Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 61
Текст из файла (страница 61)
В этом смысле большая часть задач решается разностными методами без полной уверенности в сходимости разностной схемы. Частично этот недостаток восполняется проведением нескольких расчетов с уменьшающимся шагом т и сравнением результатов, иногда сравнением с экспериментом. Выше мы рассмотрели случай разностной схемы (3) с переменным шагом т +~ по времени.
Хотя такие схемы используются в практических расчетах, в целях простоты исследуют разностные схемы с постоянным шагом т. Далее мы будем рассматривать почти исключительно разностные схемы с постоянным шагом т. о а ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ звз До сих пор мы рассматривали операторы Л» Ло произвольной структуры, определенные в В, и теоремы сходимости представляли собой по существу теоремы функционального анализа. Теперь мы рассмотрим теоретически более частный, но практически, пожалуй, наиболее важный случай, когда Л» Ло — конечно-разностные операторы. Введем линейное пространство В~ периодических по переменному х с периодом 2( функций и(х,Т), определенных при 0 (1( 7, которые при любом Тев 10,1] принадлежат пространству В, т. е.
и(Т) = и(х, 1)~ В. В этом пространстве определим норму Вн (24) Ц и (х, () Цв = зпр ~] и (~) ~]в Определим в В, оператор сдвига Т(Ь, т). Равенство Т(Ь, т)и(х, У) =и(х+ Ь, У+ т) (25) определяет Т(Ь, т) при 0(Т(К вЂ” т, х — любое. Обозначим для краткости Т(Ь, 0)=Т» Т( — Ь, 0)=Т ~ — — Т~', Т(0, т)=Т„Т(0, — т)=Т-о=То ~, Ь, т > О. (26) Оператор Л (т Ь Т) — Вз Е,То Т1 (27) ро= Чо — Чо+ 1 ° ° Чо' р1 = — Ф Ч~+ 1 ° ° ° 9» а,=О, 1, ..., р; а,=О, 1, ..., р» (28) 0= —, ()=— д д есть дифференциально-матричный оператор.
Определим аппроксимацию Л вЂ” 1) оператором (27) оператора (28). Рассмотрим функцию )7(т, Ь)и=(Л(т, Ь, Т) — Й((А)]и(х, (). (29) где Вв,в, — матрицы в а-мерном пространстве компонент вектор- функций и(х,()=(и~(х, 1), ..., и,(х, Т)], будем называть разностным олератором. Очевидно, оператор Л определен в В, при Чот ( Т ( Ц вЂ” дот и любом х. Семейство (27) операторов Л, зависящих от т и Ь, будем называть семейством финитных операторов, если до, д~ ( ф где Я не зависит от т, Ь. Ясно, что сумма и произведение финитных операторов есть снова финитный оператор. Однако оператор, обратный финитному, вообще говоря, не является финитным.
Пусть Й = Аа~а,Во В~~', Э64 ГЛ. 3. РАЗНОСТ!ТЫЕ МЕТОДЫ ГАЗОВОИ ДННАА!НКН где и(х, !) Ен С„, „, с: В, и операторы Л, О, й рассматриваются в Вн Здесь С„„, — пространство функций и(х, !), дифференцируемых до раз по переменному ! и д! раз по переменному х, Чо -з Ро Ч! ) р! Для краткости ниже будем писать С, вместо С„, Если для любой функции и(х, У) ен С„с=В, при т, Ь- 0 !1Р(т, Ь)и(х, 1) ~1Е,=О(т')+ 0(ЬЕ), а, Р >О, (30) то будем говорить, что оператор Л абсолютно аппраксимирует оператор й в норме В, на классе С, с порядками аппроксил!ации а по т и б по Ь. Из равенства (30) следует, что для достаточно малой окрестности 0 < то+ Ь' < р,', т > О, Ь > О, точки т=О, Ь=О и любой функции и(х, ()ен С, найдется С > 0 такое, что 1~0(т, Ь) и(х, 1)!!в,(С(т'+ Ьз).
(31) Если, однако, оценки (30), (31) не имеют места при произвольных т, Ь из окрестности точки т=О, Ь=О, но при некотором законе предельного перехода Ь=Ь(т) ~~лс(т, Ь)и(х, ~)Ь,=О(т'), а>0, (32) то будем говорить, что оператор Л условно аппраксимирует оператор Ал с порядком условной аппроксимации а по т при законе предельного перехода Ь = Ь(т). Заметим, что порядок условной аппроксимации а зависит от закона предельного перехода Ь = Ь(т). Как правило, для условно аппроксимирующего оператора имеют место оценки вида !!Тс(т, Ь) и(х, 1) Пв =0(т")+ 0(ЬЕ)+ 0(ттйо) где одна из величин у, б может быть отрицательной.
Для аналитических функций и(х, ~) справедливы равенства дла АА Ав и (х + Ь, 1) = Т,и (х, 1) = ~~! — (х, 0 — = е" в и (х, 1), дхл (33) о, ~о )-А |*, о — Т вЂ” '" о,~! — '=;,!, д!, ! =,, ~г~ и=" т. е. Т! = е"О', Т, = е'а' Та!' —— еа'"~', Тов' = ев"О', Т (Ь, т) = е"ц~'~'. (34) Мы будем пользоваться формулами (33), (34) и для неаналитических функций; в этом случае ряды (33) обрываются на соот- о 2. ОСНОВНЪ|Е ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РХЗНОСТНЫХ СХЕМ 3ВВ ветствующих членах, а остаток ряда оценивается. Тогда проверка аппроксимации Л вЂ” ьс может быть проведена следующим образом.
Формулы (34) подставляются в выражение 17 = Л 0= Вод,Т» Т| — Ло,»,0о Вс (35) после чего экспоненты (34) раскладываются в степенные ряды по параметрам т, Ь. Мы получаем степенной ряд по т, Ь, который начинается с членов порядка т" и ЬВ, все остальные члены имеют более высокий порядок малости в окрестности т =О, Ь = О.
Очевидно, в этом случае а, р — целые числа, они определяют порядок аппроксимации Л вЂ” (с. Аппроксимация имеет место для класса С„»,, в котором функция и(х, 1) имеет производные, встречающиеся в коэффициентах при степенях т", ЬВ, а также все производные, которые входили в (35) в коэффициенты при младших степенях т, Ь до приведения подобных членов. Если известен закон предельного перехода Ь = Стт (у ) О), то это выражение для Ь подставляется в ряд (35), после чего 1т принимает вид Р= Л вЂ” О=Р(т, 0», 1)с). (36) Здесь Р(т,0„1)с) — матричный ряд, дробно-степенной по пара- метРУ т и степенной по опеРатОРам Во, 0|. НаименьшаЯ степень а, в которой параметр т входит в (36), является порядком условной аппроксимации Л вЂ” ос при законе предельного перехода Ь = Стт.
Отметим, что порядок аппроксимации Л вЂ” ь» зависит ог класса С, функций сравнения. Если С; ~ С„то порядок аппроксимации в классе С» не меньше, чем в классе С,. Рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих понятия порядка аппроксимации, абсолютной и условной аппроксимации. Определим порядок аппроксимации Л вЂ” ос для операторов 0=0»+а0„Л= ' +а — „', а=сопзй (37) Следуя общему правилу, изложенному выше, находим Т(=Л вЂ” а= — 'Юо+ — 'т'В.з+ ...
— — "Ь1)о+ — "Ь'Во,— ... (38) 21 3! ' ' ' 2! 31 Из (38) следУет, что на классе С»о„(с1|, с),>2) аппРоксимация является абсолютной и имеет йервый порядок как по т, так и по Ь. рассмотрим аппроксимацию Л-'о»' на классе 0 аналитических решений уравнения ос!с=О. Здесь следует формально зев ГЛ. 3.
РАЗНОСТНЫЕ МЕТОЛЫ ГАЗОВОЙ ЛИНАМИКИ положить в (38) Оь= — а))н после чего будем иметь Т ог оз )с = Л вЂ” (2 = аЬ | — ' (х — 1) — Ь вЂ” ' (х' — 1) + ... 1. 2~ 31 ом +( 1)тйп-г ~ ( ы-~ 1)+ (39) йт где х= —. Ь При х = 1 (Ь = ат) условная аппроксимация Л вЂ” Р. на аналитических решениях уравнения»)и = О имеет бесконечный порядок.
Заметим, что это возможно лишь при а ) О, так как в противном случае получаем Ь < О, хотя мы всегда считали Ь ) О. Это, впрочем, в данном случае означает лишь, что условную аппроксимацию бесконечного порядка при а ~ О имеет другой разностный оператор Л, именно Т» — Е т Ь ат при х= — — =1. Ь Для уравнений с постоянными коэффициентами аппроксимацию удобно устанавливать в норме Т.г на тригонометрических полиномах Рн = ~, С»е"'+'"". (40) В этом случае удобно перейти к спектральным образам Л, й операторов Л, »1, которые определяются равенствами Л (С еа!+2*х) (ЛС ) е»»+2»» а(С»6 '+' )=(ас») е 2+2»».
(4!) Матрицы Л, »1 определены так же, как н Л, 11 в и-мерном пространстве компонент С» = (С», ..., С»), и получаются из операторов-матриц Л(т, Ь, Т), 12(гг„, 0,) формальной заменой Ть — ~ е~', Т, -+ е'»", 02 -~ ьг, Оь — ~ 2Ь. (42) Тогда равенству (35) соответствует равенство )Т (т, Ь, Гь, Ь) = Л (т, Ь, ьг, Ь) — й (ьг, Ь) = =Л (т, Ь, е"', е'"") — 11 (ьг, »Ь) = Ва,з е~~+'з'»" — А, ьг" (И)~'. (43) Уравнение (43) применимо для класса функций, разлагаюшихся в ряд Фурье.
г г. основные понятия теогии РАзностных схем дат Возвращаясь к примеру (37), видим, что бесконечный порядок аппроксимации Л вЂ” 11 имеет место при х = 1 и в классе разрывных решений уравнения й = О, представимых рядом Фурье. Нетрудно видеть, что это связано с совпадением операторов решения уравнений Ли=О и Уи=О.
Действительно, при х = 1 Я(1+т, 1)=С +ь =Т,( — ат), 1=тт. Теперь приведем пример схемы с условной аппроксимацией. Уравнению йи = — + а — =(0о+а0~)и=О, а=сопз1, (44) поставим в соответствие разностное уравнение (схема Лакеи) Л = Г 2То — (То+ Т-~) т 1 2х +а ' „' )и=О. (45) Представим оператор Л в виде Л То +а 2а ао Т вЂ” 2Е+ Т-~ 2г Ао (47) Проверяя аппроксимацию Л (1, находим, что уравпение (45) при законе предельного перехода Ь=сопз( т Ряс. Зд.
аппраксимирует уравнение (44), а при законе предельного перехода Ь=)х 11 2т аппроксимирует параболическое уравнение ди ди г дги — +а — =го —, и=сопз1 до дх дхо Этот пример показывает, что в случае условной аппроксимации разностный оператор может аппроксимировать различные дифференциальные операторы при различных законах предельного перехода. Рис. 3.1 поясняет аппроксимационные свойства схемы Лакса. Когда точка (т, Ь) -о.(0, 0), двигаясь вдоль нижней параболы 1 т = —, Ь', схема (46) аппраксимирует уравнение теплопровод- 2 и~о ности (47) с )х = )хг.
Соответственно при движении (т, Ь) вдоль зва ' гл. з Рлзностные мвтоды гхзовоп дннхмнки и разностного Л = Вв а 7а.Р, йо = - ао ", аю 6~ = - а~ ..., 9о (2) операторов с постоянными матрицами А,, Ва,а, мы спектральные образы — матрицы И, Л: Я А,ез'ч(1Ь)м Л Ваа веем+ма" Для того чтобы гармоника и=и„е"'+'"" была уравнений ввели их (3) решением (за=О (4) Ли = О, (5) величины в, Ь должны удовлетворять условию бе1 а 62 (е, Ь) 1~ = 0 (6) или с1е1 ~~ Л (т, Ь, а, Ь) 13 = О (7) соответственно. Уравнения (6), (7) называются дисперсионными соотношениями уравнений (4), (5) соответственно; решения е = а(Ь) и в = ы(т, Ь, Ь) этих уравнений также называют дисперсионными соотношениями. Зависимости а = в(Ь) и а = а(т, Ь, Ь) дают полную информацию о свойствах периодических решений уравнений (4) и (5) соответственно. верхней параболы схема (46) аппроксимирует уравнение (47) с р = рь Если (т, Ь) — 1- (О, 0), двигаясь вдоль кривой, попеременно касающейся этих парабол, схема.(46) не аппраксимирует никакого дифференциального уравнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
