Главная » Просмотр файлов » Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике

Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 69

Файл №1161626 Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике) 69 страницаБ.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626) страница 692019-09-19СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 69)

Прн условии О а.. 1 — н (х) ( 1 (4) справедлива оценка )г +'(х) ) '[1 — х" (х)][г (х) [+н (х) «г (х — Ь) «+ + т[д (х) ««г (х) ~. (6) 406 гл. а плзностныя методы газонов динамики Выбирая в качестве нормы решения г (х) величину ![г'"[!= =тах[г"'(х) [, находим из оценки (5) '[[<(1+ пт)][г [[, (6) где д = шах ! д™ (х) ! ( гп ах ! а (х, 1) !. м. х к,г Отсюда следует равномерная устоячивость схемы (2) в пространстве С( — 1, 1) (1 — любое) при выполнении условия устойчивости (4) 0(н" (х) =в~(х) — „(1.

(7) Заметим, что при в (х) ( 0 схема (2) неустойчива. Покажем равномерную устойчивость схемы (2) при условиях периодичности в 1.,( — 1, 1), в предположении периодичности коэффициентов в(х, 1) н д(х, 1) и лнпшиц-непрерывностн $(х, 1) по переменному х. Умножая равенство (3) на г +' (х) и учитывая (4), имеем [гм+' (х)]з = [! — нм (х)] гм (х) г +' (х) + н"' (х) гм (х — Ь) г"'4' (х) + + тд'"(х)гм(х)г" ю(х)( [г (х)] + + [г +~ (х)] + 2 [г (х — Ь)]з+ [г~+'(х)]'+ + [г (х)! + [г '(х)] ) [ мз-1( )]з + — н (х) [ м( )]з+ 2 2 + н~ (х],н й)]з+ [г (х)] + [г (х)] 2 Ю 2 Отсюда (2 й 2)[ нм (х) [г (х)] + — [г (х — Ь)] + — [г (х)] = — н (х) [г„,(х)], + и (х — ) [гм(х — ь)]'+ ят [г" (х)]'-1- + нм(х) — нм(х — Ь) [ м( 2 Интегрируя это неравенство по х в пределах от — 1 до 1, имеем ![г +1[[( )+~ +~ [[г []з=[1+О(т)]![г ![з, (8) где положено С= зцр[~ (х) з (' ")] Ь т 3, ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОИЧИВОСТИ РЛЗНОСТИЫХ СХЕМ 407 Отсюда следует равномерная устойчивость схемы (2) в Т.ь если выполняется условие (7) и ~ы(х) липшиц-непрерывна.

Указанные оценки переносятся без больших изменений на схемы, аппроксимирующие системы уравнений в инвариантах дт дте К. О. Фридрихс [1954) ввел общее понятие положительных схем — разностных схем с положительными матрицами— и установил для них достаточный критерий корректности в 1.е Мы сформулируем критерий Фридрихса, ограничившись случаем одного пространственного переменного. Пусть линейная система дт = А (х, 1) д (9) (12) ") Имеется в виду скалярное пронзведенне в пространстве действнтельнмк векторов и = [ан ..., ие), о = (он ..., ок), (Н,о) аа"а а=), ..., п.

аппроксимируется явной разностной схемой и е'(х)= ~ В (х, 1, т, 6)и'"(х+ай). (10) а -е, Здесь А =)) ац ~), В,=~ да 1 — действительные матрицы в Е„. Пусть схема (10) удовлетворяет условию 2: В.=В, (1 1) а -е, которое означает, что постоянный вектор и (х) = сопз( яв- ляется решением (10). Тогда схема (1О) аппроксимирует урав- нение (9) при условии — аВ,=А+ 0(т). а -а Критерий Фридрихса формулируется следующим образом. Схема (10) корректна в Ея, если матрицы В„симметричны, положительны и липшиц-непрерывны по х, так что восполняется условие Н 1 оа(к+Н) оа(х) ~ (13) Ь 1 Умножая равенство (10) скалярно ') на и"+', принимая во внимание условие (11) и неравенства (В,и, о) ( чу(В„и, и) )/(В„о, о) «= 408 ГЛ.

3. РАЗНОСТУ1ЫЕ МЕТОДЫ ГАЗОВОЛ ДИНАМИКИ имеем (и '"', и'"+') = ~ (В, (х) и'" (х + аЬ), и"'+' (х)) ~ а--в1 (т(~ в.у*у 'у*у, " 'с*у)-у а -в, е + — ~ (Ва(х) й (х+ аЬ), и" (х+ аЬ)) = а -у, % = е (и +'(х),и +'(х))+- ~ (В,(х+аЬ)и (х+аЬ), и (х+аЬ))— а -е — — ((Ва(х+ аЬ) — Ва(х)! и (х+ аЬ), и (х+ аЬ)).

(14) а Интегрируя неравенство (14) в пределах от — 1 до 1, находим 1! и™+! )('( е 1)и +У)(с+ — Ьт))и Р+ с + ~ ~ ~ (Ва(х+аЬ)и (х+ аЬ), и (х+ аЬ)) с(х, -!а -р, где положено с Пи~Р = $ (и(х), и(х)) ссух. Учитывая периодичность функции и(х) и условие (11), проделаем следующее преобразование: е (Ва(х+аЬ) и (х+ аЬ), и (х+ аЬ)) исх= -1 а--,у; у, ву ~ (В,(х)и (х), и (х))иух= ~ ~ (В,им(х), и (х))ах= -са -е а--е =1((С в.) "у*у, у,у)в,=у,.с. а -е Окончательно имеем )~нас+У 1(с((1+ Ьт)1)и'"1в. (15) Утверждение доказано. $2.

нсследовАР!ие устончивости РАзностных схем 4оэ Отметим, что для положительных разностных схем (10) справедлив также локальный критерий устойчивости. Схемы с положительными коэффициентами и матрицами составляют ограниченный, хотя и весьма важный класс разностных схем. Как правило, это схемы первого порядка точности, в которых производные аппроксимируются односторонними разностными отношениями.

При аппроксимациях более высокого порядка точности, когда берутся центрированные разности, мы, как правило, не получаем положительных коэффициентов. В этом случае мажорантные оценки устойчивости усложняются. Такого рода оценки носят название априорных оценок.

Метод априорных оценок для разностных схем аналогичен соответствующему методу для дифференциальных уравнений, однако в разностном случае его реализация встречает ббльшне трудности. Это связано, конечно, со спецификой разностного анализа, в котором многие соотношения обычного анализа или не имеют места, или принимают более громоздкий вид. Рассмотрим метод априорных оценок на примере уравнений акустики (3.2.3), для интегрирования которых используем неявную схему: т+1 т — (аг)тт! а! т+! т А т+1 т = — ' ит+', (17) т А Ь,=Т,— Е, Ь 1=Š— Т Априорная оценка для этой схемы аналогична энергетическому неравенству для системы (3.2.3), установленному в п.

3. Умно- жая (16) на 2и .~1, (17) — на 2(аг) ч.!От+! и складывая, полу- чаем после несложного преобразования [(ит+')'+ (ат+1О Е')'[ — [(ит)'+ (атпт)2[ = — (ит+1 ит)2 [ат.1-1 (От+1 Пт)[2 + [(ать!)2 (ат)2] (Пт)2 + + — „(ат+')'(ит+'Ь,пт+'+ пт+1Ь 1ит+1). (18) Принимая во внимание формулы разностного дифференциро- вания произведения Ь, ([д) = (ЬД д+ (ТД Ь,й = (Ь,[) Т,й+ ( Ь,д, Ь,((д)=(Ь Дд+(Т ДЬ,й=(Ь,[)т,а+(Ь,д, преобразуем выражение (От+1)2 (ит+1 Ь,т-1-1 1 О~-1-1 Ь ит+1) а! (ит-1-1 О~-1-1) к следующему виду: 2((и~'Р! Отч1) — Ь,[(От+!)гп +!Т !итн[ ит+1Т от+1 Ь,(От+!)г 410 ГЛ. 3. РЛЗИОСТИЫЕ МЕТОДЫ ГЛЗОВОИ ДИНЛМИКИ Тогда из (18) следует ((ит+1)1 1 ( ~и+1,щ+1)З) (( м)З 1 (, т,т)З),-.

( А ((ам+1) От'1 1 Т ит'1 1) 1 б т ((ит) + (ото~и)з) + + бзт ((и е')'+ Т, (а 41Т1О "1)"1, (19) где (а'и+ ) — (а"') Ь япр ( ) 1 Л,(а~4 ) Ьз — — зпР т,(и ь~)' ь (20) Интегрируя (19) по х, получаем где |~ Ф У = ~ (и'+ а'о') Нх. -1 Отсюда следует оценка ь1р 1+ Ь1т ~~ 2Т доказывающая безусловную равномерную корректность схемы (16), (17) в случае липшиц-непрерывной функции а(х,1). Аналогичные оценки устанавливаются для схемы, в которой величины на верхнем слое входят с весом а, на нижнем — с весом 61 им+' — им = а,(а"41)' — 'о 41+ 61 (а'")' — 'о"', Ь ь (21) ,т+1 „т = =' [а,и'"+' + 61и"'), Ь а1+р1=1, а; «О, 61 «О, 1=1, 2. В заключение этого пункта отметим, что метод априорных оценок и энергетических неравенств применяется очень часто для оценки устойчивости разностных схем с переменными коэффициентами, в том числе с переменным шагом 61 по пространственной координате х. В монографии А.

А. Самарского и А. В. Гулина (1973) приведено значительное число разностных схем, для которых применим этот метод. 4. Практический подход к проблеме устойчивости вычислений. Применение метода Пикара для подавления неустойчивости. Понятие устойчивости и неустойчивости разностной схемы, обсуждавшееся в предыдущих пунктах, имеет асимптотический характер, т. е, неустойчивость схемы проявляется при 5 х исследОВАние устопчивости РАзиост!1ых схем 41! т-»0 или в другом плане при 1- со (т = сопз1). Тем не менее неустойчивость разностной схемы возникает в практических вычислениях и при конечном шаге т и притом очень быстро.

Она проявляется в быстром росте осцнллирующих по пространству и времени решений, соответствующих краю спектра, и приводит к переполнению н «авосту» ЭВМ. Поэтому имеет смысл обсудить вопрос о практических методах решения дифференциальных уравнений с конечными шага. ми т, А ) О, которые избавляют от эффектов неустойчивости. Мы рассмотрим их на примере эволюционной задачи для системы — = Т. (х) и, ди д! и(х, 0) =и,(х) (1) (2) с периодическими с периодом 21 по переменному х начальной функцией ие(х) и матрицей-оператором 1' (х). Под Ь(х) можно подразумевать дифференциальный оператор, хотя рассмотрение возможно и для случая интегрального или интегро-дифференциального оператора.

Предположим, что на отрезке [0,21] мы ввели сетку 2! х1=)6, 1=0, 1, ..., М; Й= —, которую мы считаем достаточно мелкой для приемлемого описания и(х, 1) через ее значения в точках и(х1,1). Аппроксимируя на этой сетке оператор ь(х), мы заменяем его матричным оператором Л(А). Представление об ошибке этой аппроксимации получим, оценивая й (Л (й) — 1'.

(х)) и !! — =Л(6)ип и,(0)=и,(х!), ди (б) на решениях (а чаще просто на достаточно гладких функциях) и(х,1) задачи (1), (2). Очень удобное представление этой погрешности пространственной аппроксимации дает сравнение спектров разностного оператора Л(й) и исходного Т.(х). После того, как выбрана аппроксимация Л(й) (.(х), предстоит выбрать разностную схему для численного решения задачи (1), (2) по времени. Мы сравним и обсудим здесь три схемы приближенного решения задачи (1), (2): и~+ — и"' = Л (Ь) им, и" = и„(х,), (3) им+! — ит = Л (Ь) им+! и' = и, (х,.) 412 гл. а ялзностныв методы гхзовои динлмики Схема (3), очевидно, — явная схема первого порядка точности по т, схема (4) — неявная схема того же порядка точности по т, наконец, (5) — система обыкновенных дифференциальных уравнений, которую можно рассматривать как предел схемы (3) или (4) при т- 0 (или же считать ее схемой бесконечного порядка точности по т).

Чтобы обсуждение было более предметным, мы будем считать, что оператор ~(х) имеет собственные значения (Л«), для которых КеЛ»(а, йе Л»4) (~ Йе Лы (те Л»-» — оо при й-+ оо. (6) Условия (6) типичны для многих задач математической физики. Спектр разностного оператора Л(Л), как мы знаем из 9 2, конечен; он состоит из пМ= )ч собственных значений Л«(Л) и соответствующих им собственных векторов.

Будем считать, что собственные значения Л»(Ь) также подчинены условиям (6) (при больших 1))) и они неплохо аппроксимируют первые собственные значения Л«и сохраняют качественное поведение Л« в остальной части спектра. Никаких ложных корней Л«(Л) на краю спектра (при Й вЂ” У) нет, иначе все три схемы окажутся неприемлемыми для расчета задачи (1), (2), Ограничение на шаг т для явной схемы (3) вытекает из дисперсионного соотношения гпах! р»1= гпах(е"4' ~ =шах) 1-1- Л„(Л) т ~ < 1 (7) э » э Для неявной схемы при выполнении (6) обычно нет ограничений на шаг т (например, при а = 0); это ограничение может возникнуть, однако, если нет хороших способов решения системы линейных уравнений (4) относительно и, +' и применяется метод последовательных приближений, например, и+)) и) и',"+' = и',"+ тЛ (Ь) и)"+).

(8) В этом случае для сходимости при з -» оо итераций (8) нужно требовать т)~ Л(Л) ~! < 1 и тшах~ Л«(Ь) ~ < 1. (9) Наконец, система обыкновенных дифференциальных уравнений (5) при выполнении (6) представляет собой «устойчивую» на любом конечном интервале (О, 1) систему. Вопрос о том, как решать систему (5), с каким шагом т и не очень ли это трудоемко, имеет много аспектов. Конечно, можно пользоваться готовыми программами интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений, например, использующими методику Рунге — Кутта высокого порядка точности, 4 3. ИССЛВДОВМО|Е УСТОЙЧИВОСТИ РХЗИОСТНЫХ СХГМ 4!3 с автоматическим выбором шага и т. п.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6521
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее