Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 74
Текст из файла (страница 74)
дг дг ди да д! дх ' д! дх (9) В этом случае уже формулы (3), (4) без пересчета дают точное решение задачи Коши для (9), так как характеристики (9) прямые. Схема (3), (4), имеющая первый порядок точности на гладких функциях„в данном случае обладает бесконечно болыпнм порядком точности на классе гладких решений системы (9). В то же время схема любого порядка точности с постоянной сеткой дает только приближенное решение задачи (9). Этот пример хорошо поясняет преимущества характеристической сетки, которая минимизирует разность областей зависимости схемы и уравнения и тем самым величину остаточного члена.
Построение фронта расчета может проводиться в регулярном случае также и иным образом, не по пространствениоподобным рядам, как указано на рис. 3.8, а по характеристическим линиям. где г1+', ЗГ~' сосчитаны по (4), х, +', 1~"+' — по (5). Пересчет по формулам (5) — (8) повы!Дает порядок точности схемы, но дополнительный пересчет не приводит к дальнейшему повышению порядка точности, и поэтому достаточно ограничиться одним. Для политропного газа с у = 3, плоской симметрией и постоянной энтропией уравнения (1) принимают вид (см. гл. 2, $ 2,п.9) $6 МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК Указанный алгоритм расчета переносится на более общие си- стемы уравнений.
Пусть ( д~ ) =1 ( з +ЕА ~„)=1А (й, а=1, ..., п) (10) есть гиперболическая система в характеристической форме, для которой сушествуют инварианты. Уравнения Нх — „, =$А(х, 1, и) определяют а однопараметрических семейств характеристик. В обшем случае любая пара семейств образует характеристическую сеть, не совпадающую с сетью, соответствуюшей другой паре.
Пусть для определенности выбрана пара характеристик, Рис. 3.10. соответствуюшая индексам й = 1, й = и, М вЂ” рассчитываемая точка сетки (рис. 3.10), АА — основание й-й характеристики, опущенной из М иа линию АВ. Точки Аь А„являются узлами сетки, точки Аь ..., А„, расположены между ними, и для определения и,в точках Аь ..., А„~ требуется интерполяция по значениям и(А~) и и(А,). Таким образом, кроме переноса по характеристике появляется оператор интерполяции, что приводит к эффектам сглаживания, присушим обычным разиостным методам. В обшем случае уравнения (10) не имеют инвариантов, и необходимо перейти к более сложной продолженной системе (см. гл.
1, $5). Тем не менее метод характеристик и в этом случае сохраняет с большой точностью область зависимости гиперболической системы. Указанный регулярный алгоритм построения характеристи-- ческой разностной сетки и приближенного интегрирования уравнений в инвариантах возможен в области гладкого решения.
Если в окрестности расчетной точки содержится какая-либо особенность (ударная волна, контактная граница, произвольный 436 гл. 3 илзностныв мятоды глзовоп динамики разрыв, место возникновения ударной волны, центрированная волна разрежения), то формулы видоизменяются в соответствии с характером особенности и конфигурацией сетки. Рассмотрим ряд типичных конфигураций. 2. Метод характеристик в окрестности контактной границы. Проиллюстрируем особенности алгоритма на примере плоско- симметричного кусочно-изоэнтропического течения и лагранжевой системы координат. Теперь расчетные точки должны располагаться не только на гч з-характеристиках, но и на контактной границе, которая является координатной линней д = = сопя( (рис. 3.11). Неоднородрз ность расчета, связанная с гра- ницей, приводит к двум фронтам р расчета.
Л/ Пусть Р!, Я, — последние расхг четные точки на контактной гра- 7Г л' х нице Г, расположенные на левой, соответственно правой, стороне ее; М, К в соседние к ним Д=-4г точки фронтов расчета. Точки У, Л вычисляются регулярным обРис. 3.! !. разом. В первом приближении, исходя из точки У, можно рассчитать точку Рз пересечения г-характеристики МА! с границей Г и определить в ней значение инварианта и,. Аналогично, исходя из точки Ь, можно определить точку Яз и инвариант зи в ней. По точкам Рь Р, в Яз интерполируется значение г . Условия непрерывности р, и на контактной границе, взятые в точке Ям приводят к соотношениям "и + ил ги + ап 2 2 Из (1) определяются и„, 3. в Я,. Таким образом, фронт расчета справа продвигается на один шаг, и мы сможем в первом приближении найти точки )г, Я, и инвариант 3„ в последней.
Это дает возможность рассчитать аналогично прежнему точку Рз, после чего цикл расчета завершен в первом приближении. Можно построить и формулы второго приближения, довольно сложные. 3. Метод характеристик в окрестности ударной волны. Вновь наличие разрыва приводит к двум фронтам расчета, однако, в отличие от предыдущего случая, линия разрыва уже не являет. ся временно-подобной линией. Как следует из теоремы Пемпле- 437 й К МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК на, линия ударной волны будет пространственноподобной на переднем фронте и временно-подобной на заднем (рис.
3.12). Линия ударной волны «срезает» сетку характеристик перед собой, н все значения величин на переднем фронте известны, так как они приносятся характеристиками снизу. В то же время на задний фронт переносится по характеристике только инвариант г (в случае волны, идущей вправо), инвариант з уносится от линии ударной волны, определяясь на Рис. 3,12.
Рис. 3.13. ней из условий Гюгонно. Для простоты рассмотрения ограни- чимся случаем изотермического газа, когда условия Гюгонио записываются в пнвариантах (см. гл. 2, $ 4, п. 6): г, — г„= а<р (М), (1) з, — з„= аф(М), (2) (р (М) = М вЂ” — + 1п М2, Ф (М) = М вЂ” А — 1п Ми, 1 з 1 М (3) 11 — и„ М=— и — =Вя, В А 'В 1А аппроксимирующий траекторию ударной волны в окрестности А.
На характеристике Р1. можно проинтерполировать в точку В значения г„, з, по их значениям в точках Р, (.. где через а обозначена изотермическая скорость звука. Зная г„г„, ии, из (1), (3) определим скорость ударной волны Б, а из (2) определим з,. Пусть линия ударной волны (рис. 3.13) пересекает в точках А, В элемент (ячейку) (.Мд(Р характеристической сетки, уже рассчитанный, и пусть в точке А известны величины г„з„г„, з„ и, следовательно, О. Тогда характеристический треугольник ВАР слева от линии ударной волны полностью рассчитывается. Из точки А проводится отрезок прямой АВ 438 ГЛ. Э.
РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Так как отрезок А0 полностью сосчитаи, то на нем можно найти точку С такую, что в первом приближении Г-характеристика, проведенная через нее, проходит через точку В. Эта задача РешаетсЯ линейной интеРполЯцией инваРиантов Гв, зв, ГА, ЗА в точку С при условии, что отрезок прямой с с+ с+ — 2 с пройдет через точку В.
Если обозначить параметр линейной интерполяции вдольА0 через О, то расчетные формулы для определения 0 имеют вид хз — хС хэ — [хл + О ~х — хл)Э г — г г — р +8 Э вЂ” сх)) — (пл). +81"О ("л) )+и. После этого опРеделЯютсЯ все величины. ОпРеделив (Га)„ можно рассчитать 0З, после чего точка В пересчитывается по формуле трапеции хв — хз ОА+ пв 1в — 1А 2 Это позволяет пересчитать точку С, а также инварианты (Гэ)„(зв)х, (Гв), после чего точка В ЯвлЯетсЯ сосчитанной, и фронт расчета слева от ударной волны может продвинуться еще на один шаг. Аналогично, с некоторым усложнением, проводится расчет в случае течения с переменной энтропией, когда нужно вводить в рассмотрение траектории. Конечно, возможны и другие формулы расчета и другие конфигурации взаимного расположения линии ударной волны н характеристической сетки.
Аналогичные трудности возникают при рассмотрении особенностей типа: 3) центрированная волна разрежения; 4) распад разрыва; 5) пересечение характеристик одного семейства с последующим образованием ударной волны; 6) граница с вакуумом, когда происходит вырождение элемента сетки. В каждой конкретной ситуации задача продвижения фронта расчета на один шаг в окрестности заданной особенности сводится к интерполяции и решению задач аналитической геометрии. Трудности метода характеристик заключаются в построении фронта расчета при наличии большого количества особенностей $ т. явные схемы несущего счетА 439 различного типа. Тогда расчет становится нерегулярным и определение возможной конфигурации и выбор формул расчета становится основной задачей.
К этому присоединяются трудности распределения памяти, вызванные срезанием ударной волной характеристической сетки. Несмотря на большие логические трудности реализации метода характеристик иа ЭВМ, в СССР созданы программы, позволяющие рассчитывать с большой точностью течения, содержагцие большое количество особенностей (см. А. И. Жуков [1960)) . й 7. Явные схемы бегущего счета (2) (3) Краевые условия (3) означают, что заданы скорость левой границы и давление на правой. Конечно, можно выбрать другую комбинацию краевых условий (например, на обеих границах заданы скорости или давления). Уравнение состояния задано формулой') р= Р(5, и — з).
(4) При отсутствии в течении ударных волн энтропия постоянна на каждой линии д = сопз(, в том числе на границах д = О, ") Мы считаем для простоты, что контактные границы разделяют газы с одним и тем же уравнением состояния (4), но с разными значениями энтропии. Задача несупгестненно усложняется, есди гази считать различными. Ближайшими к методу характеристик являются схемы бегу. щего счета. Как и метод характеристик, они исходят из уравнений в инвариантах или в характеристической форме, но разностная сетка не является уже характеристической.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
