Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Поэтому мы должны либо сильно измельчить сетку, либо применять другие аппроксимации. Схема с односторонней разностью Т-~ -2Е+ Т1 Т1-Š— О у 2 и+ И' Ь и=О имеет аппроксимационную вязкость порядка 0(Ь), т. е., по сути дела, решается другое дифференциальное уравнение с коэффициентом при старшей производной, равным ч+ 0(й). Решение 47З ГЛ. К РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ГАЗОВОИ ДННАМНКН разностного уравнения не стремится равномерно относительно т к решению исходной задачи при й- О. А.
М. Ильин предложил заменить коэффициенты разностной схемы (5) так, чтобы точные решения дифференциального уравнения были решениями и разностного. Такая схема имеет вид г — ~ — 2Е+ т, т — т-1 И' Г 2И А Ь где Х= — сГН вЂ”. Нетрудно видеть, что при й ч." т выпол- 2 2э' няется условие аппроксимации дифференциального уравнения (так как в этом случае А близко к т). Доказано, что решение этой разностной схемы сходится при Й-~ 0 к решению исходной задачи равномерно относительно ю В упомянутой работе А. М. Ильина, а также в работах К. В. Емельянова [1970, 1973], В. А.
Титова и Г. И. Шишкина [1976] описанная методика получения схем равномерной аппроксимации распространяется на многомерные эллиптические уравнения с переменными коэффициентами, параболические уравнения, а также на случай наличия нескольких малых параметров. Необходимо отметить, что эквивалентный подход при построении разностных схем для задач диффузии использовал Г.
И. Марчук [1961]. Фактически это метод исключения конвективиого члена. $9. Схемы в эйлеровых координатах н неявные схемы 1. Схемы в эйлеровых координатах. Выбор системы координат — лагранжевой или эйлеровой — для расчета течения газа определяется постановкой задачи. Если нас интересуют параметры потока в заданной наперед пространственной области (например, течение газа в газопроводе, воды в русле), то естественно выбрать эйлеровы координаты. Если нам нужно детально исследовать гидродинамические процессы в некотором материально фиксированном объеме, то целесообразно применение лагранжевых координат.
Рассмотрим, например, истечение в вакуум некоторой массы газа. Покоящийся газ удерживается в цилиндрической трубке перегородками, находящимися в сечениях трубы х = хн х = хь В момент 1=0 одна из перегородок, например х =хм убирается, и газ начинает вытекать вправо в вакуум. Если для расчета используется эйлерова сетка, то правая граница будет захватывать все новые точки, и число рассчиты. ваемых точек будет расти, что не связано с требуемой точностью расчета (рис. 3.20,а). 5 ! схемы В эйлеиовых кооРдннАТАх н неяВные схемы 479 Пусть, наоборот, в момент ! = 0 поршень, находящийся в точке к = хь начинает двигаться влево.
Тогда применение эйлеровой сетки приводит к затруднению иного рода: число точек и вместе с ним точность расчета уменьшаются. При сильном сжатии весь рассчитываемый объем может попасть в один счетный интервал, что говорит о полной потере точности (рис. 3.20, 6). И в этом и в другом случае применение лагранжевой сетки целесообразно (рис. 3.20, в), Детальность расчета материально фиксированного объема можно сохранить и в эйлеровых координатах, если сделать их подвижными (предложено С.
К. Годуновым), у .г а! Рис. 3.20. В случае подвижной эйлеровой сетки точки сетки, связанные с контактными границами, движутся вместе с последними. Промежуточные точки сетки получаются по произвольному закону с сохранением определенного минимума или максимума точек, В простейшем случае число точек между контактными границами остается неизменным. Выбор того или иного варианта подвижной сетки определяется реально необходимой точностью расчета. На рис. 3.20 представлены возможные варианты сетки для случая подвижных контактных границ х =х(д!, (), х=х(дь ().
При переходе от лагранжевой системы координат к эйлеровой, помимо указанных особенностей сетки, меняется характер аппроксимации уравнений газовой динамики. Это связано в ос- д новном с тем, что выражение — в лагранжевых координатах д! 4во гл. 3. РАзностныв мвтоды гхзовон динамики д д заменяется двучленным выражением — + и — в эйлеровых координатах. Рассмотрим уравнения изоэнтропического течения в виде — +и — х+ — =О, дф дф ди дГ дх дх — +и — +с — =О ди ди 2 дф дГ дх дх ф=1пр, с'=(<~ ) Явная аппроксимация с помощью центральных разностей выради дф жений и —, и — приводит к неустойчивым схемам. Поэтому дх' дх следует применять аппроксимацию пространственных градиентов с учетом знака и.
Примером схемы такого типа является схема Лелевье +и — ф + и =О (2) + -А,-+(,- +- ф., О 1 т а за ф где А = Ь ~ при и > О, А = А~ при и «О. Аппроксимация типа «крест» здесь невозможна. Если перейти от (1) к дивергентной системе то полный аналог схемы «крест» невозможен, так как величины р, р, и нельзя разнести по разным точкам, как это имело место в лагранжевых координатах. Относя величины р, р, и к одним и тем же точкам, получаем следующую симметричную схему второго порядка: + + — (р + р (и )2) О вх ва которая является неустойчивой.
По-видимому, устойчивые схемы второго порядка точности в эйлеровых координатах могут быть получены только за счет усложнения аппроксимации, например с помощью неявной аппроксимации или метода предиктор — корректор. Наряду с указанными схемами допустима также схема пересчета, позволяющая вести счет фактически в лагранжевых координатах с последующей интерполяцией на эйлеровы (предложено Куропатенко В.
Ф.). 5 е. схемы В эилеРОВых кооРЛинАтАх и неявные схемы 481 Пусть (х!) есть эйлерова сетка. На шаге 1„«=' г' и 1 + т =- = 1 +, будем рассматривать ее как лагранжеву, т. е. будем слепить за движением материальных элементов, заключенных в момент 1=1 в интервалах (кьхй+!) (рис. 3.21). Введем в момент г = т„массовую лагранжеву координату, положив !7зч! — д! = (х,+! — к,) р 2 Применяя схему «крест» к расчету материальных элементов (Ч! !1!+!) (Ч! ! Че+!), получим пг+ ! О аз пг+! гп+ ! ! ! 2 2 из+! .Н т и! — и, 2+2 + — Р— О, й2! — О, Л! (6) гле положено г) ! = '+' . (7) з+ — 2 йз=д, — д 2 2 "' = г)з+! Ч! ") Метод Харлоу чаще всего применяется в двумерных и трехмерных задачах газовой динамики.
Мы рассматриваем его здесь в одномерном варианте, чтобы продемонстрировать идею «расщепления» процессов, имеющую об. щий характер. Величины и! относятся к точкам хз, величины о ! — к ценпз+ ! г гп трам интервалов (хе, х,'+,), линия АВ есть траектория точки х =х(!)ы 1), Таким образом, рассчитаны !2х! все величины, относящиеся к интервалам (х'„хз+!). После / / этого совершается интерполя/ / / / ция, с соблюдением законов 4 / — 'и, /=-Р .4 /! з,г! й! сохранения, на сетку (хгу.
Другой вариант сочетания лагранжевых и эйлеровых координат в разностном алгоритме реализован в оригиналь- дг ном методе «частиц в ячей- Рис. 3.2!. ках» Ф. Харлоу [19671 а). Опишем кратко этот метов, рассматривая его как разновидность метода расщепления по физическим процессам. Будем рассматривать движение политропного газа с уравнением состояния р = р(р), описываемое уравнениями (3).
462 гл, 3 РАзностные методы ГАЗОВОН динАмики В методе Харлоу вводятся вспомогательные, «дробные» шаги. На первом дробном шаге решается система уравнений 1 др 1 ди др — — О, — р — + — =О, 2 д! ' 2 дГ дх и на втором дробном шаге — система — — + — =О, — + — =О. ! др дри дри дри' 2 д! дх ' д! дх (9) Система (8) отвечает модели медленного течения несжимаемого газа, когда пренебрегается инерциальными силами и сжимаемостью. Она интегрируется на первом полушаге с помощью симметричной разностной схемы в эйлеровой сетке. Система (9) отвечает модели свободного движения невзаимодействующих частиц жидкости по инерции, она интегрируется фактически с применением лагранжевой сетки.
Объединение этих двух процессов происходит на полном шаге в результате осреднения плотности и давления по интервалам эйлеровой сетки. Характерным для схемы метода частиц в ячейках является наличие флуктуаций и автоосцилляций. Заметим, что неявные абсолютно устойчивые схемы в эйлеровой сетке с расшеплением типа (8), (9) применялись в задачах метеорологии (см., например, Г. И. Марчук (19671). Метод частиц в ячейках особенно эффективен при численном решении задач газовой динамики со свободными поверхностями, поверхностями скольжения, областями сильного разрежения.
Как метод Харлоу, так и некоторые другие схемы неинвариантны относительно всей группы точечных преобразований в пространстве независимых и зависимых переменных, которые допускает система уравнений газовой динамики (см. Л. В. Овсянников 11962) ). Любая разностная схема реализуется иа конкретной сетке, которая сама по себе вносит неинвариантность в алгоритм расчета.
Эта неинвариантность может сказываться, например, в расчетах особенностей потока, которые движутся под различными углами к линиям сетки. Так, например, неинвариантность метода Харлоу относительно преобразования Галилея приводит к появлению автоосцилляций в расчетах. Переход к разностной схеме затрудняет групповой анализ, поскольку разностные операторы обладают иными групповыми свойствами, нежели дифференциальные. Оказалось целесообразным прово. дить групповую классификацию разностных схем на основе их первых дифференциальных приближений. В работах Н. Н. Яненко, Ю.
И. Шокина !1973), 3. И. Федотовой и Ю. И. Шокина [1975] исследовались свойства инвариантности разностных схем газовой динамики, групповые свойства разностных схем с помопАью первого дифференциального приближения. 5 9 схе»1ы В эюлеРОВых кооРлннАТАх н неяВные схемы 483 Будем говорить, что разностная схема инвариантна относительно некоторой группы преобразований, если ее первое дифференциальное приближение инвариантно относительно этой группы преобразований. В соответствии с этим все разностные схемы могут быть подразделены на два класса: схемы, сохраняющие групповые свойства, и схемы, не сохраняющие групповые свойства.
В работе Н. Н. Яненко и Ю. И. Шокина (1973) сформулированы условия, при которых система уравнений первого дифференциального приближения допускает группы преобразований, которые допускает исходная система уравнений газовой динамики. Сформулируем эти условия для разностной схемы Ж~+' (х) — (Р'м (х) (м (х + И) — 1~ ( — И) 2И +ф~а( + — ",)((р-( +й) — ((г ())— — ()(х — — )(((7 (х) — Ч7 (х — й))~, (10) аппроксимирующей систему уравнений газовой динамики в эйлеровых координатах: д(Р д( д1 дх ' (11) Здесь ()=))()НЦ, ыу — — О (т), г ри'( — Р— Ри' хг (Р=~ Р ) 1=~ Ри ), Е=е+ — и', а=е(р, Р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
