Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 85
Текст из файла (страница 85)
В таких схемах энтропийные следы исчезают, но исчезают («размазываются») также и контактные границы. Величина энтропийного следа зависит также от параметров схемы. В. Ф. Куропатенко [1962, 1966) для схемы цуга волн (см. п. 4, $ 8) получил следующий критерий: при прохождении ударной волны через границу двух сред наибольшая точность достигается при условии (19) Здесь Ра — скорость набегающей, Р~ — скорость прошедшей ударной волны, йм й~ — длины прилегающих интервалов. Пря этом наблюдается минимум энтропийного следа на границе (см.
рис. 3.27, на котором пунктирной линией нанесены графики точного, а сплошной — численного решения). Теория возникновения энтропийного следа и других краевых эффектов в настоящее время еще слабо разработана. 502 ГЛ, В. РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ГАЗОВОН ДИНАМИКИ 2. Замечания. Проведенный нами анализ разностных схем показывает, что нет разностных схем сквозного счета, способных уао '77 7 Г7 Рис.
Э.27. с высокой точностью воспроизводить вс7о картину гидродинами. ческого течения, содержащего большое число особенностеи, Методы сквозного счета заменяют ударный фронт ударным переходом, контактную границу — контактной полосой, Эти пе- реходные области практически достигают ширины нескольких $ !ц Осовеиности Рлзиостиого Решения 503 пространственных интервалов и имеют, как правило, немонотонные профили.
При взаимодействии ударных переходов между собой или с контактной полосой возникает переходной процесс, который может длиться на протяжении нескольких временных интервалов. Пусть, например, ширина каждого из ударных переходов равна йй. Из локального условия устойчивости следует, что каждый фронт должен проходить за время т дробную часть интервала (1/г) й (г ) 1), причем г тем больше, чем больше сила ударной волны, Отсюда следует, что период взаимодействия будет длиться гй временных интервалов и практически может достигать большой продолжительности.
Во время переходного процесса гидро- динамические величины могут сильно отходить от истинных значений. При большом количестве разрывов переходные области могут покрывать всю область расчета, что, конечно, сильно снижает точность расчета. Так как источником появления переходных областей и процессов является сквозной счет разрывов, то в последнее время утвердилась компромиссная точка зрения, использующая схемы сквозного счета в рамках детального рписания течения. Вся область 6 интегрирования в плоскости д, ! разделяется линиями разрывов д = Е!(!) на подобласти 6!, в каждой из которых применяется какая-либо схема сквозного счета. При атом сетка может быть или фиксированной, и тогда в ней отмечаются линии Рис.
323. разрывов !у = е!(!), которые не обязаны проходить через точки сетки, или подвижной, так что линии разрывов д = е,(!) проходят через точки сетки (рис. 3.28). В обоих случаях точки располагаются на горизонтальных прямых, размещенных в плоскости д, (, вообще говоря, с переменным шагом т . В первом случае (фиксированная сетка) интервалы (д!, д!!.!) фиксированы, во втором случае (подвижная согласованная 'сетка) они зависят от времени и может меняться не только их длина и положеннс но и их число. 504 гл, а глзностныв мстоды глзовои дннхмикн Таким образом, во втором случае сетка определяется самим течением и его особенностями.
Если вновь появляющиеся разрывы достаточно сильны, то они включаются в граничные линии областей бь и сетка перестраивается. Разрывы небольшой амплитуды учитываются схемой сквозного счета. Ясно, что возможны различные варианты построения подвижной сетки. Расчетные алгоритмы такого рода достаточно сложны арифметически и логически, что сближает их с методом характеристик.
В отличие от последнего фронт расчета всегда является горизонтальной прямой, что существенно упрощает логику программы. Глава 4 Обобщенные решения систем квазилинейных уравнений гиперболического типа 5 1. Постановка задачи Коши в классе разрывных функций 1. Общие замечания. В главе 2 мы видели, что дифференциальные уравнения газовой динамики являются следствиями более общих интегральных законов сохранения — массы, импульса и энергии. Переход от интегральных законов сохранения к дифференциальным возможен лишь при некоторой гладкости течения. Если гладкого течения не существует, то для определения течения (разрывного либо не обладающего нужной гладкостью) следует обратиться к интегральным законам сохранения. Такой же подход принят в теории разрывных (обобщеиных) решений систем квазилинейных уравнений гиперболического типа, возникшей в последние десятилетия. Консервативную систему квазилинейных уравнений да+ дч(и,х,б (1) (и, у, 1 — векторы с а компонентами) будем рассматривать как следствие системы интегральных законов сохранения (~пах — <р(и, х, 1)~й+ ~~1(и, х, 1)пхй=О, (2) которые должны выполняться для любого кусочно-гладкого замкнутого контура С и ограниченной им области Ус.
Если функция и(х, 1) е= С1 удовлетворяет интегральным законам сохранения (2) для любых замкнутых контуров С и областей Ус, а ф ы Сь Г' еп См то из этого следует, что функция и(х, 1) удовлетворяет системе дифференциальных уравнений (1). Очевидно также, что всякое решение и(х, 1) системы (1) (и(х, т)е= С~) удовлетворяет интегральным законам сохранения (2). Интегральные соотношения (2) применяют для введения понятия обобщенного решения системы (1). Мы ограничим наше рассмотрение классом К функций и(х,1), удовлетворяющих следующим требованиям: $ ь постАБОВкА 3АдАчи кОши В клАссе РАВРыВных Функции 507 Тем не менее мы ограничиваемся классом К, так как более общие классы обобщенных решений еще недостаточно изучены. Заметим теперь, что система квазилинейных уравнений допускает иногда несколько различных представлений в виде законов сохранения.
Например, одно уравнение — +и — =0 ди ди дх (6) можно представить как в виде (7) так и в виде (8) Таким образом, любое решение уравнения (6) удовлетворяет одновременно следующим интегральным законам сохранения и2 ийх — — й=О 2 с $ и2 из — йх — — Й= О. 2 3 с (9) (10) Легко, однако, видеть, что разрывная функция и(х,1) может удовлетворять одному из уравнений (9), (10), но не удовлетворять другому. Это обстоятельство отражает интересный факт, который может интерпретироваться следующим образом: различные процессы могут описываться одними и теми же дифференциальными уравнениями, но разными интегральными законами сохранения, Поэтому различие этих процессов проявляется лишь на разрывных решениях. Вводя понятие обобщенного решения консервативной системы (1), мы однозначно фиксируем интегральные законы сохранения (2).
2. Условия Гюгонио. Пусть и(х, 7)еи К и х = х(1) — уравнение одной из линий разрыва функции и(х, Г), Обозначим 0=х'(1), и„(1)=и(х(г) — О, г), и„(7)=и(х(1)+О, 1), ]и] = (и (х, ()] = и (х + О, 1) — и (х — О, г), (1) 1и(х(1), 1)] = ии(7) — ии(1), ~~р(и, х, г)] = <р(и(х+ О, 1), х, 1) — ~р(и (х — О, 1), х, Г).
Аналогично тому, как из интегральных законов сохранения массы, импульса и энергии вытекали условия Гюгонио на линии разрыва течения (гл. 2, $4, п. 1), так н из интсгральных законов бба ГЛ. 4. ОБОБШЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КВАЗИЛИНЕИНЫХ УРАВНЕНИИ Условия (2) связывают левые и правые предельные значения решения на линии разрыва"). По аналогии со случаем газовой динамики эти уравнения будем называть условиями Гюгонио. Если функция и(х,/)еи К и всюду, кроме линий разрыва, удовлетворяет системе дифференциальных уравнений (1.1.1), а на линиях разрыва — условиям Гюгонио (2), то, очевидно, ингегральные законы сохранения (1.1.2) выполняются для любого замкнутого контура С. Поэтому функция и(х, /) в этом случае будет обобщенным решением системы (1.1.1).
На простейших примерах рассмотрим следствия, к которым приводят условия Гюгонно. Пусть система уравнений (1.1.1) полулинейна. Тогда д!р (и, х, /) ди/ =а!/(х, /), (3) поэтому условия Гюгонио (2) преобразуются к виду а 0 [а!] = [ф!(и, х, /)] = ~ а,/(х, /) [а/] / 1 или а 2,'(аи(х, /) — Ь,/О) [и/]=О (!=1, 2, ..., а). (4) / ! Если решение и(х, /) разрывно, то ~ [и/]ЯРО и / ! Ве1 ((а!/ (х, /) — 06!/)) = О, т.
е. величина Р=х'(/) должна совпадать с собственным зна- /у дф! '~~ чением матрицы А=~~ — Л. Пусть [,[,ди Д' Р=йа(х, /), [и] =с/г (х, /) (5) (6) тогда а) Эти же условия следу>от для кусочно. непрерывных и(х,/) н кусочно- гладких линий разрыва также из определений обобщенного решения (1.1.3), либо (1.1Л), (!.1,5). сохранения (1.1.2) на линии х = х(/) разрыва решения и(х, /)' следует выполнение соотношений 0 [и] = [!р (и, х, /)] (2) или, в компонентах, Р [и!] = [!р, (и, х, /)].
З ! ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ КОШИ В КЛАССЕ РАЗРЫВЕ!ЫХ ФУНКЦИИ 9)9 или, в компонентах ]"иЕ1 = [Ег," (х, Е). (7) Через г (х, Е)=(г~(х, Е)) обозначен правый собственный вектор матрицы А (х, Е), соответствующий собственному значению йк(х, Е). Итак, для полулипейной системы согласно (5) — =$А(х, Е), (8) т. е.
линии разрыва решения являются характеристиками си. стемы уравнений (1.1.1). Аналогично слабому разрыву, сильный разрыв решения полу- линейной системы уравнений также распространяется вдоль характеристик системы. Отметим, что аналогичное свойство имеют и решения слабо- нелинейной системы квазилинейных уравнений (гл. 1, $ 1О). Действительно, нетрудно проверить,что разрывы обобпЕепного решения слабо-нелинейной системы квазилинейных уравнений могут располагаться на характеристиках этой системы.
р'Г .! Гх Е и,! В случае одного квазилинейного уравнения (и = 1) условия Гюгонио (2) переписываются в виде х (Е) — Р— [ф( [и] — Ф(и(!) и(')'0- (и (Е) к(Е)') 9 и„(Е) — ик (Е) и„ик и Равенство (9) может быть следующим об- Рис. 4.1. разом интерпретировано геометрически. Скорость Р = х'(Е) линии разрыва х = х(Е) равна наклону (тангенсу угла а) хорды АВ к оси и (рис, 4.1). Для случая, изображенного на рис. 4.1, выполнены неравенства !р„'(и„(Е), х(Е), Е) < Р < ф'„(и,(Е), х(Е), Е).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
