Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Мы начнем с рассмотрения явных схем бегущего счета для одномерного плоского кусочно-изоэнтропического течения газа, не содержащего ударных волн, Как известно, такое течение описывается в лагранжевых координатах системой уравнений в инвариантах (см. гл. 2, $ 3) дг дг дз дз — +а(Я, и — з) — =О, — — а(3, и — з) — =О, (1) дг ' дд ' сзг ' дд где а ор есть массовая скорость звука, энтропия 3 является кусочно-постоянной функцией, местами разрыва которой являются контактные границы.
Для системы (1) поставим задачу с начальными и краевыми условиями г(г), 0)=ге(д), а(д, 0)=ао(д), 0(д~1;), и (О, 1) = ( (1), р Я, Г) = и (Г). 440 ГЛ. О, РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ГАЗОВОП ДИНАМИКИ д = Я. Поэтому краевые условия (3) можно записать в виде г(0, 1)+ з(0, 1) =2((1), г Я, У) — з Ю 1) = й Я = Р ' (р, 3) = Р ' (а (1) 3). На внутренних контактных границах !1= !1! ставятся обычные условия р+=р;, и+=и;, (6) которые в терминах инвариаитов имеют вид Р(З~, г! — з! )=Р(З!, г! — з! ), г+ + з+ = г,". + з-!. (7) Здесь знаком о+» обозначены величины справа, знаком « — » величины слева от о-й границы.
В случае политропного газа, когда Р (Я, г — з) = У (Я) (г — з)", (3) где а= —, условия (7) становятся линейными; Ет У (9) Й= Л!)!=д!+! — д!=сова( = —, О + У+1' (10) !10= 0 г(! = й ° Чя+! = (У+ 1) Ь =Ф Для решения поставленной задачи может быть предложена явная схема бегушего счета: ! +' =(1 — х"')г"'+ х"'г'", ! ( ! ) ! ! г-! а'"+ ! = (1 — х"') з'" + х".'з'" ! ( ! ) ! ! !+! хР=а~ т ! ! /!' к которой присоединяются начальные данные '!=гсч з; зо! о о— и краевые условия го +хо =21"', г,у+! — ззч.! = й (13) (14) Переходя к разностным уравнениям и предполагая сначала отсутствие внутренних границ, построим сетку, равномерную по массе, так что о Ь ЯВНЫЕ СХЕМЫ БЕГУЩЕГО СЧЕТА С помощью соотношений (11) г',"+' определяются последовательно от 1=1 до != А!+ 1, а из (14) определяется з"+!.
Аналогично из (12) определяются э',"+! (1 = А1,..., 0), а из (13) определяется го+'. После этого (т+ 1)-й слой сосчитан, и для определения (т+ 2)-го слоя процедура полностью повторяется, При условии х,". ~(1 (15) схема (11), (12) является схемой с положительными коэффициентами, что обеспечивает, как было показано в п. 3 9 3, ее устойчивость. Докажем сходимость решения задачи (11) — (14) к решению задачи (1), (3).
Предположим, что задача (1) — (3) имеет решение г(д, 1), з(д, 1), обладающее непрерывными вторыми производными по д,(. Обозначим через бг',", бг,'" разности бг,. = г'," — г (й, тт), бз'," = з'," — Б (й, тт), где г(й, тт), з(1а, тт) — точное решение задачи (1) — (3) в точках сетки д= й, 1=тт. Величины бг',", бз,. удовлетворяют разностным уравнениям — а1г(!а, тт) — з(й, тт))) ' ' +)Сш бзч+1=(1 — х'")бз'"+ х'"бз'" + т(а(г'" — з'")— (16) 1 1 1 1+! (!й ) ( 1, )) ) о(1!+ 1)Л, о!Т) о(!Л, 1Бт) + )~т с начальиыии и краевыми условиями бго=О, бзо=О, 1 бг + бэ = 9, бг — бз = 9. ) О О ° А+! А1+! Остаточные члены го!1, )Го! имеют порядок 0(т'). Учитывая гладкость решения г(!1, 1), Б(д, 1), систему (16) можно переписать в виде бг! + = (1 — х! ) бг!" + х! бг1 ! — Та! (бг1 — бэ1 ) + 1!!1, 18 бэ1 =(1 — х1)бз1+и! бз1о-!+Т61" (бган! — ба~1)+)(11!э ) где а',"=а (9") ' 9" ..., о((!+ ПЛ, ) — о(1Л, 1 р! =а'(9') л 442 Гл.
а РАзностные метОды ГАЗОВОЙ динАмики являются ограниченными величинами, 9 = г — з, 9' — промежуточное значение 9 в формуле конечного приращения. Нетрудно видеть, что при условии (15) для оператора шага С +1 задачи (17), (18) справедлива оценка 1~ С „, 1~ ~ 1 + 2Ат, где А=шах шах (~ а~ ~, ~ р, ~ ), и норма вектора (бг, бз ) = =(бг',", бз, ) определяется как шах шах ( ! бг'," ~, ~ бз, )). Следовательно, справедлива оценка (см. и 2, п. 1) ~ь,"~,1т;1<с" * (/ —,"$,$+$)=о11, из которой следует сходимость 1бгГ~-+О, '1бз1 ~-+О при т-+О равномерно по 1, гп в области существования решения г(д, г)', з(1) 1) ° Если имеются контактные границы, то в разностные уравнения войдут также соотношения (7) на границах. Для простоты рассмотрения предположим, что имеется одна контактная граница, расположенная в точке д = )Ь сетки.
Тогда инварианты г, з разрывны в точке д = )Ь. Для левых значений (гг + ) и правых (з'"+') справедливы уравнения(11), (12), которые принимают вид (Г") =(1 —;) (,т) +(;т);„ (Зта1) — (1 Нт) (Зт) + (11т) Зт К иим следует присоединить соотношения (7); Р~(Я ) (1 та!) (Зт+1) ~ — Р~(Я ) (Гт+1) (Зт+1) (1т.1-1) + (Зт+1) (ГтЧ-1) + (Зт.1-1) которые при известных (г'"+') (з'"+') позволят определить (г'"+'), (з'"+'), после чего весь счет продолжается, как обычно При наличии нескольких контактных границ каждая из иих рассчитывается по указанному алгоритму. $ х яВные схемы БеГущеГО счетА 443 Если в течении отсутствуют ударные волны, но энтропия внутри каждого слоя переменна, то уравнения, описывающие движение, становятся неоднородными: да да — — а (а, г — з) — = г" ~ (д, г — з), дг дг — +а(д, г — з) — =г (д, г — з).
дГ ' дд Тогда левые части уравнения аппроксимируются, как и в однородном случае, правые части берутся с и-го слоя и сходимость доказывается аналогично, при том же условии (! 5). В общем случае система квазилинейных уравнений, в том числе и уравнения гидродинамики, ие приводится к инвариантам.
Однако и в этом случае возможен бегущий счет. Такая схема была предложена в работе Р. Куранта, Е. Изаксона, М. Риса [1952). Пусть для гиперболической системы 1'(и' ' ' " "") Е дг + ~А (и' ' ' ' "") дх ] = ~'(и' (й, а = 1, ..., и) Разностную схему (21) можно переписать в виде (24) 1а и, + = 1,~ [(1 + НА ) Š— иа ТД ~и + )А т, хА < 0 где положено аагт НА = — ", аБА = аьА (и(а, ° ° ° иа )' (2б) 1а = 1а (и1, ...~ иа )~ поставлены начальные данные и,(х, 0) =и„(х). (20) Аппроксимируем задачу Коши (19), (20) разностной задачей Коши г„+~ аааг ~ )А (и',"...,, и„'"), и', (х) = и„(х), где и, (х) есть решение (21), (22), определенное на момент Г = тт, и Л=Ь, при $ (и',",..., и~) ~~0, 1 Ь=Ь, при $А(и,, ..., и„") (О.
) (23) 444 ~ ГЛ 3 РАЗНОСТНЬ>Е МЕТОДЫ ГЛЗОВОН ДИНАМИКИ При ~к'„"~(1 разностные операторы (1 — х )Е+и Т, (нь")О), (1+и'")Š— нл"Т, (ит(0) становятся положительными, а схема (24) аналогична положительным по Фридрихсу схемам. В вышеупомянутой работе показано, что при выполнении условия ~и ~(! решение и (х) разностной задачи (21), (22) сходится в С к решению задачи (19), (20). Мы рассмотрели два варианта бегущего счета: а) в инвариантах, б) для характеристической системы.
По постановке краевых условий и по простоте алгоритма предпочтительным является счет в инвариантах. В общем случае приведение к инвариантам возмогкно только для продолженной системы (см. гл. 1, $ 4, п. 3), после чего становится применимой схема бегущего счета. 9 8. Однородные разностные схемы. Схемы с псевдовязкостью Рассмотренные нами характеристические схемы и схемы бегущего счета отличались той особенностью, что регулярный и единообразный счет для них возможен только в областях гладкости течения. Наличие разрывов приводит к сильному усложнению этих методик. Поэтому возникает необходимость в единообразной схеме, формулы которой были бы однотипными в различных точках сетки независимо от наличия и характера особенностей решения в окрестности точки. Такие схемы расчета получили название однородных.
Такая постановка задачи, естественно, предъявляет дополнительные требования к вычислительному алгоритму, так как он теперь должен хотя бы в принципе «одинаково хорошо» описывать как гладкие, так и разрывные течения. Поэтому мы кратко обсудим эти требования. 1. Способы единообразного описания газодинамических течений. Если рассматривать течения сжимаемых газов и жидко. стей в отсутствие вязкого трения и теплопроводности, то они, как это следует из содержания глав 1, 2, описываются разрывными величинами. Поэтому не существует систем дифференциальных уравнений, применимых для описания разрывных течения по той простой причине, что параметры разрывных течений недифференцируемы.
Особенности, возникающие в параметрах течения, таковы: слабый разрыв (разрыв производных), контактный разрыв (тра. ница раздела между газами с различными термодинамическими параметрами) и, наконец, сильный разрыв (ударная волна) Ф а одногодныя ялзностные схимы Множество всех течений с указанными особенностями описывается единообразно — должны выполняться законы сохранения массы, импульса и энергии для любой выделенной части газа илн пространства. Как мы видели в $2 гл. 2, это приводит к выполнению интегральных законов сохранения, которые мы снова выпишем в случае одномерных течений с различного рода симметрией (т = О, 1, 2). В эйлеровых координатах они имеют вид рх' йх — рих' Й = О, с $ рих' йх — (р + риз) х" Ж = — ~ ~ трхв-' йх йГ, с ос (2) $р(е+ я)» г(х — Ри(е+ — + я)х й|=0 (3) с (см.
формулы (2.3.13) — (2.3.15) гл. 2). В лагранжевых координатах (а — массовая координата) эти законы сохранения таковы: $ У йа + х''и |И = О, (4) с и й|7 р з йг — 3 1 а|)йг $ ГГ тря к с (е+ — ) 1й — ирх й1= О, с (6) (6) (см. формулы (2.4.10) — (2.4.12) гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
