Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Прн условии О а.. 1 — н (х) ( 1 (4) справедлива оценка )г +'(х) ) '[1 — х" (х)][г (х) [+н (х) «г (х — Ь) «+ + т[д (х) ««г (х) ~. (6) 406 гл. а плзностныя методы газонов динамики Выбирая в качестве нормы решения г (х) величину ![г'"[!= =тах[г"'(х) [, находим из оценки (5) '[[<(1+ пт)][г [[, (6) где д = шах ! д™ (х) ! ( гп ах ! а (х, 1) !. м. х к,г Отсюда следует равномерная устоячивость схемы (2) в пространстве С( — 1, 1) (1 — любое) при выполнении условия устойчивости (4) 0(н" (х) =в~(х) — „(1.
(7) Заметим, что при в (х) ( 0 схема (2) неустойчива. Покажем равномерную устойчивость схемы (2) при условиях периодичности в 1.,( — 1, 1), в предположении периодичности коэффициентов в(х, 1) н д(х, 1) и лнпшиц-непрерывностн $(х, 1) по переменному х. Умножая равенство (3) на г +' (х) и учитывая (4), имеем [гм+' (х)]з = [! — нм (х)] гм (х) г +' (х) + н"' (х) гм (х — Ь) г"'4' (х) + + тд'"(х)гм(х)г" ю(х)( [г (х)] + + [г +~ (х)] + 2 [г (х — Ь)]з+ [г~+'(х)]'+ + [г (х)! + [г '(х)] ) [ мз-1( )]з + — н (х) [ м( )]з+ 2 2 + н~ (х],н й)]з+ [г (х)] + [г (х)] 2 Ю 2 Отсюда (2 й 2)[ нм (х) [г (х)] + — [г (х — Ь)] + — [г (х)] = — н (х) [г„,(х)], + и (х — ) [гм(х — ь)]'+ ят [г" (х)]'-1- + нм(х) — нм(х — Ь) [ м( 2 Интегрируя это неравенство по х в пределах от — 1 до 1, имеем ![г +1[[( )+~ +~ [[г []з=[1+О(т)]![г ![з, (8) где положено С= зцр[~ (х) з (' ")] Ь т 3, ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОИЧИВОСТИ РЛЗНОСТИЫХ СХЕМ 407 Отсюда следует равномерная устойчивость схемы (2) в Т.ь если выполняется условие (7) и ~ы(х) липшиц-непрерывна.
Указанные оценки переносятся без больших изменений на схемы, аппроксимирующие системы уравнений в инвариантах дт дте К. О. Фридрихс [1954) ввел общее понятие положительных схем — разностных схем с положительными матрицами— и установил для них достаточный критерий корректности в 1.е Мы сформулируем критерий Фридрихса, ограничившись случаем одного пространственного переменного. Пусть линейная система дт = А (х, 1) д (9) (12) ") Имеется в виду скалярное пронзведенне в пространстве действнтельнмк векторов и = [ан ..., ие), о = (он ..., ок), (Н,о) аа"а а=), ..., п.
аппроксимируется явной разностной схемой и е'(х)= ~ В (х, 1, т, 6)и'"(х+ай). (10) а -е, Здесь А =)) ац ~), В,=~ да 1 — действительные матрицы в Е„. Пусть схема (10) удовлетворяет условию 2: В.=В, (1 1) а -е, которое означает, что постоянный вектор и (х) = сопз( яв- ляется решением (10). Тогда схема (1О) аппроксимирует урав- нение (9) при условии — аВ,=А+ 0(т). а -а Критерий Фридрихса формулируется следующим образом. Схема (10) корректна в Ея, если матрицы В„симметричны, положительны и липшиц-непрерывны по х, так что восполняется условие Н 1 оа(к+Н) оа(х) ~ (13) Ь 1 Умножая равенство (10) скалярно ') на и"+', принимая во внимание условие (11) и неравенства (В,и, о) ( чу(В„и, и) )/(В„о, о) «= 408 ГЛ.
3. РАЗНОСТУ1ЫЕ МЕТОДЫ ГАЗОВОЛ ДИНАМИКИ имеем (и '"', и'"+') = ~ (В, (х) и'" (х + аЬ), и"'+' (х)) ~ а--в1 (т(~ в.у*у 'у*у, " 'с*у)-у а -в, е + — ~ (Ва(х) й (х+ аЬ), и" (х+ аЬ)) = а -у, % = е (и +'(х),и +'(х))+- ~ (В,(х+аЬ)и (х+аЬ), и (х+аЬ))— а -е — — ((Ва(х+ аЬ) — Ва(х)! и (х+ аЬ), и (х+ аЬ)).
(14) а Интегрируя неравенство (14) в пределах от — 1 до 1, находим 1! и™+! )('( е 1)и +У)(с+ — Ьт))и Р+ с + ~ ~ ~ (Ва(х+аЬ)и (х+ аЬ), и (х+ аЬ)) с(х, -!а -р, где положено с Пи~Р = $ (и(х), и(х)) ссух. Учитывая периодичность функции и(х) и условие (11), проделаем следующее преобразование: е (Ва(х+аЬ) и (х+ аЬ), и (х+ аЬ)) исх= -1 а--,у; у, ву ~ (В,(х)и (х), и (х))иух= ~ ~ (В,им(х), и (х))ах= -са -е а--е =1((С в.) "у*у, у,у)в,=у,.с. а -е Окончательно имеем )~нас+У 1(с((1+ Ьт)1)и'"1в. (15) Утверждение доказано. $2.
нсследовАР!ие устончивости РАзностных схем 4оэ Отметим, что для положительных разностных схем (10) справедлив также локальный критерий устойчивости. Схемы с положительными коэффициентами и матрицами составляют ограниченный, хотя и весьма важный класс разностных схем. Как правило, это схемы первого порядка точности, в которых производные аппроксимируются односторонними разностными отношениями.
При аппроксимациях более высокого порядка точности, когда берутся центрированные разности, мы, как правило, не получаем положительных коэффициентов. В этом случае мажорантные оценки устойчивости усложняются. Такого рода оценки носят название априорных оценок.
Метод априорных оценок для разностных схем аналогичен соответствующему методу для дифференциальных уравнений, однако в разностном случае его реализация встречает ббльшне трудности. Это связано, конечно, со спецификой разностного анализа, в котором многие соотношения обычного анализа или не имеют места, или принимают более громоздкий вид. Рассмотрим метод априорных оценок на примере уравнений акустики (3.2.3), для интегрирования которых используем неявную схему: т+1 т — (аг)тт! а! т+! т А т+1 т = — ' ит+', (17) т А Ь,=Т,— Е, Ь 1=Š— Т Априорная оценка для этой схемы аналогична энергетическому неравенству для системы (3.2.3), установленному в п.
3. Умно- жая (16) на 2и .~1, (17) — на 2(аг) ч.!От+! и складывая, полу- чаем после несложного преобразования [(ит+')'+ (ат+1О Е')'[ — [(ит)'+ (атпт)2[ = — (ит+1 ит)2 [ат.1-1 (От+1 Пт)[2 + [(ать!)2 (ат)2] (Пт)2 + + — „(ат+')'(ит+'Ь,пт+'+ пт+1Ь 1ит+1). (18) Принимая во внимание формулы разностного дифференциро- вания произведения Ь, ([д) = (ЬД д+ (ТД Ь,й = (Ь,[) Т,й+ ( Ь,д, Ь,((д)=(Ь Дд+(Т ДЬ,й=(Ь,[)т,а+(Ь,д, преобразуем выражение (От+1)2 (ит+1 Ь,т-1-1 1 О~-1-1 Ь ит+1) а! (ит-1-1 О~-1-1) к следующему виду: 2((и~'Р! Отч1) — Ь,[(От+!)гп +!Т !итн[ ит+1Т от+1 Ь,(От+!)г 410 ГЛ. 3. РЛЗИОСТИЫЕ МЕТОДЫ ГЛЗОВОИ ДИНЛМИКИ Тогда из (18) следует ((ит+1)1 1 ( ~и+1,щ+1)З) (( м)З 1 (, т,т)З),-.
( А ((ам+1) От'1 1 Т ит'1 1) 1 б т ((ит) + (ото~и)з) + + бзт ((и е')'+ Т, (а 41Т1О "1)"1, (19) где (а'и+ ) — (а"') Ь япр ( ) 1 Л,(а~4 ) Ьз — — зпР т,(и ь~)' ь (20) Интегрируя (19) по х, получаем где |~ Ф У = ~ (и'+ а'о') Нх. -1 Отсюда следует оценка ь1р 1+ Ь1т ~~ 2Т доказывающая безусловную равномерную корректность схемы (16), (17) в случае липшиц-непрерывной функции а(х,1). Аналогичные оценки устанавливаются для схемы, в которой величины на верхнем слое входят с весом а, на нижнем — с весом 61 им+' — им = а,(а"41)' — 'о 41+ 61 (а'")' — 'о"', Ь ь (21) ,т+1 „т = =' [а,и'"+' + 61и"'), Ь а1+р1=1, а; «О, 61 «О, 1=1, 2. В заключение этого пункта отметим, что метод априорных оценок и энергетических неравенств применяется очень часто для оценки устойчивости разностных схем с переменными коэффициентами, в том числе с переменным шагом 61 по пространственной координате х. В монографии А.
А. Самарского и А. В. Гулина (1973) приведено значительное число разностных схем, для которых применим этот метод. 4. Практический подход к проблеме устойчивости вычислений. Применение метода Пикара для подавления неустойчивости. Понятие устойчивости и неустойчивости разностной схемы, обсуждавшееся в предыдущих пунктах, имеет асимптотический характер, т. е, неустойчивость схемы проявляется при 5 х исследОВАние устопчивости РАзиост!1ых схем 41! т-»0 или в другом плане при 1- со (т = сопз1). Тем не менее неустойчивость разностной схемы возникает в практических вычислениях и при конечном шаге т и притом очень быстро.
Она проявляется в быстром росте осцнллирующих по пространству и времени решений, соответствующих краю спектра, и приводит к переполнению н «авосту» ЭВМ. Поэтому имеет смысл обсудить вопрос о практических методах решения дифференциальных уравнений с конечными шага. ми т, А ) О, которые избавляют от эффектов неустойчивости. Мы рассмотрим их на примере эволюционной задачи для системы — = Т. (х) и, ди д! и(х, 0) =и,(х) (1) (2) с периодическими с периодом 21 по переменному х начальной функцией ие(х) и матрицей-оператором 1' (х). Под Ь(х) можно подразумевать дифференциальный оператор, хотя рассмотрение возможно и для случая интегрального или интегро-дифференциального оператора.
Предположим, что на отрезке [0,21] мы ввели сетку 2! х1=)6, 1=0, 1, ..., М; Й= —, которую мы считаем достаточно мелкой для приемлемого описания и(х, 1) через ее значения в точках и(х1,1). Аппроксимируя на этой сетке оператор ь(х), мы заменяем его матричным оператором Л(А). Представление об ошибке этой аппроксимации получим, оценивая й (Л (й) — 1'.
(х)) и !! — =Л(6)ип и,(0)=и,(х!), ди (б) на решениях (а чаще просто на достаточно гладких функциях) и(х,1) задачи (1), (2). Очень удобное представление этой погрешности пространственной аппроксимации дает сравнение спектров разностного оператора Л(й) и исходного Т.(х). После того, как выбрана аппроксимация Л(й) (.(х), предстоит выбрать разностную схему для численного решения задачи (1), (2) по времени. Мы сравним и обсудим здесь три схемы приближенного решения задачи (1), (2): и~+ — и"' = Л (Ь) им, и" = и„(х,), (3) им+! — ит = Л (Ь) им+! и' = и, (х,.) 412 гл. а ялзностныв методы гхзовои динлмики Схема (3), очевидно, — явная схема первого порядка точности по т, схема (4) — неявная схема того же порядка точности по т, наконец, (5) — система обыкновенных дифференциальных уравнений, которую можно рассматривать как предел схемы (3) или (4) при т- 0 (или же считать ее схемой бесконечного порядка точности по т).
Чтобы обсуждение было более предметным, мы будем считать, что оператор ~(х) имеет собственные значения (Л«), для которых КеЛ»(а, йе Л»4) (~ Йе Лы (те Л»-» — оо при й-+ оо. (6) Условия (6) типичны для многих задач математической физики. Спектр разностного оператора Л(Л), как мы знаем из 9 2, конечен; он состоит из пМ= )ч собственных значений Л«(Л) и соответствующих им собственных векторов.
Будем считать, что собственные значения Л»(Ь) также подчинены условиям (6) (при больших 1))) и они неплохо аппроксимируют первые собственные значения Л«и сохраняют качественное поведение Л« в остальной части спектра. Никаких ложных корней Л«(Л) на краю спектра (при Й вЂ” У) нет, иначе все три схемы окажутся неприемлемыми для расчета задачи (1), (2), Ограничение на шаг т для явной схемы (3) вытекает из дисперсионного соотношения гпах! р»1= гпах(е"4' ~ =шах) 1-1- Л„(Л) т ~ < 1 (7) э » э Для неявной схемы при выполнении (6) обычно нет ограничений на шаг т (например, при а = 0); это ограничение может возникнуть, однако, если нет хороших способов решения системы линейных уравнений (4) относительно и, +' и применяется метод последовательных приближений, например, и+)) и) и',"+' = и',"+ тЛ (Ь) и)"+).
(8) В этом случае для сходимости при з -» оо итераций (8) нужно требовать т)~ Л(Л) ~! < 1 и тшах~ Л«(Ь) ~ < 1. (9) Наконец, система обыкновенных дифференциальных уравнений (5) при выполнении (6) представляет собой «устойчивую» на любом конечном интервале (О, 1) систему. Вопрос о том, как решать систему (5), с каким шагом т и не очень ли это трудоемко, имеет много аспектов. Конечно, можно пользоваться готовыми программами интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений, например, использующими методику Рунге — Кутта высокого порядка точности, 4 3. ИССЛВДОВМО|Е УСТОЙЧИВОСТИ РХЗИОСТНЫХ СХГМ 4!3 с автоматическим выбором шага и т. п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
