Главная » Просмотр файлов » Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике

Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 54

Файл №1161626 Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике) 54 страницаБ.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626) страница 542019-09-19СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 54)

(18) Рассмотрим случай политроцного газа, когда 2 1 1! = А '! р т, А' = А' (5), ! т+! — ( 1 — Ау р !т. (20) ~ зР /з Если энтропия 3 постоянна, 1 есть функция только от р, и мы можем пользоваться представлением (14) при а! = О. Сопостав- ляя (14) и (20), находим: 2 ! а! 1> Г =Акр Т, ГЛ.

З ОДНОМЕРНАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА 32о Тогда имеем где лх лд 4! 4! ' Пользуясь (18), (19), для А(5), д(0) получаем выражения а ~-зм А т =с'уд (24) (25) у-! 2т (Р) зт (26) где с — некоторая константа, а!, ах положены равными нул!а Пусть в момент ! = 0 в покоящемся газе начинает распространяться ударная волна, движущаяся по степенному закону д= Сг'. (27) Найдем показатель а, которому соответствует постоянное значение функции !р из (17) на фронте волны. Тогда !р будет тождественно постоянна за фронтом волны и также будет иметь постоянный обобщенный инвариант Ри)!ана.

Из (17), принимая во внимание (3), находим ЙРА = и г(4 — Р й = г((и!7) Й г(п ( — ), (28) Д откуда следует д!(и+ рЙ~Ыд( — ) =О. (29) ч!= — из- — с, 2 (22) т, е, промежуточный интеграл есть не что иное, как инвариант Римана. Это оправдывает термин «обобщенный инвариант Ри- мана», введенный Мартином и Ладфордом для промежуточного интеграла (13) уравнения (10).

Рассмотрим теперь случай переменной энтропии. Покажем, что среди течений с постоянным обобщенным иивариантом Ри- мана имеются течения, примыкающие к области покоя через ударную волну. Воспользуемся для этого представлением (15), (17). Будем предполагать, что ударная волна движется по нуле- вому фону (рз = 1, из = 0) и является сильной, т. е, для величин за фронтом волны справедливы формулы (4.7.1) — (4.7,4): р= — ро0 = — 1! а 2 з т+! т+! Р!= — Ро=— т+! т+! т-! т-! ' (23) 2 и= — 17, т+! 5 а лиллппЙесхпе Р1!игощя одпомеР1!ог! Глзовои динлмики 321 (' т-! — а(а — 1)СЕ+ С'а'1!и '+ В! 'т =О, (30) т+1 2+1 где ~-! В=-+ с ( — ) '~ (Са') ст (а — 2), (31) Отсюда следует 2 зт+ 1 (32) Обобщенные волны Римана могут рассматриваться как решения с дифФеренциальной связью (гл. 1, 5 12) Ц1(ч Г фо фи и~ Р Я(ч))=0 ° (33) где фь фи — потенциалы системы (!).

Как было показано, определение функции Ф сводится к интегрированию линейной однородной системы. Так как при этом независимыми переменными являются в, й то дифференциальная связь (33) уравнения (1) дает также и случай, исключенный из рассмотрения Мартином, когда р = р(Я). Этот случай будет рассмотрен в следующем пункте.

4. Уравнение гидродинамической поверхности. В случае идеального газа уравнения (9.3.1) примут вид ди др , др ди дф + р=о, фр- — р+ — =о, — '=о, (ц д1 дд ' д! дч ' д! и ц:= — дт. (2) т и= +1 1 т Для системы (1) получим уравнение в пространстве годографа и, р, ~, Применяя алгоритм, указанный в $ 12 главы 1 для поверхности ф= ф(р, и), (3) пРиходим к следующим уравнениям: ди дф дд дф = — Р = 1! др др ' ди ди дг и дф дг д$ фр — Х р — — р др ди ' ди др (4) где !л — неопрелеленный множитель. В силу предположения (27) соогиошение (29) на заднем фронте волны после деления на й принимает вид гл х олиомн нхя гпзовхя динамика Условия интегрируемости уравнений (4) приводят к уравнениям для рх д(фр д ) ди ' (5) дф д!пн дпф -и ~ф !пи ди ди др др др' дф д!пи дф д!пп — — — — — =О.

др ди ди др д!п и —, находим др д!пн дф др др Решая (5) относительяо— д!пи д!и Н дф — = — ф ди ди (6) где дф дф ди др де дф ди др (8) Интегрируя уравнение (8), приходим к уравнению второго по- рядка ! ® ч ди др~ — дф и,(дф и — ((ф) где 1(ф) — произвольная функция ф Нетрудно видеть, что уравнение (9) допускает следующие интегралы: Ф= а(р), (10) и= й(ф), (1 1) где и, Ь вЂ” произвольные функции своих аргументов. Соответ- ствующие им решения имшот впд и=С!+С!, . р= — Сд+Сь ф=й(Р), ~ ! й' (ф) с(ф = Сд + С, Ф (13) — р'-и = — С1+ С,, и = й(ф). ! Соотношение (10) дает как раз исключительный случай, когда невозможно преобразование к уравнению Монжа — Ампера.

(12) (7) Наконец, условия интегрируемости уравнений (6) дают следующее уравнение третьего порядка: вешания одномврнои газонов динамики зяз Решения вида (12), (13) были получены К. П. Станюковичем [1955]. Если ф = ф(и, р) есть решение уравнения (9), решение исходного уравнения получается путем последовательного интегрирования вполне интегрируемых систем (6), (4). Формулы, восстанавливающие решение, имеют вид !пи= ~1(ф)иьр, м=е~ =г'(ф), (14) д = ~ и ( — Нр + — г(и) = ~ м г(ф = ~ Р(ф) дф, (15) г = — ~г(ф))(фр-' — и) г(р+ д сХи~. (16) Можно доказать, что в общем случае дифференциальные связи первого порядка, совместные с системой (1), являются квази- линейными.

В результате полного анализа устанавливаем, что в случае одной дифференциальной связи, присоединяемой к системе (1), переопределенная система совместна с двухфункциональным произволом в решении, если связь имеет один из двух видов (В. Е. Распопов, В. П. Шапеев, Н. Н. Яненко 119771): а) д д (2) — ~М ' — Р=)(и, р, д, г). ди дд (3) В первом случае 1 определяется из уравнения — — М вЂ” + М вЂ” 1=0.

д( д( -1 дм др др ди Во втором случае 1 определяется из системы двух уравнений, при этом М может зависеть только от р. Если 7 чй О, то функция М определяется однозначно, иначе М = М(р) — произвольная функция. б) Данной поверхности Ф(ф, р, и) = 0 отвечает, в силу формул (14) — (16), однозначно с точностью до констант решение уравнений (1). Однозначность нарушается в случае зависимости ф = сопз1, которой отвечает семейство решений, зависящее от двух произвольных функций одного аргумента. 5. Решения уравнений газовой динамики, характеризуемые дифференциальными связями. Уравнения (9.3.1) запишем в виде ди др д$' ди др д~ дд ' д1 ди ' д1 — + — =9, — — — =-9, — + М(р, У) — =О, ди дд (1) (ди)(др) з24 гл, т, одномерная газовая динамика Найденные дифференциальные связи позволяют строить ре- шения системы (1).

Например, в случае б) положим )'= — О, М = аар", тогда общее решение системы (1), (3) имеет вид 2р ! — и[т [т ! — Л и = -!с (2 — а) а + С!' ([ (п — !) ат + Ы (Ч) (4) Ст (р, ~ т) + ир" М() = О, где д, 0 — произвольные функции, сь и, а — произвольные константы. Система (1) совместна с двумя дифференциальными связями первого порядка в следующих случаях: а) либо связи нме!от вид — + М вЂ” = [ ! (и, р, )т, д, [), ан -! ар дч дч — ~М а — =1 (и, р, ([, т)„[); ди — др ад ач пРи этом 1, и 1т опРеделЯютсЯ из системы четыРех квазилинейных уравнений, которые совместны лишь при некоторых андах уравнения состояния (например, в случае политропного газа М = ур)[-', у — показатель политропы может равняться только 3); б) либо связи имеют вид — =т[т(и р Ч [)т ди 1(и,р,д,О др дд М(р, )т) ' дч 1, и [т опРеделЯютсЯ из УРавнений ! а[ [т д[ 1 а1 1 а1 д1.

а[* — — — — — — — — + — — +1 — + — + М д[ М ди М др М ди т др дд г 1! хт дМ 1) дМ +Н вЂ” — — ' — =О, Р) ! М) ар Мт д)т — + — — +й — — 1 — — 1, — + — =О. а[т 1т дй д1т д1т д[т д[т дд Л! ди др а да др д[ Система (У) совместна, и произвол в ее решении зависит от вида уравнения состояния.

Для политропного газа (Л1 = ур([ ') имеют место случаи; б,) [, =У ([) р, 1,= — (и+с,) ( — (+ ., — „,( ), (8) где с! — произвольная константа, а У ([) находится нз уравнения у.-+ т+ 3 у-у- + у+1 у-' = О. т у (9) гл. г, одномврнкя газовая динамика дифференциальными связями, содержит в себе решения Мартина, Ладфорда и Завьялова, так как данный метод является более общим, чем метод промежуточного интеграла.

В той же работе указанные решения применяются к задаче о движении ударной волны. Это точное решение оказалось удобным тестом для численных методов (Е. В. Ворожцов (!977) ). Рассмотрим задачу: контактная полоса и = О, р = ра = = сопИ, 5 = 51(д) ограничена слева поршнем д = да, который движется по закону и = У(2), У(0) = О. Определить параметры движущегося газа. Решение (4) запишем в виде 1-Ы2 1-а12 а(л — 2) а1л — 2) ' (13) 1 л ира121 — д = д2 (р). Из (13) и условия задачи находим на поршне — (2 1-а12 1-а!2 2ра хр 1'=У а (л — 2) а 01 — 2) ) ' где У-1 обозначает функцию, обратную к (2'.

Давление р как функция от д, 2 определяется, согласно (15), из соотношения 1-л12 1-М2 ал 1( 2р1, '" 2р ар 1 — д=ар ' У ( ( — 2) ( — 2) — 2) . Для отыскания и(д,г) следует подставить в (13) найденное р(г(, 2). Из (14) определяется (2(д,1), где д1(д)= 51(д). Краевое условие на движущемся поршне удовлетворено по построению. Область покоя от области движения отделяет прямолинейНая ХараКтЕрИСтИКа араЧ вЂ” д= — 172. ЗадаЧа рЕШЕНа. 6.

Решение одномерных уравнений газовой динамики с константным произволом. Мы воспользуемся общими уравнениями одномерных течений — +и — +р — + — =О, др др да три д2 дк дк к дз да — +и — =О, д2 дк где параметр т равен 0 в плоском, 1 в цилиндрическом, 2 в сферическом случаях. Мы будем в дальнейшем предполагать, что уравнение состояния имеет вид (2) р = а2 (5) рт. а а М!ЛЛИТИс!ЕЕКИГ РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНОГ! ГЛЗОВОИ ДИНАМИКИ ЗЕ7 В этом случае система (1) может быть преобразована к виду — +и — + — — = О, ди ди р д!пр д! дх р дх д1пр д!пр ди ти д! +и — + — + — =О, дх дх х д!Вр д!пр Гди ти ! — +и — +у! — + — 1=0. д! дх (,д.с х ( (3) с=!пС Л=!Их, и= — и, с= — С, ! (4) систему (1) можно записать в виде") ~и +и ди +с' — "+с' — "+и' — и=о дт дЛ дЛ дЛ вЂ” +и — + — +( +1)и=о, дт дт ди дт дЛ дЛ д ! и д О д!р д!Р дт дЛ (5) (7) где !р= !и р, ф= — !Иат.

1 т В системе (5) — (7) при любом т коэффициенты не зависят от аргументов т, Л, и, следовательно, как показывает анализ, про- веденный в главе 1, 8 12, она имеет простые волны и=и(в), р= р(о), ф=ф(в), О = Он + а,Л + ахт, (8) Так как коэффициенты системы (5) — (7) не зависят от р, ф, то возможны решения вида и = и (8), р = р(В) + )т. Ф = ф (В) - -'- †' !т, (8) т где !†произвольная постоянная.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6521
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее