Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 64
Текст из файла (страница 64)
*) Имеется в виду самосопряжеиность операторов Е(0~) и Ле при условии периодичности по переменному к. 4 2. Основные пОнятия теОРии РАзностных схем Зтт Так как для аппроксимации (29) матрица в(Ь,И) нормальная, то из получснных оценок следуют оценки нормы матрицы перехода С„+ь разностной схемы (29): )~С +,)(, ~(1 при у~)0,5 и любых т, Ь; (~Сии „, ~(, -=1 при у=О и т(Ь'/2.
В первом случае мы имеем безусловную устойчивость неявной (у ) 1 2) разностной схемы (29); во-втором — условную устойчивость при т «Ь'/2 явной схемы (29). Подобным же образом из формулы (20) выводятся оценки устойчивости разностной схемы и в более общих случаях, если при этом матрица В(Ь, ЬЬ) — нормальная. Рассмотрим теперь другую аппроксимацию оператора /)~.
2. Ь,(Ь) =(Š— 2~, (Ь) + 7, (2Ь)] — „', -/)и и.ти и (х) — 2и (х+ 6) + и (х+ 2А) А 2 (31) Для этого оператора 4г'и Ь(Ь И) и з,п2 А2 2 4 ~ Ь 2 и 1 °;„// „2(2А1 Ь2 /ЬАЬ ( О(йаЬ2) е 2 Разностный оператор (31), как легко видеть, имеет аномальное поведение на краю спектра, в частности Кеь(Ь,И)) 0 при И ) л/2 и Ке7(Ь,Ь2Ь) = Ке/(Ь,л) = 4/Ь2-ь+ии при Ь 0 (рис. 3.2). Конечно, ясно, что аппроксимация (31) плоха; она несимметрична, имеет лишь первый порядок точности по Ь, неудобна в постановке граничн2ях условий.
Поэтому неудивительно, что разностная схема (18) с использованием оператора (31) является неустойчивой. Мы привели этот пример лишь для того, чтобы в простейшей форме продемонстрировать аномалии на краю спектра разностного оператора. В сложных задачах с переменными коэффициентами и сложными граничными условиями аномалии на краю спектра могут возникнуть при самых, казалось бы, естественных аппроксимациях задачи. Эта естественность может привести к тому, 2то вычислитель может даже не подозревать, что он решает поставленную задачу по абсолютно неустойчивой разностной схеме (см, по этому поводу Б.
Л. Рождественский и др. (1977], Л. Р. Хачатуров (1977) ). 378 Гл. в. РАзностньш мвтОды ГАЭОВОЙ дииАмики Рассмотрим применение дисперсионных соотношений' к изучению свойств трехслойной явной разностной схемы типа Дюфорта — Франкела (см. Р. Рихтмайер, К, Мортон (1967)). Эта схема позволит нам проиллюстрировать влияние «лишних» корней дисперсионного уравнения, а также явления на краю спектра, напоминающие действие ложных корней. и'))вй ф Рис, 3.2. Для уравнения теплопроводности рассмотрим схему Дюфорта — Франкела ии'+' (х) — и'и (х) и'и (х + А) — и'и~ ' (х) — и'и (х) + и'и (х — А) А' тв и~+'(х) — 2ив|(х) + и~ |(х) и»| (х+ А) — 2и'" (х) + и»' (х — Ь) (32) или и + (х) — и"' '(х) =Лв(6) и"'(х) — " (х) " (х) + и ( .
(33) Ав т' где Лв(й) — оператор (28), аппроксимирующий оператор 0м 5 д Основные понятия теОРии Рлзностных схем ЗУЭ при т, Ь вЂ” ьО. Из формулы ксезйл ~ зг'1 — к'3!и')га (38) рьт= !+и следует, что )р~) ( 1, !рт)(! при любых /г и х ) О, что означает абсолютную устойчивость разностной схемы (32). При малых ЬЬ и выполнении (37) и+тЛе — »/1+2итхе+ г Ло (1 — н) 1-1-н 1-1-и (1+ тЛе)' Мы видим, что этот корень не имеет ничего общего с е", но )р,) ( 1 — а, а ) 0 при достаточно малых т, и поэтому Ке шт (т, Ь, Ь) -э — со при т, Ь-ьО с соблюдением (37).
Асимптотическое поведение (39) лишнего корня шх свидетельствует о том, что соответствующие ему гармоники очень быстро затухают во времени при малом шаге т и могут не приниматься во внимание, так как точно такие же гармоники соответствуют корню ш! и онн затухают умеренно. Этот пример (39) ") Мм видим, что схема (32) имеет «лишний» корень дисперсиоиного уравнения. Вопрос о лишних корнях вознииает, очевидно, всегда, когда порлбея 2чо разностиого уравнения пп переменному ! больше порядка пе аппроксимируемего им дифференциального уравнения.
Дисперсионное уравнение схемы (ЗЗ) имеет вид = ло(Ь ЬЬ) р р г р атв1«'А' А) (34) где Л,(Ь, ЬЬ) — спектральная функция оператора А,(Ь). Уравнение (34) — квадратное относительно р; оно имеет два корня рн р и соответственно два дисперсионных соотношения ш = =ш,(т, Ь, й), а=шт(т, Ь, Ь). Заметим, что для дифференциального уравнения 0еи = х)~и мы имеем только один корень ш = — Ьт "). Выпишем формулы для рн рх.' +тЛ,~-/!+2 Л,+ еЛ," Рь г (35) тс =2т/Ьх, Ле — — Лю(Ь, ЬЬ), (36) Из формул (35), (36), (30) следует, что схема Дюфорта— Франкела (33) имеет условную аппроксимацию уравнения теплопроводности, так как требует для аппроксимации закона предельного перехода, при котором хт = —, -ь 0 (3 7) зво гл. л нлзност!гыв мвтоды глзовои дннлмнки показывает, что для лишних корней дисперснонного уравнения достаточно требовать выполнения условия типа (39).
Отметим, однако, одно неприятное обстоятельство, которое снижает ценность устойчивости схемы (33) при любом х. Оно состоит в том, что при любом н и (гй = н по формуле (38) имеем рг = — 1. Это означает, что на краю спектра при й =йо = = я/6, Веера = О, т. е. гармоники е"'" пе затухают во времени, а лишь меняют знак на каждом шаге. Особенно неприятно то, что это обстоятельство не зависит от шага т; уменьшение т не устраняет этих пульсаций. Это означает, что схема Дюфорта— Франкела (33) при й йа, т. е. на краю спектра, находится на пределе устойчивости, и достаточно малых возмущений, связанных, например, с граничными условиями или переменнымн коэффициентами, чтобы сделать ее абсолютно неустойчивой.
В самом деле, если оператор Ло имеет прн каком-либо /гав[0,/го) собственное значение такое, что Ло(й, /грг) < — 4/й', то по формуле (35) имеем /, т 12/л' + л,) — з/! + х'л,(4/вр + л,) < 1 + и нз которого следует (т, й, /г) (л -(- ~ — Л (й, йй) — 4 т. е. Весна(т, 6, /г) > О. (41) Таким образом, при выполнении условия (40) появляются возрастаюгцие со скоростью еар, где а= — !Л,(/г, /г/г) + 4/Ьг] > О, гармоники е'~"+ер', которые меняют знак на каждом шаге по времени*), Иногда величина а может быть порядка 1/6, т. е. очень большой, и схема становится абсолютно неустойчивой. Мы получаем следующий вывод; если оператор Ло стано- Р Р « ( Р (40И, '! т „о „!и то же самое пРоРРсхолит н в слУчае комплексных Ле(В,Я(Р), если вью овнхеррне Ке Ла(Ь, ел) < — 4/Вр условия (40).
В самом деле, т (2/Ьг+ Хо) < — 2т/й' < — х, Лд(4/йг+ Ло) > О, Л/1+ я'Ло(4/да+ Лв) > 1 и т. д. Об этом же свидетельствует разложение рг при малых т: — ! — т~ — Л,р — — „~ — — '' ( — «р +Лр) Рг (т " /г)— з г. Основные понятия теОРии Рлзностных схем 38! схема Дюфорта — Франкела становится абсолютно неустой. ч ивой. Нетрудно построить пример (см. А. Р. Хачатуров [1977)), когда некоторая аппроксимация корректной краевой задачи для уравнения теплопроводности приводит к выполнению условия (40) на краю спектра оператора Ль. 3.
Аппроксимационная вязкость и первое дифференциальное приближение разностной схемы. Диспсрсионпые соотношения для разностных схем помогают понять свойства этих схем и вносимые ими специфические эффекты. Можно провести классификацию разностных схем, основываясь на дисперсионных соотношениях. Рассмотрим систему линейных уравнений гиперболического типа — и+А — "=0 дг дх (1) с постоянной действительной матрицей А, имеющей различные действительные собственные значения $1, ..., $„. Дисперсионное уравнение системы (1) имеет вид (гь+ гв1/г)(гь+ гвгй) ... (гь+ 4„(г) =О, (2) откуда мы заключаем, что гармоники иге~1+1", соответствующие корням З1, ..., $„, ие затухают с течением времени, так как (тегь!(1г)=0, (р,(=1, рг — — е"", 1=1, ..., и.
(3) Рассмотрим для системы (!) разностную схему Ли = ( ' + Л1Ть+ Ль) и = О. (4) Будем говорить, что схема (4) обладает аппроксимачионной вязкостью, если !р( < 1 прп гг Ныл, (р!=! при А=О, р=е"' " ь! (б) где гь(т,гг, й) — решение дисперсионного уравнения для схемы (4), введенного в предыдущем пункте.
Мы видим, что для схем, обладающих аппроксимационной вязкостью, амплитуда гармоник затухает с течением времени. Аналогичным свойством обладают решения дифференциальных уравнений параболического типа. например уравнений теплопроводности и диффузии Возможна дальнейшая классификация разностных схем для систем уравнений гиперболического типа, основанная на дисперсионных соотношениях. Так, например, разностная схема (4) называется диссипативной порядка 2г(, если при всех й ен 10,н,) 382 ГЛ. 3. РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ГАЗОВОИ ДИНАМИКИ и достаточно малых т - те найдется б > 0 такое, что )р!(1 — б)йй(зл, Для одного линейного уравнения — +а — =О, а>0, ди ди д~ дх (6) рассмотрим разностную схему бегуи!его счета т-~-! ~п д м +а ' =О, (7) где Л,=Т,— Е. Л,=Š— т Дисперсионное уравнение схемы (7) имеет вид " (1 е-МА) — О (8) Наличие аппроксимационной вязкости у схемы (7) выражается в том, что с ростом времени (увеличением т) профиль решения и (х) сглаживается, в отличие от профиля решения и(х, !) = ис(х — а!) дифференциального уравнения (6), который, двигаясь направо, остается неизменным по своей форме.
Это Объясняется тем, что высокочастотные гармоники, отвечающие большим значениям й, затухают быстрее, чем низкочастотные при х -1 При вьтолиеиии условия Куранта х = ат/)г (1 из (8) следует, что !р((! для всех я. Таким образом, схема (7) условно устойчива при х - 1. При х ~! выполнены условия (5) и, следовательно, схема (7) обладает аппроксимационной вязкостью. Однако при х = 1 из (8) следует р = е — 'А", а = — йа и, следовательно, схема (7) в этом случае не обладает аппроксимационной вязкостью. Можно вспомнить (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
