Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Ку- ранта, Е. Изаксона и М. Риса [1952[. Эта схема является явной схемой и устойчива при н = ат/гг ~ 1. Аналогично строятся неявные схемы бегущего счета »!+1»! !»+1»!+1 и+1 м хм+1 8»!+1 (4) Разностные схемы (3), (4) очевидным образом обобшаются на случай переменной скорости звука а = а(х,1); в этом случае в уравнениях (2) и (3), очевидно, появляются линейные отно- сительно г, 8 правые части. В случае переменной скорости звука (или переменного шага Ь! сетки) иногда применяют комбиниро- ванную явно-неявную схему, которая использует явную схему, подобную (3) в тех точках сетки, где х",.
= а',"т/6! ~ (1, и неявную схему, подобную (4) в остальных точках сетки, составляют замкнутую систему уравнений относительно и',"+', которую можно решить известным методом прогонки (см., например, С. К. Годунов, В. С. Рябенький [!973], А. А. Самарский [1971) ). При этом появляется ограничение на т, связанное с устойчивостью прогонки (указано Г. И. Марчуком). 2.
Схемы ибегущегоэ счета для уравнений акустики. Для двух уравнений акустики — — а' — =О, — — — =О, а=сонэ( > О (1) ди 8 да д» ди д! дх ' д! дх 424 гл, х ейзностныв мвтоды гхзовои диилмики Возврашаясь к перемен в виде и"+' — иа! Л! ! ным и, о, запишем явную схему (3) + й-! а! ай Л!й-! а! 2й 2 й' о = — =и, (б) и!+! м й ! +й- ай й,й 2й 2 й' и = — — о в переменных и, о неявную схему (4): Аналогично представим и + — ии' й, оа +Ь !,„+, ай Ь!Ь-! +, ) 2й о 2 й па! (6) и!+ ! и! +Л ! „,+! ай Л!й 2й 2 й! и'" оба Схема (5) является акустическим аналогом схемы С, К.
Годунова (схема распада разрывов). На этом мы остановимся подробнее в $ 8 п. 4. 3. Схема «крест» и неявная схема с весами. Схему «крест» и!"+! — и!и о"' — и~ ! т ! й 2 им+! — иа! ии!+! иа!+! а! — и! и,+, — и! и (х) = — ( 1. й (2) Продолжим рассмотрение этой схемы, положив для простоты а (х) = сопз(. Хотя внешне схема (1) выглядит как неявная (в правую часть (1) входит и +'), вычисляя сначала и +' из первого уравнения (1), а затем о"+' из второго, мы убеждаемся, что она эквивалентна явной схеме. Из уравнений (1) следуют уравнения (а = сопи() иа!+! — 2ии!+ им ' и«! — 2ии!+ ии! 2 !+! т Ф вЂ” а й ! а! ' — 2«! + о! ' а иг+! — 2«! + а!-! та о2 йа (3) из которых становится очевидным, что схема «крест» (1) имеет второй порядок аппроксимации уравнений акустики как по т, так и по Ь.
для уравнений акустики мы уже рассматривали довольно под- робно в п.2 $ 3 в случае переменной скорости звука а = а(х). Там было выяснено, что эта схема условно устойчива при вы- полнении условия 428 4 с Анллиз ппостеиших Рлзностных схим Из формул (3), (4) становится ясным и название «крест» для схемы: точки сетки х = (! + а) Ь, 1 = тт и х = Й, =(т + а)т при а = — 1, О, 1, входящие в формулы (3), (4), образуют крест, располагаясь по три на горизонтали и верти- кали, проходящих через точку к = = й, ( = тт (рис. 3.8). Дисперсионное уравнение для йи+рг — --- -= схемы (1), или, что то же, для уравнений (3), (4) имеет вид й~-рг-- — -- — -[ «[ 2 ' в рв — 2[1 — 2хвз(пв — 1р+ 1 =0, (5) 2 [ ! х = ат/Ь, из которого следует, что при х ( 1 [р!,в[= 1, а при х ) 1 существуют столь большие /вй, что щах[[рв[, [рв[) » 1 и схема неустой- чива. Рассмотрим более общую схему с параметрами а!, ав.
и +' — ив' а — ав — „' [а!и'«+!+ (1 — а!) о"'[ = О, вв»! пт (6) т — — ' [а,и +' + (1 — о ) и'"! = О. ~ й (т-.р» и (/+у ° Риа 8.8. При а! = О, ав = 1 имеем схему «крест». При а! — — а« = 1/2 имеем схему второго порядка точности и абсолютно устойчивую. В этом легко убедиться, переходя к эквивалентному уравнению для и: и — и вв+! — 2 ~п+ 'и ! ЬЬ вЂ” Ги~ '+2и +и~+ в тв Ьв ~. 4 .1 Дисперсионное уравнение ! — хв в!пв— йй р' — 2р 2 „+1=0, 1+ х' в!пв— 2 ит и=в Ь схемы (7) прп любом х имеет комплексно-сопряженные корни, равные по модулю 1. 4.
Схема Лакса. П. Лаксом [1954[ была предложена схема, которая в случае уравнений акустики принимает вид и«в+! — йв' И1 ~И в пв+! пв- О с пв 26 п~+! т 26 (2) ГЛ. Э. РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ где !и ! Ю3 -!и — ' ! + !+! О~г и +и!+ и, = Исключая из (1), (2) величины й1, б! с помощью (3), приходим к схеме )и+ ! ю$ 23 о3 А2 и! — и1 о;+! — о1 — а т 2А 2т м+! о! >и м А2 !+! 1-1 2А 2т откуда ~р,~г (р (2 1 — (1 — хг)з!Нгйй. Таким образом, схема (4) устойчива при условии и < 1. Схема (4) аппроксимирует уравнения акустики (4.2.1) условно; при законе предельного перехода т/Ь = сопз( схема (4) аппроксимирует с точностью 0(т) систему (4.2.1); при законе предельного перехода т/Ьг = сопз1 схема (4) аппроксимирует параболическую систему ди 2 до дги — — а — =р— д! дх дх' ' до ди дго д! дх '" дх' ' А2 12 =— 2х 5. Симметричная схема второго порядка точности (схема предиктор — корректор).
Схема (4.4.1), (4.4.2) может быть использована как составной элемент схемы второго порядка точности, в которой интегрирование происходит в два этапа: на первом этапе (предиктор) по схеме Лакса вычисляются вспомогательные величины, на втором (корректор) происходит уточнение по схеме типа «крест». Рассмотрим схему ! о!+в 2 о 1+- а2 А ! П!+— о 2 ! !в б и"'+ ' — ио' 1 ! ! Ю)+— и ! 1+— 2 ! !и.!— 2 — и — 0 Ь Ф Дисперсионное уравнение имеет вид и — 2ио!+ и~ 1-! ! 1+! (4) о'и — 2 ох'+ о'и 1-! ! !+! А' $ З.
МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 1 1 т+ — и!+- где величины и,', о !' вычисляются по схеме Лакса (4.4.1), 1.! — 1+— 2 2 (4.4.2) с шагом т/2! 1 и!+ — !и 2 — й — /и и! 2 2 2 !+1 =О Ь т/2 1 м-! — !и 2 и, — й !+- 1+- 2 2 им 2$ 1+' ' — О, Ь где и1 +и 1 2 !+- 2 1+ 1+1 ;+! 2 2 .! ! +2 +2 После исключения и ', о ' из (1), (2) приходим к однородной симметричной схеме, имеющей второй порядок точности по т и Ь! и+!— 1 и!и — 2ии! -1- и"' 1+! !+1 1-1 ,и! !и 2Ь и!+1 м "1 2$ и1+! 2й а2Т где р Дисперсионное уравнение имеет вид . 2 ФЛ (р — 1 + 2Н2 з(п2 — ) + я2 э( п2 йй = О.
ат При я — „~(1(р!1=(р2! ~(1 и схема устойчива. б 5. Методы построения разностпых схем для уравнений газовой динамики 1. Общие замечания. Мы изложили в предыдущих пара. графах элементы теории разностных схем, применимой исключительно к линейным задачам математической физики. Приступая к обсуждению методов решения задач газовой динамики, отметим, что эта теория дает понимание основных закономерностей и особенностей процесса численного решения не только линейных, но и нелинейных задач, каковыми почти всегда являются задачи газовой динамики.
428 Гл. 3, РАзностные методы ГАЗОВОИ динлмики Вместе с тем надо признать, что почти все основные понятия и выводы теории разностных схем, развитой для линейных задач, в точном понимании неприменимы к нелинейным разностным задачам, возникающим в газовой динамике. Основные понятия теории разностных схем — понятия аппроксимации, устойчивости и сходимости — нуждаются в пересмотре и обобщении, и этот пересмотр в настоящее время весьма далек еше от завершения.
Поскольку движение в средах, лишенных вязкости и тепло. проводности (а такая модель применяется довольно широко), описывается разрывными функциями, то, вообще говоря, дифференциальные уравнения неприменимы для его описания. Как мы знаем из главы 2, движение в таких средах можно описывать с помощью систем интегральных или интегро-дифференциальных уравнений — законов сохранения массы, импульса, энергии. Таким образом, в газовой динамике мы имеем дело, вообще говоря, с разрывными решениями систем интегро-дифференциальных уравнений. Поэтому аппроксимация должна пониматься как аппроксимация интегральных законов сохранения в классе разрывных решений.
В частности от точного решения нельзя требовать ограниченности производных, так как они не существуют. Поэтому представление о порядке аппроксимации должно быть получено с помощью других терминов, других норм близости решений. Точно так же понятие сходимости разностной схемы существенно зависит от класса решений законов сохранения. Ясно, что норма близости двух обобщенных (разрывных) решений является слабой. В главе 4 обсуждается норма близости двух обобщенных решений; наиболее подходящей представляется норма пространства 1.1.
Аналогично понятие устойчивости нелинейной разностной схемы, перенесенное из линейной теории, имеет весьма ограниченную ценность ввиду отсутствия принципа суперпозиции решений. Кратко говоря, вопрос о приближении с заданной точностью решения системы нелинейных законов сохранения с помощью решения системы нелинейных разиостных уравнений не расчленяется на отдельные, более простые требования, а решается, как правило, целиком, притом для каждого узкого класса задач по-своему. Вместе с тем нельзя недооценивать значения линейной теории разностных схем, тем более, что она пока является единственным инструментом исследования нелинейных схем.
Решение системы законов сохранения, помимо линий разрыва, имеет области, в которых оно является классическим решением дифференциальных уравнений газовой динамики. Поэтому в этих областях $ х методы постРоения РАзиостных схем можно применять понятия аппроксимации, точности аппроксимации и другие понятия линейной теории, На заданном фоне, т. е. фиксируя какое-либо решение уравнений газовой динамики, можно изучать развитие малых отклонений решения с помощью понятия устойчивости из линейной теории.
Таким образом, наш общий вывод таков, Необходимо применять все понятия и методы линейной теории разностных схем н для случая схем нелинейных, однако, столь же необходимо помнить, что они не обоснованы и могут привести к неверным выводам. 2. Способы описаниия газодинамических течений и построения разностных схем. Характер применяемых схем интегрирования уравнений газовой динамики существенно зависит от способа описания течения. В предыдущих главах мы пользовались следующими тремя способами описания течения: 1-й способ, Область 6 плоскости х, 1, в которой рассматривается движение, разбивается сильными и слабыми разрывами на области 6; гладкого течения, в которых удовлетворяются уравнения газовой динамики, в то время как на разрывах удовлетворяются условия совместности.
В этом рассмотрении обобщенное решение есть совокупность гладких решений, определенных в областях 6; и примыкающих друг к другу через линии разрывов с соблюдением условий совместности. Прн таком описании возникает необходимость численного интегрирования уравнений газовой динамики в областях 6; с выполнением условий примыкания на линиях разрыва. Наиболее известным разностным методом, соответствующим первому способу описания, является метод характеристик, Действительно, среди линий раздела мы имеем слабые разрывы и контактные границы, являющиеся характеристиками, что делает удобной характеристическую разностную схему. Полная детальность описания течения, составляющая положительную черту метода характеристик, затрудняет одновременно его реализацию на ЭВМ из-за сложной логики расчета особенностей и построения фронта расчета.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
