Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 63
Текст из файла (страница 63)
(23) При сделанных нами предположениях матрица С„,+1 (т, Ь, Ь)=!Š— угВ(Ь, ЬЬ)) '(Е+(1 — у)ТВ(Ь, ЬЦ) (24) имеет своими собственными значениями величины е"", заданные формулой (20). Поэтому, если матрица В(Ь, И) — нормальная, то необходимое и достаточное условие равномерной устойчивости,разностной схемы (18) записывается в виде (25) где константа Ы(1) не зависит от т. Если это требует определенного закона предельного перехода Ь = Ь(т), то равномерная устойчивость схемы (18) имеет условный характер; в противном случае — безусловный.
Если рассмотреть частный, но весьма распространенный случай, когда Л;(Ь, И) < О, то из (25) следует, что неявная схема з е Основные понятия теогип Рлзностных схем 373 абсолютно устойчива прн у ) 1!2, чего нельзя сказать, вообще говоря, в случае у = 0 (явная схема).
В п. 3 будут сопоставлены свойства аппроксимации и устойчивости явных и неявных схем. Заметим, что волновое число Ь входит в матрицу В(Ь, ЬЬ) лишь в виде целых степеней экспоненты е'"". Отсюда следует, что матрица Б(Ь,ЬЬ) периодична по параметру Ь с периодом 2л/Ь. По этой причине супремум в оценке (25) достаточно определить по отрезку [Ь[ (л/Ь волновых чисел Ь. Периодичность матрицы В(Ь, ЬЬ) имеет очень простое объяснение: разностная схема (18) с оператором Л«вида (19) «ве различает» гармоники с длиной волны к = 2л/А (Ь. На сетке с шагом Ь по переменному х функция е!»" при ~ Ь~ ) 2л/Ь совпа! 2л ! л дает с функцией е'Я', где [ Ь [= ~ Ь ~ — и [ ( —, и — целое в [ в' число.
Поэтому говорят, что разностный оператор Лз «разрешает» максимальное волновое число 2Ь„= 2л/Ь. В случае дей- О ствительных матриц Вм который мы рассматриваем как основной, в(Ь, — ЬЬ) = [В(Ь, ЬЬ) ['. Поэтому ).(Ь, — ЬЬ) = з,'(Ь, ЬЬ), ез(«,Ь,— Ь)=в'(Х,Ь,Ь). Следовательно, поведение гармоник и„е '+"" при любых Ь вполне характеризуется в этом случае их поведением при Ь еи[0, Ье[, Ьз — — л/Ь. Отрезок [О,Ь«[ волновых чисел будем называть спектром разностного оператора Л, Заметим при этом, что если для дифференциальной и разностнол задач ставятся условия периодичности и(х — 1) — и(х+ 1), то спектр разносгной краевой задачи будет состоять из точек Ь„= ли/1ее[О,Ь«[, и = О, ~1, ...
Если же рассматривается разностная задача Коши на бесконечной прямой — оо ( х ( ОО с условием ограниченности решения на бесконечности, то гармоника и,е"'+!"" является ее решением при любом действительном Ь. Поэтому спектр этой разностной задачи Коши совпадает со спектром оператора Л,; он непрерывен и состоит из отрезка [О, Ь,[ волновых чисел. Заметим также, что, говоря о спектре разностной задачи, часто подразумевают не только допустимое множество волновых чисел Ь, но также и дисперсионное соотношение в = в(т, Ь, Ь).
Отрезок [О, Ь«[ спектра разностного оператора имеет трп характерных участка: участок малых Ь: 0 < Ь < Ь!, участок промежуточных Ь: Ь! < Ь < Ь, и край спектра — участок Ь, < < Ь <Ьв Хотя описание будет носить качественный харантер, можно приблизительно представлять себе, что Ь! = Ьа/3, Аз = = 2йо/3. Участок малых Ь соответствует малым производным от гармоник е"'+"" по переменному х и соответственно он описывает свойства разностной схемы на решениях с малыми производными и, и,„, и „и т. д.
На этом участке спектральный образ й (т, Ь, Ь) остатка Лз — /. (12!) обычно мал, что свидетельствует о 374 Гл. з. РАзностные методы ГАЭОВОЙ динАмнки хорошей аппроксимации разностным оператором Л, дифференциального 7.(0~) на слабо меняющихся функциях. Именно в этой области имеет место сходимость ') Лг(Ь, ЬЬ)-Л,(Ь) (26) при Ь- 0; точнее говоря, в этой части спектра соотношения (26) нарушаются с приемлемой точностью, По этим причинам естественно называть этот участок спектра участком аппроксимации. В области Ь1 - Ь ( Ьа промежуточных волновых чисел производные грамоник (и соответственно описываемых ими решений разностных и дифференциальных уравнений) становятся значительными.
По этой причине остаток Л,— 7.0 уже не мал и нельзя говорить о хорошей аппроксимации Л, — Е(В~) для такого рода колебаний. Предельное соотношение (26) не выполняется, ошибки в нем велики. Однако чаще всего в практически важных случаях спектральная функция Л, = Л,(Ь, И) разностной задачи все еще следует качественно поведению спектральной функции Л;(Ь) дифференциальной задачи, например убыванию КеЛ;(Ь) с ростом Ь.
Наконец, на краю спектра (Ьго Ье1 производные описываемых этим участком решений столь велики, что ни о какой аппроксимации Ло — 7.()У~) не может быть и речи, соотношение (26) здесь не имеет места. В принципе этот участок спектра описывает разностный оператор Л„который здесь может не иметь ничего общего с дифференциальным оператором Ь(й~). Интересно отметить, что на краю спектра могут нарушаться даже основные качественные черты поведения спектральной функции Л,(Ь) дифференциальной задачи. Например, возможно, что КеЛ,(Ь,ЬЬ) в этой части спектра может стать возрастающей функцией Ь превзойти КеЛ,(Ь,ЬЬ) в области аппроксимации, т. е, при Ь вЂ” 0; величина ВеЛ,(Ь,И) может стать положительной при Ь вЂ” Ь, и даже может стремиться к +ео при Ь-ьО. В последнем случае разностная схема (!8) становится абсолютно (при сколь угодно малом шаге т) неустойчивой н непригодна даже для грубых расчетов, что легко следует из внимательного рассмотрения формулы (20).
В этом пункте мы приведем простейший пример разностного оператора, аппроксимирующего дифференциальный оператор х)1, который имеет аномальное поведение на краю спектра. Пример аномального поведения спектра в более реальных случаях приведен в работе Дж. Гари и Р. Хелгасона (19701; корни Л; = Л,(Ь,И), для которых КеЛг — +оо прн Ь-ьО, на') Строго говоря, еходимоеть (26) ие имеет места ии в какой коиечиой части спектра (О, йа]. Сходимость 126) имеет место в любом фиксироваииом отрезке (О, й). где й ие зависит от й. а Е ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 375 званы там «зрпПопз»-корнями '). В работе Б.
Л. Рождественского, Е. И. Ермаковой, В. Г. Приймака [1977] приведены новые примеры подобного поведения спектра разностного оператора, там же построены элементы теории ложных корней. Надо заметить, что подобное аномальное поведение спектра разностной задачи, в которой не допушены грубые ошибки, возникает не всегда. До сего времени оно наблюдалось лишь в несамосопряженных задачах с переменными коэффициентами; иногда причина этих аномалий — разностная аппроксимация краевых условий высокого порядка. Таким образом, мы видим, что условие (23), обеспечивающее при у ~ 0,5 равномерную устойчивость разностной схемы (18), отнюдь не вытекает из аппроксимации Ло — Е(1)), а должно быть обеспечено подбором соответствующего оператора Ло из семейства аппроксимируюших Ь(1)~).
Вычислитель обычно стремится повысить точность аппроксимации на участке (0,(г~) спектра и сохранить качественное поведение спектральной функции Л;(й, йй) в остальной его части. В ряде простых задач это удается сделать, однако для указанных выше сложных случаев эти два стремления вступают в противоречие. Повышая точность аппроксимации при малых й, мы применяем мно~оточечные пространственные аппроксимации. при которых поведение спектра на краю становится более сложным и может стать нежелательным в указанном смысле. Отметим, что обнаружение аномалий на краю спектра осложняется тем, что при больших (и — 1/й нельзя пользоваться оценками собственных значений матрицы В, обычно справедливыми при малых й.
Поэтому установление оценки (23) требует знания всего спектра разностного оператора, и мы должны решать полную проблему собсгееннык значений для спектральной матрицы В(й,йй). Поясним введенные понятия на простом примере разностной аппроксимации уравнения теплопроводности. В этом случае 7.(В)=ВН а=о — ):)и (27) Рассмотрим простейшую аппроксимацию Ла(Ь) = (Т~ ( — 6) — 2Е+ Т~ (й)1 —,з 01 (28) Это отвечает разностной схеме и +' — и и +'(х — Ь) — 2и +'(х) + и +'(х + й) + + (1 и (х — 6) — 2и (х) + и (х+ й) ла «) Бриг(оиа.(а!ав — ложиый, фальшивый. зта гл.
а. РАзностные меТОды ГАзовоя динАмики Оператор Ло(Ь) имеет следующую спектральную функцию: Л(Ь, И) = — — „, 91пг— 4 гда (30) которую следует сравнить со спектральной функцией Л(/) йг оператора Вн Проводя разложение Л(Ь, И) в ряд по степеням Ь, найдем Л(Ь, И) = — йг+ 0(йтйг) = Л(й) + О(йтйг). Прн малых й в области аппроксимации имеем близость Л(Ь, И) н Л(й) н близкое поведение во времени гармоник ее'+'а.". Прн /г=п/ЗЬ= йв/3=/г, имеем 1 и'— 1 Л(Ь, й~й) = — Аг, Л(й~) = — 9аг — 1,0966 Аг Совпадение совсем неплохое. Функция Л(Ь, йй), однако, монотонно убывает с ростом й, перноднчна по й с периодом 2п/Ь н сохраняет главное свойство Л(й) — отрицательность н монотонное убывание с ростом й. На краю спектра прн й = йа л/Ь 4 и' — 9,87 Л(Ь, йай)= — —,, Л(йо) — — 1г см аг ~Л(й,йвй) ! почти в 2,5 раза меньше (Л(йа) ).
Мы видим, что для аппроксимации (29) нет никаких ложных корней; для самосопряженного оператора Е(Е1,) мы построили самосопряженный разностный оператор йв*), который хорошо отражает качественные особепностн всего спектра оператора Е(Е1,) н очень хорошо (со вторым порядком по Ь) аппрокснмнрует спектр Е(В,) на участке аппроксимации. Так как Л(Ь, йй) < О, 0 < у < 1, то нз формулы (20) заключаем, что прн у ) 1/2 н любых т, Ь О < еит < 1, а прн у=Π— 1<в"' <1, если Аг = — ~ Л(й, й Ь) ~<1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
