Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Это схема типа «крест». Схема «крест» построена на аппроксимации первых двух законов сохранения (8.1.4), (8.1.5) на прямоугольных ячейках разностной сетки в плоскости лагранжевых переменных д, Д При этом для достижения точности второго порядка и во избежание интерполяций термодинамические величины р, р, о и скорость и разнесены по разным точкам сетки — полуцелым и целым соответственно. Третье уравнение используется в недивергентном виде: 451 $8. Одногодные РАзнОстные схемы Разностная схема имеет вид ! ! -т -т т+ —, т —, р ! — р и — и ° с +- с— + ' ' О, Т Ь т+! т ! ! о ! и т+- т+- с+у с 22 ис+, — и; Т А -т+! -т,т+! т р с+й С4 — С+ — !+2 !+2 2 2 0 (3) (4) ет" — е ! ! с+ — с+— 2 2 + Т (5) где -т т т Р с=)2 !+ос !+в 2 2 2 (6) пс-- и! — ~ ос ! = — Ро" Р 2 л 2 т / т т е ! — — Егр с,о — — с+ — ) ! ! 2 2 и!+! — ссс (8) 4 йс-УСЛ (~-~)й а (Н1)» (22ессе Рес.
3.15. (11) В области гладкого течения схема имеет второй порядок точности, поскольку формулы (3), (4) аппроксимируют законы сохранения формулой интегрирования с центрированными точками, а вязкий член ос имеет порядок 0(й'). Формула (5) также (е,г Е Есе Р имеет второй порядок точности. На рис. 3.15 показаны ячей- сйсрс и ки интегрирования для зако- "'д и нов сохранения, В практйческом счете из- пст и бавляются от обозначений дробных шагов по времени„ применяя сдвиг по временному индексу: ! псс— ис ' -и и",'+'.
(9) Тогда формулы (3), (4), (7) принимают еид с! ! с! ит+! 2 2 (10) Т А т+! т с+ — с+-' ит+! — ит+! и+' 0 А 1сои Р. (12) !+в 2 Л 2 452 ГЛ. 3, РАЗ>СОСТНЫЕ МЕТОДЫ ГАЗОВОИ ДИНАМИКИ При произвольном уравнении состояния (8) формула (5) требует итераций для определения р +с. В случае идеального газа с+-с' формула (5) допускает явное разрешение относительно р +с. Если аппроксимировать не уравнение (2), а закан сохранения энергии $ (е+ — ) с(с) — (ри) с(с =О, то при сохранении расположения точек сетки, в которых вычисляются р, а, е и скорость и, приходится пользоваться интерполяцией и").
Рассмотрим ряд других схем с вязкостью, Р. Лэттер (1955) предложил следующую модификацию метода Неймана — Рихтмайера. Поскольку вязкость вводится для того, чтобы сглаживать существующие и возникающие из волн сжатия ударные волны, а в волнах разрежения градиенты уменьшаются и при отсутствии вязкости, то в разностном расчете целесообразно д,пя повышения точности исключать действие вязкости в области волн разрежения, т. е. «занулять» коэффициент вязкости. В плоском случае в волнах сжатия и ударных волнах выполняется неравенство (см.
гл. 2, $4) — <О, Ьи л> в то время как для волн разрежения — >О. Ьи Ьд Поэтому Лэттер дает следующее выражение для вязкого члена: О, Ли)0, — >со" Р~ д ! м = Рор(пи) пи < О Указанный прием становится особенно эффективным, если применять в разностном расчете линейную вязкость (8.1.14). Тогда профиль ударной волны является аналитическим, осцилляционные эффекты становятся значительно меньше и в то же время точность в области волн разрежения является достаточной. 453 » Е.
ОДНОРОДНЫЕ РЛЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ Схемы (10), (11) с условием а = 0 на волнах разрежения и с линейным коэффициентом вязкости ди а = — реай — (а — скорость звука) дч исследовались А, А. Самарским, В. Я. Арсениным 11961). Устойчивость решений системы (1) уравнений газовой динамики с вязкостью проверяется в соответствии с гипотезой локальной устойчивости методом «замораживания» коэффициентов. В этом приближении мы дадим сравнительный дисперсионный анализ исходной системы (1) и разностной схемы (3) — (5). Это позволит нам выяснить ряд характерных особенностей схемы Неймана — Рихтмайера.
Перепишем сначала уравнение (2) в виде — +а — = — +а' — =О, др е до др е ди де де де дд где положено де до др В случае, когда р=О, р= р, а=а, где а — массовая скоди рость звука. Если и ~ О, то на ударной волне, где — < О, р > р, Ь' > а'. — =О, ди дд а' — = 0 д« (13) в приближении «замороженных» коэффициентов, полагая а' = сопз(. й = сопз1, В этом приближении уравнения для вариации решения (Ьа. Ьо~ ЬР) совпадают с уравнениями (13).
Представляя вариацию (Ьа, Ьо, Ьр) в виде гаРмоники Ьа = Ьиф»~+ые Ьд = боои"~ е ~~«, ЬР = ЬРЕЕР ~ е (14) Исследуем устойчивость намики ди — + де до д1 — + др д1 решений системы уравнений гидроди- Гл, 3. РАзностные методы ГА30ВОЙ динамики 454 и подставляя (14) в (!3), получаем уравнения для Ьао, бо,, Ьр,: (!о+ !2Угз) био+ О боо + й Ьро — — О, — й Ьи, + оз бо, + О Ьр, = О, а'й био+ О боо + о! Ьро — — О. Характеристическое уравнение имеет вид ы+„-йз О й — й оз О а'й О оз (15) Отсюда получаем выражения для корней; оз,=О, озьз= — 2 ~ ~/( 2 ) — а'йз .
(16) йа' / йа' Мы видим, что локальная система (13) удовлетворяет условию корректности )теоз(О Р! Р1-! 1-1 ! 1-1-1 ии' — 2и'и+ и!и !з /12 т + Л !и+! »$ ии!+' — и" +' 1+! А (17) п|+! т + йз и'и+ — и!и+! = О. А Считая постоянными коэффициенты !з, а~, проведем гармонический анализ разностной схемы (17). Для этого положим ба,"=баор К Ьо, =боор"Вг, бо, =-Ьрор $г, (16) ги,е В = е'А", р = е"', lг — вещественное.
для всех й. Из (16) виден характер дисперсии гармоник, При больших й оба корня озз, озз вещественны и отрицательны, при й достаточно малых озз, озз являются комплексно сопряженными, гармоники затухают с осцилляцией. Аналогично проводится анализ устойчивости для разностной схемы «крест», аппроксимирующей систему (13). При этом мы ! . 1 произведем сдвиг индексов 1+ —,— «1, лз+ — -«пг+ 1. Тогда 2 ' 2 схема «крест» примет вид Ф 5. одноподныв плзностныв схемы После подстановки (18) в уравнения (17), получаем уравнения для Ьиь, Ьоь, Ьрь: ! — е ( + 2 52п 2 ) Ьип+ Обоо+, Ьрь —— О, ,255 РЬио+ .
Ь"о+О ЬРП= О (19) е ' — 1 Отсюда приходим к характеристическому уравнению 2 5! и корни которого имеют внд р! = 1, р2, 5 = 1 — 2Ь (г + х') ~ 2 ФЬ йт - ат Ь ! Р 2 г ь2 й и ! (21) Из (21) получаем вывод: Если гпах Ь(г+ х')2 = (г+ х')'(х', (22) Отсюда получаем х= — (л (1 — 2г)=, = л~(1 — 2г) Р . 2! ч р (23) На ударной волне р ( 1, и ограничение (23) приводит Р иногда к сильному уменьшению шага сравнительно с обычным критерием Куранта. Рассмотрим теперь дисперсию гармоник в разностной схеме.
В случае !2 = О при выполнении условия корректности имеем (р;( = 1, т. е. все корни р; (!' = 1, 2, 3) характеристического то корни р»я являются комплексно сопряженными и схема «крест» с вязкостью устойчива в приближении замороженных коэффициентов. При !2 = О необходимым и достаточным условием устойчивости является критерий Куранта х ( 1. При !2 ( О условие устойчивости является более ограничительным для т. Действительно, неустойчивость может наступить только при вещественных корнях. Тогда простой анализ показывает, что необходпмым условием устойчивости является х' ~ (1 — 2г. 456 Гл, 3, РАзностные методы ГА30ВОЙ динхмики уравнения лежат на единичном круге.
Хотя дисперсия имеет место, амплитуда любой гармоники не убывает: осцилляции, раз возникнув, не затухают. Если рр ) О, то при выполнении условия устойчивости (22) амплитуда любой гармоники, соответствующей корням р„рм затухает. Действительно, в этом случае корни комплексно со° р рр р ррр — рр <р.з р дой гармоники имеет место и при вещественных корнях. Ясно, что чем больше г, тем сильнее затухание.
Рассмотрим с этой точки зрения линейную и квадратичную вязкости. В случае линейной вязкости имеем йт г=, =р Таким образом, г конечно и гармоники с большим й затухают сильно. В случае квадратичной вязкости имеем н,) — "'" ~а аи На фронте ударной волны, где ~ — ~й конечно, затухание сильад ное, при удалении от ударной волны г имеет порядок 0(т) и затухание слабее. Гармоники, соответствующие корням рм рз, являются бегущими волнами, распространяющимися в плоскости ру, г со скоростью ргч м рГГ ГА ' Гармоники, соответствующие корню р~ = 1, являются стоячими волнами.
Затухание бегущих гармонических волн означает действие аппроксимационной вязкости на ударных фронтах, приводящей к сглаживанию последних. Незатухание стоячих гармонических волн означает, что аппроксимацнонная вязкость не действует на контактных границах, контактная граница не сглаживается и возникающие вблизи границы неравномерности плотности и энтропии сохраняются (энтропийный след). Действительно, в стоячей волне Р=Р|= 1 и из уравнений (19) следует, что би, = брз = О.
Это означает, что вариации би, бр давления и скорости в стоячей гармонической волне равны нулю. Анализ устойчивости, предполагающий замораживание коэффициентов й, а2, дает только качественну1о оценку устойчивости. $8. ОдноРодиые Рлз1юстные схемы 457 По существу, такой анализ означает линеаризацию уравнений в окрестности течения с постоянными параметрами или во всяком случае с малыми градиентами.
При учете градиентов течения анализ сильно усложняется. Тем не менее качественные выводы, которые получаются из такого упрощенного анализа (ограничения шага в районе ударной волны, наличие энтропийных следов), подтверждаются практическими расчетами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
