Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 68
Текст из файла (страница 68)
сравнительно простой задачи. После этого можно изучить отдельно влияние разностных краевых условий, рассматривая две разностные задачи па полубесконечной прямой и требуя устойчивости этих задач. Устойчпвость разностной краевой задачи ожидается при объединении требований, обеспечивающих устойчивость указанных выше разностных задач. Указанный подход был предложен К, И, Бабенко и И. М. Гельфандом (см. признак Бабенко— Гельфанда в книге С. К.
Годунова, В. С. Рябенького [1973)). Он основан на том простом обстоятельстве, что для многих эволюционных задач влияние краевых условий затухает вдали от границ области и поэтому для достаточно мелкого шага Ь то же самое имеет место и для разностной краевой задачи. Другие упрощающие гипотезы связаны с принципом «замораживания» коэффициентов и требованием корректности задачи Коши или краевой задачи для разностного оператора с «замороженнымн» коэффициентами. 2.
Принцип замороженных коэффициентов и локальный алгебраический метод. При изучении свойств устойчивости разностных схем широко применяется метод замораживания 400 ГЛ, Х РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ГАЗОВОЛ ДИНАМИКИ переменных коэффициентов, аналогичный методу, примененному в $ 1 к дифференциальным уравнениям, Схематически этот прием состоит в том, что в разностной схеме и 4! =С(х,1, т)и'" фиксируются значения переменных х = хо, 1= (о.
После этого исследуется постоянный оператор перехода С(хо, 1«,т), в частности, спектральным методом. Если выполнены условия, при которых !!С(х„1«, )!1~!+М(1) (2) для любых рассматриваемых значений хо, 1о, с константой М(1), не зависящей от хо, 1м т, то есть основание надеяться, что и разностная схема (1) устойчива. Тем не менее известны примеры, когда условие (2) не является ни необходимым, ни достаточным условием устойчивости задачи Коши (1) с переменными коэффициентами.
Однако для некоторых классов разностных задач можно показать, что условие (2) является достаточным для устойчивости разностиой схемы (1). Рассмотрим обоснование локального алгебраического метода на примере простейшей разностной схемы (схема «крест») для уравнений акустики ди до до ди а2 (3) д! дх ' д! дх а !=а (х ~) Исключая из системы (4) величины и", и"+', приходим к трехслойной схеме для о: а (ом — о~) — а (ом — о"' ом+' — 2о~+ оо! ' !»- !— 2 2 (5) Поставим для уравнений (5) краевые условия о! о»! 0 0 (5) с переменной скоростью звука а=а(х). Эта схема на сетке х= 1'Ь (!=О, 1,..., Ж+ 1), ! =Игт (т=0, 1,..., М), (Ф + 1) Й = 1, Мт =1 записывается в виде тэ! т и! — и! з о! — о! =а (4) 2 ом+' — о~ им+ — ио'+! о! — о! и+, — и! Ь Ф 4 2, ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 40! Обозначая буквой щ вектор ш"' = (О, о',", ..., о„", О), (7) где в =(О, он ..., о„, О) — собственная функция разностной краевой задачи /й йй 72 й х й а ~ ~о~41 — о~/ — а ~ ~о~ — о~,/=Хйй ор й2 != 1 2.
° ° ° У ой= он+~ =0 а Ай — соответствующее собственное значение. Задача на собственные значения (9) является разностным аналогом задачи Штурма — Лиувилля для самосопряженного дифференциального уравнения второго порядка, Это одна из разностных краевых задач на собственные значения, которые мы рассматривали в предыдущем пункте. Матрица системы уравнений (9) является симметричной трехдиагональной якобиевой матрицей, Как известно (см., например, Ф. Р, Гантмахер [1957]), такая матрица имеет простую структуру и при а(х) ) 0 ее собственные значения Ай вещественны и отрицательны. Система уравнений (9) имеет 72' различных собственных зна- 1 К чений, которым соответствует Ж собственных векторов ш, ..., 2о, образующих ортонормированный базис в пространстве Ею Отсюда и из формулы (8) сразу следует, что норма оператора решения С схемы (5) или (4) не превосходит (и совпадает) с гпах)р, !.
Для р„" из (5) и (9) имеем уравнение р +' — Ер +р~ =Лр тй йрй ~ откуда следует, что Р = Ай(гй,)" + В (зй2), (10) где коэффициенты умножения гы и гй2 — корни характеристического уравнения 2 (1 1) мы видим, что общее решение разностной системы (5), (6) задается в виде и шм — 2 (8) й-! 402 ГЛ. З. РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ГАЗОВОИ ДИНАМИКИ Из формулы (10) следует, что критерий равномерной устойчи- вости рассматриваемой схемы имеет вид [гы[« .1+Мт (Ь=!, 2, „)у; 1=1, 2), где М вЂ” постоянная, не зависящая от т, Ь, Ь *) Однако в таком виде укаэанный критерий недостаточно эф- фективен, так как для произвольной а(х) собственные значе- ния Ль неизвестны.
Мы сформулируем сейчас, а затем докажем следующий эффективный критерий устойчивости. Пусть Ль(х) — собственные значения локального разност- ного оператора (5), соответствующего значениям а ~ =а(х), )ь —, 1 = О, 1, ..., Ьг, хан [О, 1], га~(х) — соответствующие Ла(х) по формуле (!1) коэффициенты умножения. Тогда, если оценки [гы(х)[(1+Мт (Ь= 1, 2, ..., А[; 1=1, 2) (12) имеют место для любых хеп [О,!] и М не зависит от х, т, Ь, Ь, то разностная схема (5) (или (4)) равномерно корректна. Указанный локальный критерий сводит задачу определения корректности разностной схемы с переменными коэффициен- тами к существенно более простой алгебраической задаче опре- деления устойчивости разностной схемы с постоянными коэф- фициентами.
Для постоянного а ~ = а(х) система (9) имеет решения !+— п) — — з)п пйх; = з! п яй[Ь, 4а', з пйй Ла = — — з1п —. Аз 2 (13) при любом х ~ [О,!], то т'Ль(х) ) — 4 и выполняется локальный критерий устойчивости (12). Условие (14) есть локальный критерий Куранта за). Докажем, следуя работе Ю. Е. Бояринцева [!966], достаточность сформулированного выше критерия (12) для равномерной устойчивости разностной схемы (4) или (5). Доказательство *) Подобным образом проволились исследования устойчивости в работах В. С.
Рябенького, А. Ф. Филиппова [!966), Дж. Дугласа [!966). "*) Впервые критерий !14) как условие сходимостн разностной схемы «крест> был сформулирован для волнового уравнения с постоянной ско. ростыо звука а в работе Р. Куранта, К. Фридрихса, Г. Леви [1928), Из уравнения (11) мы видим, что гь,гь,= 1, следовательно, если тзЛА)~ — 4, то [га,[=[ге,[=1. 11оэтому если выполнено условие х(х) = а(х) — =1 (14) г х нсслгдовх!и!е устойчивости Р»зностных схим 403 основано на свойстве монотонности характеристических чисел якобиевых матриц, Будем рассматривать якобиевы симметричные трехдиагональные матрицы В,=(Ьц), а=1, 2. Матрица В, построена нз функции а,(х); В, — из функции аг(х) по правилу Ьг! =(и !) Ь'; ! — ~(а' !) +(а' !НЬ, +(а' !) 5|!+„ г, 1=1, 2, ..., Ь!; а',(х), а'„(х) > О.
Рассмотрим пучок матриц В (а) = В! + а (Вг — В!). Обозначим через в(а) и Л(а) нормированный собственный вектор и собственное значение матрицы В(а); тогда имеем равенства В (а) в (а) = Л (а) в (а), В (а) = Вг — В!, В (а) в (а) + В (а) в' (а) = Л' (а) в (а) + Лв' (а) . (15) Умножая скалярно (15) на в(а), учитывая ортогональность в(а) и в'(а) (в силу условия ~в(а) (=!), получаем ([В, — В!] в(а), в(а)) = Л'(а).
(15) Если а,'(х) )~а',(х), то ((В, — В!] в, в) О и из равенства (16) следует г ! г ! Л'(а) «~0, Л»(Л» < О, !Л»!)!Л»), где Л» — собственные значения матрицы В,. Таким образом, мы доказали монотонную зависимость корней Л» от функции аг(х). Далее рассмотрим зависимость корней х» уравнения (11) от Л». Если корни х»„х»г уравнения (11) сопряженные, то они оба равны по модулю 1. Если же они вещественны, то шах (! г»! ~, ~ х»г ~ ) = — ! Л» ! (1+ Л!!1 — 4!тг ~ Л» 1 ) — 1.
(17) Отсюда следует, что увеличению 1Л»( соответствует неубывание гпах ((х»!(, (г»г(). Этн свойства монотонности Л» и гпах~ х»,) позволяют доказать локальный критерий устойчивости. Действительно, если все локальные схемы устойчивы, то, в частности, устойчива схема с а'=гпахаг(х), Но тогда по свойству монотонности к для схемы с а'=-а'(х)(аг, Л (при а'=а'(х)) меньше по модулю собственного числа схемы с а'=а„'.
По свойству моно- 404 ГЛ. А РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ тонности гпах~ ха,[ при а'=а'(х) будет меньше соответствующей величины при а'=а'. Отсюда следует устойчивость схемы с переменным коэффициентом а'(х), что и требовалось доказать. Ю. Е. Бояринцев [!966[ доказал локальный критерий устойчивости и для неявной схемы а!.!- ! В п1 и! — ! ! — у (а') +' — 'о эа (Гй) Т2 а--! с весами у !, уа, у! (у !+'уь+у! = 1) и произвольной гладкой функции а' = а'(х, 1) ) О.
Тогда локальные разностные операторы Л зависят от х, ! и они некоммутативны. Локальный критерий в этом случае основан на следующей теореме сравнения; Если разностная схема (18) устойчива для а (х, Г) = а,,'(х, Г), то она устойчива и для а'(х, !)=аз!(х, !)(азз(х, !). Если разноетная схема (18) неустойчива для аз=аз!(х, Г), то она неустойчива и для а'= а',(х, !))~а',(х, !). Отсюда сразу следует локальный критерий устойчивости для схемы (18): если все локальные схемы (18) устойчивы (неустойчивы), то устойчива (неустойчива) и схема (18).
П. Лаке [!960] доказал справедливость локального критерия Неймана для явных разностных схем, аппроксимирующих систему уравнений гиперболического типа — +А — =0 ди ди дГ дх (19) с переменной матрицей А. Приведем еще одну теорему (Г. Крайс [1964[), обосновывающую критерий локальной устойчивости для явной схемы и'"+' = С(т, х) и'", (20) аппроксимнру!Ошей гиперболическую систему (19) с матрицей А =А(х): Пусть матрицы А(х) и С(т,х) эрмитовы, равномерно ограничены и равномерно липшиц-непрерывны по х. Пусть схема (20) являетея дисеипативной порядка 2г (см. $1, п. 3) и аппраксимирует систему (19) с порядком аппроксимации 2г — 1 (г — натуральное число). Тогда разностная схема (20) устойчива. В этой теореме диссипативность предполагается равномерной по переменному х; для спектрального образа С(т,х,й) локального оператора С(т,х) (х — фиксировано) и его соб- $ а исслвдовзнив хстоичивости глзностных схам чсз ственных значений 4 =йч(т,х,н) при ]н](н/Ь выполнены условия [ Ф (т, х, й) [ ( 1 — б [ й)> [зг где 6 не зависит от 1 = 1, ..., н, х, Й.
В заключение отметим, что имеются работы, ц., которых обосновывается критерий локальной устойчивости и для разностных схем, аппроксимирующих уравнения и системы уравнений параболического типа (см., например, Н. Н. Яненко, Ю. Е. Бояринцев «1961], И. В. Коновальцев [!968], Г. Стрэнг [1966]). 3. Метод мажорантных илн априорных оценок.
Этот метод исследования устойчивости разностиых схем широко применяется в практике численного решения задач математической физики. Для многих задач с переменными коэффициентами он является практически единственным, позволяющим оценить временнбй шаг т, при котором соблюдается устойчивость. Еще одно достоинство этого метода состоит в том, что во многих физических задачах он имеет прямую аналогию с так называемым методом энергетических неравенств или методом интеграла энергии в теории дифференциальных уравнений, который, как правило, имеет простой физический смысл — выполнения закона сохранения энергии. Простейшей ма>корантной оценкой является оценка для схем с положительными коэффициентами Рассмотрим для уравнения — + $ (х, )) — — д (х, )) г, $(х, )) ~~ 0 (1) разностную схему г + (х) — г (х) ч ( гм (х) — г~ (х — Ь) или г'"+' (х) = [ 1 — н (х)] г"'(х) + н" (х) г (х — й) + тд (х) г (х), (3) где н (х)=а'"(х) —, $'"(х)=$(х, гнт).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
