Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 54
Текст из файла (страница 54)
(18) Рассмотрим случай политроцного газа, когда 2 1 1! = А '! р т, А' = А' (5), ! т+! — ( 1 — Ау р !т. (20) ~ зР /з Если энтропия 3 постоянна, 1 есть функция только от р, и мы можем пользоваться представлением (14) при а! = О. Сопостав- ляя (14) и (20), находим: 2 ! а! 1> Г =Акр Т, ГЛ.
З ОДНОМЕРНАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА 32о Тогда имеем где лх лд 4! 4! ' Пользуясь (18), (19), для А(5), д(0) получаем выражения а ~-зм А т =с'уд (24) (25) у-! 2т (Р) зт (26) где с — некоторая константа, а!, ах положены равными нул!а Пусть в момент ! = 0 в покоящемся газе начинает распространяться ударная волна, движущаяся по степенному закону д= Сг'. (27) Найдем показатель а, которому соответствует постоянное значение функции !р из (17) на фронте волны. Тогда !р будет тождественно постоянна за фронтом волны и также будет иметь постоянный обобщенный инвариант Ри)!ана.
Из (17), принимая во внимание (3), находим ЙРА = и г(4 — Р й = г((и!7) Й г(п ( — ), (28) Д откуда следует д!(и+ рЙ~Ыд( — ) =О. (29) ч!= — из- — с, 2 (22) т, е, промежуточный интеграл есть не что иное, как инвариант Римана. Это оправдывает термин «обобщенный инвариант Ри- мана», введенный Мартином и Ладфордом для промежуточного интеграла (13) уравнения (10).
Рассмотрим теперь случай переменной энтропии. Покажем, что среди течений с постоянным обобщенным иивариантом Ри- мана имеются течения, примыкающие к области покоя через ударную волну. Воспользуемся для этого представлением (15), (17). Будем предполагать, что ударная волна движется по нуле- вому фону (рз = 1, из = 0) и является сильной, т. е, для величин за фронтом волны справедливы формулы (4.7.1) — (4.7,4): р= — ро0 = — 1! а 2 з т+! т+! Р!= — Ро=— т+! т+! т-! т-! ' (23) 2 и= — 17, т+! 5 а лиллппЙесхпе Р1!игощя одпомеР1!ог! Глзовои динлмики 321 (' т-! — а(а — 1)СЕ+ С'а'1!и '+ В! 'т =О, (30) т+1 2+1 где ~-! В=-+ с ( — ) '~ (Са') ст (а — 2), (31) Отсюда следует 2 зт+ 1 (32) Обобщенные волны Римана могут рассматриваться как решения с дифФеренциальной связью (гл. 1, 5 12) Ц1(ч Г фо фи и~ Р Я(ч))=0 ° (33) где фь фи — потенциалы системы (!).
Как было показано, определение функции Ф сводится к интегрированию линейной однородной системы. Так как при этом независимыми переменными являются в, й то дифференциальная связь (33) уравнения (1) дает также и случай, исключенный из рассмотрения Мартином, когда р = р(Я). Этот случай будет рассмотрен в следующем пункте.
4. Уравнение гидродинамической поверхности. В случае идеального газа уравнения (9.3.1) примут вид ди др , др ди дф + р=о, фр- — р+ — =о, — '=о, (ц д1 дд ' д! дч ' д! и ц:= — дт. (2) т и= +1 1 т Для системы (1) получим уравнение в пространстве годографа и, р, ~, Применяя алгоритм, указанный в $ 12 главы 1 для поверхности ф= ф(р, и), (3) пРиходим к следующим уравнениям: ди дф дд дф = — Р = 1! др др ' ди ди дг и дф дг д$ фр — Х р — — р др ди ' ди др (4) где !л — неопрелеленный множитель. В силу предположения (27) соогиошение (29) на заднем фронте волны после деления на й принимает вид гл х олиомн нхя гпзовхя динамика Условия интегрируемости уравнений (4) приводят к уравнениям для рх д(фр д ) ди ' (5) дф д!пн дпф -и ~ф !пи ди ди др др др' дф д!пи дф д!пп — — — — — =О.
др ди ди др д!п и —, находим др д!пн дф др др Решая (5) относительяо— д!пи д!и Н дф — = — ф ди ди (6) где дф дф ди др де дф ди др (8) Интегрируя уравнение (8), приходим к уравнению второго по- рядка ! ® ч ди др~ — дф и,(дф и — ((ф) где 1(ф) — произвольная функция ф Нетрудно видеть, что уравнение (9) допускает следующие интегралы: Ф= а(р), (10) и= й(ф), (1 1) где и, Ь вЂ” произвольные функции своих аргументов. Соответ- ствующие им решения имшот впд и=С!+С!, . р= — Сд+Сь ф=й(Р), ~ ! й' (ф) с(ф = Сд + С, Ф (13) — р'-и = — С1+ С,, и = й(ф). ! Соотношение (10) дает как раз исключительный случай, когда невозможно преобразование к уравнению Монжа — Ампера.
(12) (7) Наконец, условия интегрируемости уравнений (6) дают следующее уравнение третьего порядка: вешания одномврнои газонов динамики зяз Решения вида (12), (13) были получены К. П. Станюковичем [1955]. Если ф = ф(и, р) есть решение уравнения (9), решение исходного уравнения получается путем последовательного интегрирования вполне интегрируемых систем (6), (4). Формулы, восстанавливающие решение, имеют вид !пи= ~1(ф)иьр, м=е~ =г'(ф), (14) д = ~ и ( — Нр + — г(и) = ~ м г(ф = ~ Р(ф) дф, (15) г = — ~г(ф))(фр-' — и) г(р+ д сХи~. (16) Можно доказать, что в общем случае дифференциальные связи первого порядка, совместные с системой (1), являются квази- линейными.
В результате полного анализа устанавливаем, что в случае одной дифференциальной связи, присоединяемой к системе (1), переопределенная система совместна с двухфункциональным произволом в решении, если связь имеет один из двух видов (В. Е. Распопов, В. П. Шапеев, Н. Н. Яненко 119771): а) д д (2) — ~М ' — Р=)(и, р, д, г). ди дд (3) В первом случае 1 определяется из уравнения — — М вЂ” + М вЂ” 1=0.
д( д( -1 дм др др ди Во втором случае 1 определяется из системы двух уравнений, при этом М может зависеть только от р. Если 7 чй О, то функция М определяется однозначно, иначе М = М(р) — произвольная функция. б) Данной поверхности Ф(ф, р, и) = 0 отвечает, в силу формул (14) — (16), однозначно с точностью до констант решение уравнений (1). Однозначность нарушается в случае зависимости ф = сопз1, которой отвечает семейство решений, зависящее от двух произвольных функций одного аргумента. 5. Решения уравнений газовой динамики, характеризуемые дифференциальными связями. Уравнения (9.3.1) запишем в виде ди др д$' ди др д~ дд ' д1 ди ' д1 — + — =9, — — — =-9, — + М(р, У) — =О, ди дд (1) (ди)(др) з24 гл, т, одномерная газовая динамика Найденные дифференциальные связи позволяют строить ре- шения системы (1).
Например, в случае б) положим )'= — О, М = аар", тогда общее решение системы (1), (3) имеет вид 2р ! — и[т [т ! — Л и = -!с (2 — а) а + С!' ([ (п — !) ат + Ы (Ч) (4) Ст (р, ~ т) + ир" М() = О, где д, 0 — произвольные функции, сь и, а — произвольные константы. Система (1) совместна с двумя дифференциальными связями первого порядка в следующих случаях: а) либо связи нме!от вид — + М вЂ” = [ ! (и, р, )т, д, [), ан -! ар дч дч — ~М а — =1 (и, р, ([, т)„[); ди — др ад ач пРи этом 1, и 1т опРеделЯютсЯ из системы четыРех квазилинейных уравнений, которые совместны лишь при некоторых андах уравнения состояния (например, в случае политропного газа М = ур)[-', у — показатель политропы может равняться только 3); б) либо связи имеют вид — =т[т(и р Ч [)т ди 1(и,р,д,О др дд М(р, )т) ' дч 1, и [т опРеделЯютсЯ из УРавнений ! а[ [т д[ 1 а1 1 а1 д1.
а[* — — — — — — — — + — — +1 — + — + М д[ М ди М др М ди т др дд г 1! хт дМ 1) дМ +Н вЂ” — — ' — =О, Р) ! М) ар Мт д)т — + — — +й — — 1 — — 1, — + — =О. а[т 1т дй д1т д1т д[т д[т дд Л! ди др а да др д[ Система (У) совместна, и произвол в ее решении зависит от вида уравнения состояния.
Для политропного газа (Л1 = ур([ ') имеют место случаи; б,) [, =У ([) р, 1,= — (и+с,) ( — (+ ., — „,( ), (8) где с! — произвольная константа, а У ([) находится нз уравнения у.-+ т+ 3 у-у- + у+1 у-' = О. т у (9) гл. г, одномврнкя газовая динамика дифференциальными связями, содержит в себе решения Мартина, Ладфорда и Завьялова, так как данный метод является более общим, чем метод промежуточного интеграла.
В той же работе указанные решения применяются к задаче о движении ударной волны. Это точное решение оказалось удобным тестом для численных методов (Е. В. Ворожцов (!977) ). Рассмотрим задачу: контактная полоса и = О, р = ра = = сопИ, 5 = 51(д) ограничена слева поршнем д = да, который движется по закону и = У(2), У(0) = О. Определить параметры движущегося газа. Решение (4) запишем в виде 1-Ы2 1-а12 а(л — 2) а1л — 2) ' (13) 1 л ира121 — д = д2 (р). Из (13) и условия задачи находим на поршне — (2 1-а12 1-а!2 2ра хр 1'=У а (л — 2) а 01 — 2) ) ' где У-1 обозначает функцию, обратную к (2'.
Давление р как функция от д, 2 определяется, согласно (15), из соотношения 1-л12 1-М2 ал 1( 2р1, '" 2р ар 1 — д=ар ' У ( ( — 2) ( — 2) — 2) . Для отыскания и(д,г) следует подставить в (13) найденное р(г(, 2). Из (14) определяется (2(д,1), где д1(д)= 51(д). Краевое условие на движущемся поршне удовлетворено по построению. Область покоя от области движения отделяет прямолинейНая ХараКтЕрИСтИКа араЧ вЂ” д= — 172. ЗадаЧа рЕШЕНа. 6.
Решение одномерных уравнений газовой динамики с константным произволом. Мы воспользуемся общими уравнениями одномерных течений — +и — +р — + — =О, др др да три д2 дк дк к дз да — +и — =О, д2 дк где параметр т равен 0 в плоском, 1 в цилиндрическом, 2 в сферическом случаях. Мы будем в дальнейшем предполагать, что уравнение состояния имеет вид (2) р = а2 (5) рт. а а М!ЛЛИТИс!ЕЕКИГ РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНОГ! ГЛЗОВОИ ДИНАМИКИ ЗЕ7 В этом случае система (1) может быть преобразована к виду — +и — + — — = О, ди ди р д!пр д! дх р дх д1пр д!пр ди ти д! +и — + — + — =О, дх дх х д!Вр д!пр Гди ти ! — +и — +у! — + — 1=0. д! дх (,д.с х ( (3) с=!пС Л=!Их, и= — и, с= — С, ! (4) систему (1) можно записать в виде") ~и +и ди +с' — "+с' — "+и' — и=о дт дЛ дЛ дЛ вЂ” +и — + — +( +1)и=о, дт дт ди дт дЛ дЛ д ! и д О д!р д!Р дт дЛ (5) (7) где !р= !и р, ф= — !Иат.
1 т В системе (5) — (7) при любом т коэффициенты не зависят от аргументов т, Л, и, следовательно, как показывает анализ, про- веденный в главе 1, 8 12, она имеет простые волны и=и(в), р= р(о), ф=ф(в), О = Он + а,Л + ахт, (8) Так как коэффициенты системы (5) — (7) не зависят от р, ф, то возможны решения вида и = и (8), р = р(В) + )т. Ф = ф (В) - -'- †' !т, (8) т где !†произвольная постоянная.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
