Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 62
Текст из файла (страница 62)
С другой стороны, при любом стремлении (т,Ь) к (О, 0) в секторе, ограниченном пря. мыми — =ф— = См 0 < С1 < С, < с, схема (46) аппрокси- Ь Ь мирует гиперболическое уравнение (44). В случае конечно-разностных финитных операторов Ль Лв, которые представляются матричными полиномами от операторов сдвига Ть Т ь можно ввести понятие явной и неявной схем, Двухслойная разностная схема (3) называется явной, если оператор шага С +и определенный в (5), является финитным, и неявной в противном случае, Явные и неявные схемы существенно различаются по методам их реализации, а также по их предельным свойствам при т, Ь- О.
2. Дисперсионный анализ разиостной схемы. В предыдущем пункте для дифференциального ()=Аича,)зо Оь' ее=О 1 ° ° °, Ро, И~=О, 1, . ° °, Ро (1) й г Основные понятия теОРии Рлзпостных схем 369 Так, условие аппроксимации Л вЂ” й разностным оператором дифференциального имеет вил в (т, Ь, Ь) -» в (Ь) (8) при т, Ь- 0 для произвольного фиксированного значения Ь. Если предельный переход (8) имеет место при независимом стремлении т, Ь к нулю, то аппроксимация является абсолютной, если же при этом требуется предполагать связь Ь = Ь(т), то— условной '). Вопросы корректности дтя уравнений (4), (5), естественно, зависят от постановки дополнительных условий, однозначно определяющих их решения. Например, это могут быть началь. ные условия при т = О, согласованные с операторами (1), (2).
Если не рассматривать эти сложные вопросы о корректной постановке начальных условий, считая, что все сделано правильно, то можно лишь сказать, что для устойчивого поведения решений уравнений (4), (5) нужно требовать, чтобы Кев(Ь)<(тп Кев(т, Ь, Ь)<(тг где константы (ть (тг не зависят от Ь, т, Ь.
Поэтому вопрос о применении спектральных образов операторов к исследованию корректности и устойчивости дифференциальной и разностной задач целесообразно рассмотреть для более частного случая задачи Коши (2.1.1), (2.1.2) и (2.1.3), (2,1,4); в этом случае й= Е7)о — Е(0г) =Е(уо — А~ОП (10) тЛ = (ЕТо сТоЛ) (Т~)1 [Е+ ТЛо(Тг)) = =) ЕТо — ТВЕТоТ7~ — [Е+ ТВЕТЦ, (11) гле Š— единичная матрица, А„ВЕ, В3 — постоянные (л гс, л)- матрицы; и= (и„..., и„). В этой связи заметим, что многие хорошо поставленные задачи математической физики для уравнений (4), (5) с операто.
рами типа (1), (2) сводятся к задаче Коши для операторов вида (10), (11) путем повышения размерности л пространства решений. Мы имеем в виду сведение систем уравнений с производными по ( старшего порядка к системе уравнений первого порядка по т путем введения новых переменных.
Например, уравнение колебаний и„= и»« *) Сходимость (6) должна быть выполнена, естественно, для всех корней Уравиешш (6). Поэтому должно быть установлено соответствие между корнями уравнений (6), (7). В частности, здесь возникает вопрос о «лишних» корнях уравнения (7) . Нужно требовать, чтобы для «лишних» корней не в(т,й, Ф)-» — оо при т,й — О. это ГЛ, 3. РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ < ди ди 1 путем введения новых переменных й = (йн йа) = 1 — , — 1 сводится к системе уравнений да, дд, а~ д. дйа ди, дГ дк первого порядка по переменному й В случае операторов (10) и (11) рассматриваем задачу Коши и пользуемся определениями корректности и устойчивости, которые приведены в в 1 и п.
1 данного параграфа. При такой специализации операторов й, Л нет вопроса о «лишних» корнях са(т, Ь, Ь): порядок характеристических уравнений (6), (7) относительно Га и ехр(аат) один и тот же и равен и, Необходимым условием корректности задачи Коши для уравнения (4) с оператором (А вида (10) является выполнение первого условия (9) при всех Ь; точно так же необходимым условием корректности (устойчивости) разностной задачи (5) с оператором Л вида (11) является второе условие (9), которое должно выполняться при всех Ь с константой 1Ам не зависящей от т, Ь в случае безусловной устойчивости и зависящей от закона предельного перехода Ь = Ь(т), но ограниченной при т — 0 в случае условной устойчивости.
Рассмотрим вопрос о применении дисперсионных соотношений к исследованию устойчивости разностной задачи Коши для уравнения (5) при условии (!1) подробнее. Оператору шага (Š— ТЛ~)-'(Е+ ТЛа) разностного уравнения (5) преобразование Фурье ставит в соответствие оператор шага (Š— ТЛ~)-'(Е+ ТЛа) следующей разностной схемы для коэффициентов Фурье й'"+'(Ь): ам+' А) йм В = Л ~й'"+ ' (Ь) + Лаи'" (Ь).
т Здесь Л„Л, — спектральные образы операторов Л„Л,: Л (т' Ь' Ь) В~е ААА' Ла(т' Ь' й) Вае'ива (13) в В', Ва могут зависеть От т, Ь, а й +'(Ь) — коэффициенты Фурье а а решения им+'(х), периодического по х: ил+~ (Х) = ~Х' йт+' (Х) а~их (14) Аналогично (1.3.13) имеем 1!С,г!1, =Зпр~!С,с(Ь)!1и. (15) В формуле (15) С, ~ оператор перехода со слоя 1 (( = й) иа слой ш (г = ~ ) разностной задачи Коши (5), с,~ — оператор $ 2.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕП Э71 перехода для тех же слоев системы разностных уравнений (12). Если для оператора шага С +!, (й) системы (12) имеет место оценка зпр~(С ь! (й)1!и ~ (1+ С(1) т, (16) то в силу соотношения (15) ревностная схема (5), (11) является Устой~!ивой В Ьх. Таким образом, равенство (15) сводит определение устойчивости рассматриваемой разностной схемы к чисто алгебраической задаче определения нормы матрицы С„+!, (Й). Известно, что спектральный радиус матрицы, т. е. максимум модуля ее характеристических корней, не превосходит нормы матрицы, Отсюда получается необходимый критерий устойчивости (критерий Неймана) разностной схемы (5), (11): Для того чтобы схема (5), (11) была равномерно устойчивой, необходимо, чтобы спектральный радиус йх матрицы перехода С ч.!, (й) системы (12) допускал оценку НА (С „,, (й)) (1+ !Ч (Г) т, (17) справедливую при всех й, т(ть и других параметрах (например Ь) схемы.
В случае, когда С +!, (й) является нормальной матрицей, т. е. перестановочна со своей сопряженной, ее норма совпадает со спектральным радиусом, и критерий (17) выражает необходимое и достаточное условие равномерной устойчивости схемы (5), (11). Подробный анализ различных оценок норм матриц можно найти в книге Р. Рихтмайера и К. Мортона 119671. Если, однако С +!, (й) не является нормальной матрицей, то условие (17) недостаточно и хорошо известны примеры (см., например, С. К. Годунов, В.
С. Рябенький [19731), когда при выполнении условия (17) схема неустойчива. Рассмотрим применение дисперсионных соотношений в случае, когда матрица С +ь (й) является нормальной. Будем исследовать лишь наиболее употребительные разностные схемы следующего типа: = уЛьи +'(х) + (1 — у) Льи (х), (18) где Л, = Вата (19) — оператор, аппроксимирующий дифференциальный оператор 7-(0!) = А„0'. В атом случае очевидно, что Л(т, Ь) ь). Для схемы (18) дисперсионное соотношение дает !' = +(! т) ~!(~' ~~) '=1, 2, ...,, (29) 1 — ттХ!1Н, АА) зтг ГЛ.
3. РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ГАЗОВОИ ДИНАМИКИ где а1; = в, (т, Ь, Ь); Л~ = Л~ (Ь, И) — собственные значения матрицы Я~ В(Ь, ЬЬ) = В'е'а""= ~, В" е'зА". (21) 1,Мы предполагаем для простоты, что матрицы Ва зависят только от Ь и не зависят от т.) Для хорошо поставленных задач математической физики, называемых эволюционными, оператор Е(Р~) таков, что собственные значения Л,(Ь) его спектральной матрицы Е(!Ь) удовлетворяют оценке КеЛ,(Ь)<р < с, (22) выполненной при ( = 1, 2, ..., п и любых действительных Ь. Можно показать, что условие (22) справедливо не только для систем, корректных в В, но и корректных по И.
Г. Петровскому. Оценка (22) означает, что любые гармоники (любое Ь) имеют ограниченный рост во времени, даже высокочастотные пра Ь -~- оо растут не сильно (в большинстве задач они сильно затухают, т. е. КеЛ,(Ь)-э.— оо при (Ь)- оо), Так как оператор уЛА+(! — у)Л, — Е(Р,), то, в частности, выполнено соотношение (8). Поэтому естественно требовать, чтобы аналогичное свойство имел и оператор Ло, собственные значения Л;(Ь, И) соответствующей ему матрицы Ло(Ь, И) = = В(Ь, ЬЬ) (последняя задана формулой (21)) должны иметь ограниченную сверху действительную часть Ке Л~(Ь, ЬЬ) <р~ < оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
