Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Конечно, метод характеристик не является единственным разностным методом, который может быть применен в рамках детального описания течения. 2-й способ. Обобщенное решение определяется интегральными законами сохранения в эйлеровых или лагранжевых координатах. Такое описание является единообразным, поскольку как уравнения газовой динамики, так и условия совместности являются следствиями законов сохранения.
Разностные схемы, соответствующие второму способу описания, получаются единообразной аппроксимацией законов сохране- 430 гл. з, разностиыв мвтоды газовая динамики ния независимо от характера течения и поэтому носят название однородных схем или схем сквозного счета а). 3-й способ. Обобщенное решение определяешься как предел классического решения некоторой системы квазилинейных параболических уравнений с малыми параметрами при старших производных. Если — + — =) (и) ди дф (и) есть исходная система уравнений газовой динамики, записанная в виде законов сохранения, то соответствующая параболическая система имеет вид (2) Здесь и = и(х, г) — вектор-функция, описывающая течение, 1(и), ~р(и) — векторные функции от векторного аргумента и, В(и)— квадратная матрица, )т — малый параметр "*).
Матрица В(и) должна быть подобрана таким образом, чтобы решение и(х, г) системы (2) обладало достаточнои гладкостью и при р- О приближалось в каком-то смысле к решению системы (1). Разностные схемы, основанные на третьем способе рассмотрения, также имеют характер схем сквозного счета. В некоторых случаях второй и третий подходы приводят к одинаковым схемам. 3.
Граничные условия в задачах газовой динамики. Мы рассмотрим сначала краевые условия для случая газа, лишенного вязкости и теплопроводности, а затем сделаем замечания об учете этих диссипативных процессов в краевых условиях. Постановка граничных условий зависит, естественно, от рассматриваемой задачи, однако их форма зависит также от способа описания течения и в первую очередь от принятой системы координат. В большинстве газодинамических задач граничные условия наиболее просто и естественно записываются в лагранжевых координатах. Это находит отражение и в разностных методах решения: наиболее точно учитывают внутренние и внешние границы разностные схемы, использующие лаграижевы координаты.
*) Понятие однородных схем введено и изучено в работах А. Н. Тихо нова и А. А. Самарского (см., например, их работу )90) г). ")В некоторых схемах с искусственной вязкостью р становится фуикдией ди от —. дх' $ К МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ РЛЗНОСТНЫХ СХЕМ !З1 Нв внутренней границе д = сопз1 (д — лагранжева координата) ставятся условия непрерывности давления р и скорости и: р(!)+О, 1)=р(д — О, 1), и(!)+О, 1)=и(д — О, (). (1) Условия (1) есть условия совместности контактного р зрыва.
Граница раздела д = сопз( двух различных газов является контактным разрывом. Для того чтобы разностная схема допускала контактный разрыв (не размазывала его), нужно, чтобы представление этой разностной схемы в лагранжевых координатах не содержало бы никаких других (независимых) пространственных градиентов, кроме градиентов давления и скорости. Так, например, разностная аппроксимация законов сохранения — — — =О, — + — =О, — (в+ — )+ — =О ди ди ди др д Т и' х дри д! ди ' д! ди ' д! \, 2 ) дд будет удовлетворять этому требованию, так как по пространству дифференцируются лишь непрерывные на контактной границе величины.
В случае наличия вязкости и теплопроводности на контактных границах обычно ставятся естественные условия непрерывности напряжения трения и потока тепла. Постановка граничных условий на внешних границах имеет некоторое разнообразие, отвечающее сравнительно большому количеству практически интересных задач. Отметим, что в лагранжевых координатах очень удобно рассматривать задачи с фиксированными массами газов, подлежаших рассмотрению.
Наоборот, внешние краевые условия, поставленные на сечениях, через которые протекают газы. сравнительно неудобны для описания в лагранжевых координатах и порой более естественно записываются и аппроксимируются в эйлеровых координатах. С дру~ой стороны, внутренние граничные условия (1) на контактных границах весьма неудобны для аппроксимации на сетках с постоянными эйлеровыми координатами (эйлеровы сетки), так как контактные границы движутся относительно этих сеток, переходя из одного счетного интервала в другой, Это приводит к необходимости подбирать специальные разностные схемы в эйлеровых координатах, которые обладали бы тем свойством, что они не размазывают или размазывают, но слабо, контактные границы (К вЂ” свойство разностиой схемы).
Пожалуй, наиболее универсален в смысле аппроксимации граничных условий метод характеристик. Однако он имеет свои собственные недостатки: применимость лишь к уравнениям ги. перболического типа, что в случае газовой динамики означает отсутствие диссипативных процессов, и переменный шаг по про. странству в зависимости от решения, что не всегда удобно. Уже одно перечисление удобств и недостатков аппроксимации лищь граничных условий в различных системах координат 432 гл. з гхзностныв мвтоды гхзовоп динхмики показывает, что универсального и наилучшего способа разносг.
ного репгения задач газовой динамики нет и что в реальных расчетах приходится применять различные способы. Наконец, отметим еще, что ударные волны в газах также можно рассматривать как подвижные внутренние граничные условия. Эти условия фигурируют явно лишь в методе характеристик; в других разностных методах они отсутствуют, так как ударные волны рассматриваются в этих схемах в другом смысле, как узкая, но конечная зона плавного ударного перехода. $ 6.
Метод характеристик Метод характеристик является одним из наиболее распространенных методов интегрирования систем гиперболических уравнений. Его характерной особенностью сравнительно с другими разностными методами является минимальное использование операторов интерполирования и связанная с этим максимальная близость области зависимости разностной схемы и области зависимости системы дифференциальных уравнений.
Сглаживание профилей, характерное для разностных схем с фиксированной сеткой, является минимальным в методе характеристик, так как применяемая в нем сетка строится с учетом области зависимости системы. Метод характеристик подробно изложен в монографиях Д. Ю. Панова [1957], А, И. Жукова [1960[, поэтому мы ограничимся кратким изложением особенностей этого метода и элементов разностного алгоритма. Метод характеристик исходит из аппроксимации системы характеристических уравнений газовой динамики в характеристической сетке.
При этом можно пользоваться как эйлеровыми, так и лагранжевыми координатами. 1. Метод характеристик для гладких течений. Мы рассмотрим сначала метод характеристик в применении к системе квазилинейных уравнений в инвариантах: ( — ) — — +$,(г, з) — — Р,(г, з, х,1), Как известно, к системе уравнений типа (1) приводятся уравнения газовой динамики в случае плоской, цилиндрической, сферической симметрии и постоянной энтропии (эйлеровы коорднна™) и в случае плоской симметрии и переменной энтропии (лагранжевы координаты) (см. гл. 2).
Ф К МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК Пусть для системы (1) поставлена задача с начальными данным н г(х, 0)=г,(х), з(х, 0)=за(х), а(х~(Ь, (2) имеющая гладкое решение в некоторой области 6, содержащей отрезок [а, Ь[ оси х (рис, 3.9). Разобьем отрезок [а, Ь] на интервалы [хг, хг+!], хв — — а, хи+! = Ь. Точки (хь О) образуют первый ряд расчетных точек (ряд 1). Следующий ряд расчетных точек (ряд П) содержит точки пересечения г- и з-характеристик, выпущенных из точек ряда 1. Если определен гп-й ряд расчетных точек (хг, !! ), то следующий ряд [хГ +', 1! +') определяется по формулам (первое приближение) (3) ш+! м х ! + ! Ф Р ~ =й г+! где $„, =9„(гг, 3,, х,, 1, ), а= 1, 2 гг х а г,, з, — значения инвариантов Рис.
ать в точках х,, 1! После этого в точку [х! +~, 1! +~) переносятся инварианты г',", з,, с соответствующими приращениями з +'=й+!+ ~М+! = й+!+ ~~ г+! [1г+' — 1г+!) (4) Ра~ =га(гг, зг, хг, Г~ ), а 1, 2. Схема первого порядка точности означает замену характеристик, проходищих через точки нижнего ряда хг, гг, прямыми (3) и приближенное интегрирование уравнений (1) вдоль характеристик по методу Эйлера. Для уточнения формул (3), (4) применяется пересчет как точек ряда (хг+!, 1г+~), так и значений гг+!, а!+ . В формулах (3) правые части ьм! (наклон прямых, аппроксимирующих характеристики) заменяются на полусуммы г и, ! хг+! !г+! 'х+! — хм $х!+ йм+! хм+! — хх' Ь"' -1- 1'х+! ~г+' — г~ 2 г~~' — г~+ 2 г+! 434 ГЛ.
2. РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ где *т+! Г т+1 т+! т+1,т+!) аа! = аи (Г! З1 Х! (6) а х, +', ~, +', г~+', з, +' в формуле (6) вычисляются по формулам (3), (4). В точки (х, +', ~~ +'), вычисленные указанным образом, переносятся инварианты г,, з'," с прирашениями, уточненными по формуле трапеций: йт+ рт+1 т+! т+ б т т ( 2! 2! (~т+1 !и) 2 и ит+! !и+ ! и! т !и ~т!!+! ' 11 ! т+1 т !+' + !+' !+' + 2 В (7) г"'!1, га! сохраняют прежние значения из (4), а г"'!1+', г21+' определяются формулами гт! = га (г1, 21, х1, ~~+ ) (а= 1, 2), (8) — +г — =О, — +з — =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
