близких задач) изучал некоторые аспекты теории турбулентности, П. Жермен и Р. Баде [1953) установили, что решение задачи (1) единственно, если в точках разрыва и(х,1) выполнено усло- вие устойчивости и, ) и„„.
Однако строгое обоснование решения задачи Коши (1) было дано впервые Э. Хопфом. В частности, Э. Хопф первый указал, что заданная формулой (3) функция и (х, 1) удовлетворяет уравнению (1) в смысле выполнения интегрального равенства ~~ (и(х, 1) д + ' — ) охи+ ~ д(х, 0)ио(х)о(х=О (4) г>о для произвольной гладкой финитной функции д(х, 1).
В 1954 г. О. А. Олейник рассмотрела задачу Коши до + дф(и, х, 0 (5) д1 дх и(х, О) =ио(х) (6) в классе кусочно-непрерывных и кусочно-дифференцируемых решений и(х,1), предполагая выполненным условие ф„"„(и, х, 1) > ) 0(ф„"„< О), и доказала существование и единственность обобщенного решения (см. О. А. Олейник [1954а, 61). А. Н. Тихонов и А. А.
Самарский [19541 рассмотрели задачу Коши для неоднородного закона сохранения (7) в классе и(х, 1)~К, также предполагая выпуклость ф(и, х, 1) [ф„"„~ о). Затем О. А. Олейник [19566, 1957б[ распространила свои результаты на класс ограниченных и измеримых решений и(х, 1) закона сохранения (5). В ряде дальнейших работ уточнялись свойства решений задачи Коши для уравнений (5) и (7)„ В работах И. М.
Гельфанда [1959[, О. А. Олейник [1958, 19596[, А. С. Калашникова [1959а[ и др. была рассмотрена задача Коши (5), (6) в случае невыпуклой функции ф(и, х,1), когда величина ф„"„(и, х, 1) знакопеременна. Постановка задачи, как мы видели в 3 1, в этом случае осложняется, а ее решения имеют более разнообразные свойства. Центральным моментом является правильное обобщение условий устойчивости обобщенного решения.
Такими условиями являются требования (1.336), полученные в предыдущем параграфе из наглядных соображений. 524 ГЛ. !. ОБОБШЕНУ!ЫЕ РЕШЕ!!ИЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Основное отличие В свойствах решений задачи Коши (5), (6) в случае невыпуклой функции !р(и, х, !) от случая выпуклой состоит в том, что теперь решение и(х, !) мо!кет иметь особенность типа и(х, Г)=й ( ') + й(х,!), где и, й — гладкие функции не только при !« = 0 (что имеет место н прн !р" ~0), но и при г«) О.
Указанные особенности типа центрированной волны разрежения могут возникать прн ! ) 0 в точках пересечения двух линий разрыва. Эта возможность сблщкает случай одного уравнения с системами уравнений гиперболического типа (п ) 2), у решений которых особенности указанно~о типа имеются как правило. Однако, конечно, случай н = 1 очень далек от случая а "» 2 как по свойствам решений, так и по степени трудности возникающих задач. Именно по этой причине мно~ие методы, приведшие к успеху в случае одного закона сохранения, неприменимы или, чаще, трудно проверяются в случае системы законов сохранения.
Тем не менее случай и = 1 всегда служит «пробным камнем» любой новой методики изучения разрывных решений системы нелинейных законов сохранения. Хотя в случае знакопеременностн !р'„'»(и, х, Г) задача Коши (5), (6) изучена значгмельно менее подробно, чем при !р„"„ ) О, тем не менее можно считать, что основные факты и теоремы уже установлены. Отметим также, что одно квазилинейное уравнение — это единственный случай систем квазилннейных уравнений, для иоторого доказаны теоремы о сходнмости решений разностных уравнений к обобщенному решению задачи Коши (см. по этому поводу Н. С.
Бахвалов [1961], Н. Н. Кузнецов [1977], Н. Н. Кузнецов, С. А, Волошин [1976], Р. В. Разумейко [1973]). Из сказанного выше следует, что теория обобщенных решений одного квазилинейного закона сохранения (5) или (7) в основных чертах была построена в пятидесятых годах нашего столетия, Тем не менее и в последующие годы появилось много интересных работ, освеща!ощих разные стороны этой теории. Были предложены несколько новых методов решения задачи Коши (5), (6), новые определения решения этой задачи, Отметим «метод потенциала» и «метод потенциального сглаживания» решения задачи Коши (5), (6), обладающие большой общностью и наглядностью (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
