Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Таким образом, (21) есть необходимое и достаточное условие того, что система (1.2.!) корректна по Петровскому с отображением В~-+Вги где В1 — — (рй, ВЗ = )р'2. Рассмотрим систему дг+ д 1хдг 1А~~~ ди ди д'и (25) с постоянной матрицей А, Если система (25) при 1А = О является гиперболической, то линейным преобразованием в пространстве компонент иь ..., О„ее можно привести к каноническому виду дг дг д'г дГ ~Г дх 1 дхи (26) где ие — постоянный вектор. Если (18) — решение (1.2.1), то Э с! ~1 гиŠ— Т. (И) 11 = О.
(19) А Ь ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЪНЫХ УРЛВИЕИИИ 555 Прсобразование Фурье системы (26) приводит к системе уравнений для коэффициентов Фурье С~(й, 1) функций ге(х, 1): дС) — + Я)й+ и)гз)С) —— 0 (1=1, ..., Д). (27) СИСтЕМа (25) КОРРЕКтНа В (.г ПРИ )А ) О. Метод Фурье является эффективным методом оценки норм операторов и анализа свойств решений в 1, Он прямо переносится в теорию разностных уравнений с коэффициентами, зависящими от 1. Для уравнений с коэффициентами, зависящими от х, (, исследование корректности сильно усложняется. На примере уравнений акустики с переменной скоростью звука дг — а' д — — О, д, — д, — — О, 0 < ае(а(х, 1)<а, < со, (31) ди , до де ди мы покажем применение другого метода изучения корректности — метода энергетических неравенств, или метода интеграла энергии.
Умножая первое уравнение (31) на 2и, второе на 2азо и складывая, получаем — + ди' д (а'Р~) д . да' з даз д1 дг дх = 2 — (азио) + — оз — 2 — ио. (32) д1 дх Отсюда приходим к неравенству — (из+ азоз) < 2 д (а'ио) + д(и'+ агоз), (33) где Ь=тах ~ — )+ шах~ — — „~. Пусть функции а(х,1), и(х,1), о(х, ~) периодичны по х с периодом 2тс. Тогда, интегрируя (33) по х на отрезке ( — п,и), получим — „)) 1 Р< ь|)11Г, (34) (35) где 1(г) = (и(1), о())), )))))'= ~ (и'+а'ог) Их.
(36) Отсюда С) (й, 1) = е (РА +а!~) ' С) (й, 0), (28) Я(й, 1,, 1,)=!!е ("'+и~")('* "')бд~! (у, 1=1, ..., Д), (29) ))5(1,,1,)~)с =зцрНЯ(й, 1Е ~,)П=зпр~е ( ! (" ")~=1. (30) А А Гл. 3. РАзностные методы ГА30ВОЙ динАмики Из (35) следует 1~)(Г) ~Р~ ~ы~~)(6) ~~з (31) Итак, задача Коши для уравнений (31) корректна в 1.», Зависимость нормы (36) от 1 несущественна: решение 1Я = = (и(1), о(Г)) системы (31) с переменным коэффициентом а(х,1) корректно в норме (36) с постоянным а, а, < а < а, В заключение этого пункта мы остановимся на локальном анализе корректности уравнений с переменными коэффициентами, который называется также методом «замораживания» коэффициентов.
Ассоциируем с каждой точкой Р = (х,)) систему с постоянными коэффициентами =й(Р, 0)и, й(Р, «.>)=Л (х,()0 (О=1, ..., р), (38) где х, 1 рассматриваются как параметры. Гармоническое решение (18) системы (38), соответствующей некоторой точке Р = (х,1), при достаточно большом и является сильно осциллирующей функцией переменного х. В достаточно малой области О,: х — е х ( х+ е, 1 — е ( Г ( Г+ е коэффициенты Л;(х, () системы (1.2.1), которые мы полагаем непрерывными и гладкими, можно приближенно считать постоянными, в то время как гармоническое решение (18) меняется достаточно сильно. Ясно, что гармоника (18), являясь решением системы (38) с постоянными коэффициентами, является в то же время с большой точностью приближенным решением системы (1.2.1) в области О,.
Поэтому поведение (18) в области 6, дает представление о свойствах корректности системы (1.2.1). Существует гипотеза, справедливая для многих уравнений, о том, что необходимым и достаточным условием корректности системы (1.2.1) в ьт является корректность локальной системы (38) в 1.> для любой точки Р = (х, 1) (гипотеза локальной корректности).
Указанное рассмотрение становится тем точнее, чем больше й (высокочастотные гармоники); поэтому данный признак корректности мы будем называть также признаком асимптотической корректности. Локальный анализ исследования корректности задачи Коши применяется также и для систем нелинейных дифференциальных уравнений. Однако для нелинейных уравнений гипотезы, о которых мы говорили выше, еще более проблематичны. Ввиду неприменимости в этом случае принципа суперпозиции, да и вообще ввиду отсутствия достаточно широкого класса частных решений, из которых можно строить более общие решения, исследование корректности различных задач для систем нелинейных уравнений существенно осложняется. По существу » Ь ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 355 ди ди — +и — =О д1 дх «замораживание» коэффициентов и изучение локальной устойчивости приводит к неверному выводу о корректности задачи Коши для этого уравнения в С, (д ) 1).
Тем не менее на практике широко применяется метод исследования устойчивости решений систем нелинейных дифференциальных уравнений относительно малых возмущений. Поясним его на примере системы квазилинейных уравнений д + А(и) — "=О (39) Пусть и(к,1) — решение системы (39), и(х,1) — другое решение, мало отличающееся от и(х, 1) в момент времени йь Их разность о = й — и удовлетворяет системе уравнений д +А(и) д" +[А(и) — А(и)[ дх +[А(й) А(и)[ дх О, (40) которую представим в виде дС +А(и) д +(В(и.
и д~)о+(В~™' и)о) д =О. (41) установление корректности задачи Коши для систем нелинейных дифференциальных уравнений сводится к доказательствам основных теорем: единственности и существования решения и его непрерывной зависимости от входных данных задачи, в частности от начальных значений. В главе 1 мы изучали задачу Коши для систем квазилинсйных уравнений гиперболического типа и установили, что корректность этой задачи в классе С| имеет место только в узкой полосе О (1( 1*, а величина 1" зависит от [[и,'(х))[ и 1*- О, если [[и,'(к)[[ «Ф.
Мы имеем, таким образом, некорректность задачи Коши для систем квазилинейных уравнений гиперболического типа в классе С, в целом, т. е, при любых 1 ) О. Некорректность задачи в классе С~ связана с тем, что она не обладает свойством продолжаемости в С~. при 1) 1' решение и(х,1) ~ СИ Классом корректности задачи Коши для некоторых видов систем квазилииейных уравнений оказывается более широкий класс — обобщенных решений этих систем.
Подробно постановка и изучение задачи Коши в этом классе обсуждается в главе 4. Таким образом, исследование корректности на базе принципа «замораживания» коэффициентов и гипотезы «локальной корректности» может привести и часто приводит к неверяым выводам в случае нелинейных дифференциальных уравнений. Например, для уравнения 356 ГЛ. 3. РАЗНОСТНЪ|Е МЕТОДЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Здесь В (и, й) — трех индексная матрица, удовлетворяющая уело вию А (й) — А (и) = В (и, й) (й — и), или в индексах ац(й) — аи(и)=ЬИ(ии — и ), |', /=1, ..., и; а=1, ..., п. Известно, что если матрица А (и) непрерывно дифференцируема, то В(и, й) — «А(и) =(( д )) =((Ь,'г(и, и))) при |й — и! — «О.
Таким образом, при малых )!о1 имеем для раз- ности о = й — и систему уравнений д +А(и) д +(А(и д ) о+(А(и в„) о=О, (42) если пренебрегать членами порядка о', Рассматривая малые возмущения такие, что ~~ — ~ « ~ — ~, дк! ~ дк и отбрасывая в (42) нелинейные члены, получаем для о линей- ную систему уравнений в вариацилк: дг +А(и) д„"+(А(и) а")о=О. (43) При достаточно малых о(к, Ге), о„'(к, 1,) система (43) при- ближенно описывает в некоторой полосе Гэ Г ( Гэ+ б развитие возмущений с течением времени. На основании изучения линей- ной системы (43) мы можем составить представление об устой- чивости решения и(к, Г) исходной нелинейной системы (39).
Отметим еще раз, что система (43) плохо или совсем неверно описывает развитие быстро осциллирующих малых возмущений, так как мы отбросили в (42) члены порядка ~ о ~ ~ — ~. Поэтому, ди если, например, о(к, Ге) =еоез1пйк, то даже при еои «)и( система уравнений (43) применима лишь ди при 1 й ! «! — ( 1(Зо|«Если 1йеоэ) — 1, то мы снова имеем дк дело с нелинейной системой (42) и почти нет выигрыша от замены системы (39) для и(к, Г) приближенной системой (42) для о(к, Г).
Несмотря. на все эти несовершенства метода линеаризацин нелинейных уравнений, он фактически является почти единственным алгоритмическим методом, позволяющим составить представление о свойствах корректности нелинейных задач, об устойчивости их решений.
По этой причине он широко применяется в $2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РЛЗНОСТНЫХ СХЕМ зет нелинейных задачах, например при изучении возникновения турбулентности в течениях вязкой жидкости. Есть еще одна область, где изучение устойчивости методом лннеаризации вполне оправдано и необходимо. При решении нелинейных задач на ЭВМ разностными методами за счет ошибок округления постоянно вносятся весьма малые возмущения, частота пульсаций которых обычно удовлетворяет требованию (йеоо~ << 1.
Поэтому развитие этих возмущений можно описывать линейными системами типа (43) (или пх разностными аналогами). Если система (43) указывает на невозрастание или слабый рост возмущений, то это может свидетельствовать об устойчивости применяемого метода расчета задачи. 5 2. Основные понятия теории разностнык схем 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
