Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Я, Арсении, Н. Н. Яненко [1956)) взаимодействие ударной волны, идущей вправо, с г-волной (рис. 2.74, б), В этом случае ударная д ФЮ волна, пройдя через область ~ф 10, приобретает скорость иную, чем в результате Р мгновенного взаимодействия )г Ау д$г,~9 ударной волны и сосредото- фФ ченной г-волны разрежения, рассматриваемого как рас- Ф пад произвольного разрыва. Причиной этого является Ф,Ю и возникновение ударной волРис.
2.75. ны, идущей влево, из волны сжатия г(г и затем волны 8 разрежения, идущей вправо и догоняющей ударную волну, идущую вправо. Появившаяся ударная волна, изменяя свою ско- Рг !Тг рость, меняет инвариант г. Эти изменения переносятся лг по г-характеристикам и, дог ходя до фронта ударной вол- ГТ, ~Л ны, идущей вправо, меняют скорость последней, вызывая изменения инварианта з. л* Изменения инварианта з на правой волне по з-характеристикам переносятся на левую ударную волну, вызывая из- менение инварианта г.
В результате взаимодействия задних фронтов правой и левой ударных волн вырабатывается некото- рый асимптотический режим. Предельные конфигурации и тече- ние совпадают с конфигурацией и течением, полученным в ре- зультате распада разрыва П, )г (рис. 2.76). Рассмотрим подробно взаимодействие фронтов. Введем обо- значения; гн з~ — значения инварнантов в !; гнн зщ — значения инвариантов на переднем фронте волны в )П; ГУ, ЗУ вЂ” ЗНаЧЕНИЯ ИНВаРнаитОВ В (г; Рис. 2.76 гл. а одномеенля гззовля динамика гп, зм — значения ннварнантов в П; г, з — значения ннвариантов на заднем фронте правой волны'„ )г, 5 — значения ннварнантов на заднем фронте левой волны; 0 — скорость волны, идущей вправо; б — скорость волны, идущей влево; В иа)1 М ~ — и~)1.
им се — величины перед фронтом правой волны; й, с — величины перед фронтом левой волны; г,, з„М, — значения г, з, М в точках Яб (го 5о М~ — значения К, 5, М в точках Р,. На фронтах (Яо, Яь Я, ),(Рб ЄЄР4,...) справедливы соотношения з зч=Ф(М) г гш=Ф(М), з — зщ= Ф(М), г — гч —— ф(М), (7) соответственно й — гп= — Ф(М) З вЂ” зп= — Ф(М) Дуги (Ро Ра), (Рз Р4) ° ° ° (Рм-ь Рм), (Ф Яз) (Яз Я4) ..., (()м,, ф,) соответствуют участкам траекторий ударных волн, когда онн движутся с постоянной скоростью; дуги (Р„Р,), (Ра, Рз) ..., (Рм, Рмч.!)г Що ЯД (Ям Яз) ° ° * (Яи, Ям+~) соответствуют участкам переменной скорости.
Справедливы соотношения 5,=з,, г,+,— — Кь (8) На участке ЯД~ имеем % < Мо з~ < зо. (9) Принимая во внимание (7). (8), (9), имеем 8~ < зо, % > Мо, % < Йо. (1О) Таким образом, на участке Р,Р, левая волна усиливается, (г, 5 уменьшаются. В силу (8) на участие ЯД, имеем гз< гм Мз< Мм аз <ам (11) т.
е. на участке фаз правая волна становится слабее. В дальнейшем картина повторяется: волна, идущая влево, усиливается, идущая вправо — ослабевает, М~ монотонно убывает, Я~ монотонно возрастает. $6. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ УДАРНЫХ ВОЛН С БЕГУЩИМИ ВОЛНАМИ ЗОУ (3) ( о) да+ (М.) .—,„— б, то д2но > 11 дх (8) е сила ударной волны возрастает. Обозначим через М , Я пределы Мь соответственно Я, при 1 -» оо. Тогда в силу (7), (8) справедливы соотношения г — гу 2«(М ) з еу ор(М ) 12 — гп — — — ~р(М ), 5 — зн= — оу(М ) ) (12) Формулы (12) являются формулами распада разрыва для со- стояний (П, У). Таким образом, доказано совпадение асимпто- тического режима взаимодействия ударной волны с волной раз- режения и течения, получающегося из распада разрыва (!1, 'у). Заметим, что при достаточно большой амплитуде волны разрежения 111 ударная волна, вошедшая в нее, может превра- титься в волну разрежения, а конфигурация Б — замениться конфигурацией А.
3. Взаимодействие ударных волн с бегущими в баротропных политропных газах. В случае баротропных политропных газов третье условие Гюгонио заменяется условием постоянства зн- тропии. Условия Гюгонио для ударной волны, идущей вправо, примут вид 1 хз — ио и2 — ио=(1 — Ь) со(Мо — — ), Мо= (1) Мо)' е, — '=(1+ Ь) Мо — Ь, (2) Ро — „= — = (1+ Ь) Мо — Ь, «~2 Р2 2 «о Ро 2-1 ~-1 о' =(~' «') =(Ш ) ' =((1+Ь)Моо — Ь1 '2 . (4) Рассмотрим сначала набегание ударной волны, идущей слева направо, на з-волну разрежения.
Из условий (1) — (4) имеем г2 — го=со[(1 Ь) (Мо — А1 ) + 1 ( — — 1)]= со«(Мо). (5) ° -"="[(1- )(М -+)- —,-' ( — - )1= '(") (') Так как г (Мо) в формуле (5) есть монотонно возрастающая функция Мо. а с, удовлетворяет условию — ' = — т — "' < 0 (г = г, = сон з1) (7) дх 2 дх за лнхлитичаскив гашения одномвгнон гхзовон динамики Зсй где » = и+ ~ са( 1и р, э=и — ~ са!пр, (2) х — эйлерова координата.
Функция К (г — з) = с связана с уравнением состояния р= р(5, р) =г" (р) соотношением К(» — з) = д(Й (г — з)(, (4) где (6) (1 1) д= т/Р'(р), гг=2 ~ ~/Р'(р) ~ . (5) Преобразованием годографа система (1) сводится к линейной: дх Гг+г де (. 2 — — [ — +К(г — з)1 — =О. Ч д( ,( дх дх Гг+г 1 д( — — [ — — К(» — з)~ — = О. дг ( 2 ,( дг Перепишем систему (6) в виде —:. [ -( — '+'+К) (1=- (-'- ') (7) — '[ -( — '-К)'1=-'Ь- ') Из уравнений (7) следует, что выражение с())»=[х М+ к) г1аг+ [х ( 2 к) (1с(з (8) Есть полный дифференциал некоторой функции В'(», з), которую мы будем называть иотенииальной. Из выражения полного дифференциала имеем -( —",- ) =т ~ Из уравнений (9) х, ( могут быть выражены через В'„%',; 2К (г — х) 2К (г — г) ", (16 В силу соотношений (7), (1О), Яг" удовлетворяет уравнению второго порядка Г) г~ д1нг ~2 ) Г да» даг ~ дгдх 2К(г — г) ~ дг дх )' ГЛ. а ОДНОМЕРНАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА Таким образом, потенциальная функция удовлетворяет специальному уравнению Дарбу д'хг — ! (х, + к,) ( — + — ) — О, дар дат где положено К вЂ”вЂ” ! 2 уравнение (12) подстановкой Ч =се', О=х,+к„ 1!<е>се (13) х,=г, Нетрудно видеть, что )уг =- (РО, может быть приведено к виду — ~( +х)' (15) Рассмотрим теперь те уравнения состояния, для которых общий интеграл и функция Римана представляются в замкнутой форме.
Начнем с политропных газов, для которых р есть степенная функция р: р = а'рт, (16) ср у= — )1 с, В этом случае у †! К( — к) =с= 4 (г —.), Отсюда у — 1 1 —— 2 у-! — — +— 2 4 у — 3 ! (20) г — с 2(у — !) х1+ хг к~ + хк ' 2 (г — с) 4 (18) Для уравнения (12) с функцией !'= — справедливо х,+кг следующее свойство редукции, установленное Дарбу и позволяющее переходить от одного значения гп к другому. Если !!г" есть решение уравнения (12) при ! = — . , то х, + х, ' 1(~г = Т.ЯГ, 1, = ( — + — ), (19) есть решение уравнения (12) при — л! =Н$+ 1 ° к, + хг При у=+ 3 имеем гп=О и Я7 удовлетворяет уравнению друг $9.
АнАлитические Решения ОднОмеРнОЙ ГА30ВОЙ ди1!Амики 311 2т+ 3 "Г = 2т+ 1 (23) б при т = 1 у — (одноатомный газ), при т= 2 у = — (двухз б атомный газ) и т. д. В силу свойства редукции таким значениям т и у соответствует общий интеграл (Р' (хн хэ) = Ь [г' (х,) + 6 (х9)[, где оператор Ь дается равенством (19). Покажем, что выражение (24) для общего интеграла можно преобразовать к виду дхт ' (х,+хх) дхт ' (х,+хз) (24) Положим в дальнейшем г"'(х,)=Г1)(х1), 6'(х,) =Ч'(хх).
(26) Представление (25), очевидно, следует из (24) при т= 1. По индукции докажем эквивалентность (24), (25) при любом т. Пусть А тр( ) д Ф(х~) дх1 1 (х~ + хх) Докажем, что 7т91р( ) д Ф(х ) (28) дХ",' (Х, + К9)т+ Используя предположение (27), имеем дт-1 7. "Р( )=Ы Р(х,)=7.1' ', (".1= 1 дк'," ' (х,+х9) 1 1 д'" Ф (х|) т д~ Ф (х)) к, + х дхт1 (к, + к ) х1-1- хх дхт1 1 (к, + хх)~~~ (28) эквивалентно После этого нетрудно видеть, что равенство следующему: (9Н)' '=ОН) '+ тН' (30) где положено, при фиксированном хх, д д 1т) дт О х,+х„ дх~ да ' дй~ Н= — „, . (31) которое имеет известный общий интеграл (интеграл Даламбера) (Р = Р(х,)+ 6(х,).
(22) Целым положительным значениям т отвечают следующие значения у: гл. х одномвенхя гхзовкя дннхмнкх з(а Итак, мы доказали, что общий интеграл уравнения (12) при — имеет вид к, +к| Если считать хь х2 комплексными числами, а Яг, Ф, Ч' — аналитическими функциями своих переменных, то, применяя известное представление Коши для производной аналитической функции, формулу (32) можно представить в виде (см. Е. Копсон 119531) «к-1 Ф (к«) «««1 «1«(к2) «*, «- *« с, с, где (к, — $«) (к, + 1,) (к, — 1,) (к«+ 1«) (36) и г(а,р,у,х) 1+ — х+ ... ... + ( ) '" ( + )()(()+ ) "'(() ) х~+ ...
(37) Уг) у (у+ 1)... (у+ к — )) реть известный гипергеометрический ряд Гаусса. В формуле (33) О, = —; контур С1 берется в плоскости комп. д дк лексного переменного хн хх рассматривается как комплексный параметр; контур С2 берется в плоскости хм х~ является параметром. Формула (33) имеет смысл и для дробных т, если в ней заменить (т — 1)1 на Г(т); тогда операторы О, ', О, ' имеют смысл дробных производных, введенных впервые Риманом и Лиувиллем. Перейдем теперь к задаче определения функции Римана для уравнения (12) при )'= — к + „ Мы будем пользоваться уравнением (15), которое при этом значении 1 принимает вид дк, дк2 О~ = —,о, 8=х, + х„а =т(т — 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
