Главная » Просмотр файлов » Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике

Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 52

Файл №1161626 Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике) 52 страницаБ.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626) страница 522019-09-19СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 52)

Я, Арсении, Н. Н. Яненко [1956)) взаимодействие ударной волны, идущей вправо, с г-волной (рис. 2.74, б), В этом случае ударная д ФЮ волна, пройдя через область ~ф 10, приобретает скорость иную, чем в результате Р мгновенного взаимодействия )г Ау д$г,~9 ударной волны и сосредото- фФ ченной г-волны разрежения, рассматриваемого как рас- Ф пад произвольного разрыва. Причиной этого является Ф,Ю и возникновение ударной волРис.

2.75. ны, идущей влево, из волны сжатия г(г и затем волны 8 разрежения, идущей вправо и догоняющей ударную волну, идущую вправо. Появившаяся ударная волна, изменяя свою ско- Рг !Тг рость, меняет инвариант г. Эти изменения переносятся лг по г-характеристикам и, дог ходя до фронта ударной вол- ГТ, ~Л ны, идущей вправо, меняют скорость последней, вызывая изменения инварианта з. л* Изменения инварианта з на правой волне по з-характеристикам переносятся на левую ударную волну, вызывая из- менение инварианта г.

В результате взаимодействия задних фронтов правой и левой ударных волн вырабатывается некото- рый асимптотический режим. Предельные конфигурации и тече- ние совпадают с конфигурацией и течением, полученным в ре- зультате распада разрыва П, )г (рис. 2.76). Рассмотрим подробно взаимодействие фронтов. Введем обо- значения; гн з~ — значения инварнантов в !; гнн зщ — значения инвариантов на переднем фронте волны в )П; ГУ, ЗУ вЂ” ЗНаЧЕНИЯ ИНВаРнаитОВ В (г; Рис. 2.76 гл. а одномеенля гззовля динамика гп, зм — значения ннварнантов в П; г, з — значения ннвариантов на заднем фронте правой волны'„ )г, 5 — значения ннварнантов на заднем фронте левой волны; 0 — скорость волны, идущей вправо; б — скорость волны, идущей влево; В иа)1 М ~ — и~)1.

им се — величины перед фронтом правой волны; й, с — величины перед фронтом левой волны; г,, з„М, — значения г, з, М в точках Яб (го 5о М~ — значения К, 5, М в точках Р,. На фронтах (Яо, Яь Я, ),(Рб ЄЄР4,...) справедливы соотношения з зч=Ф(М) г гш=Ф(М), з — зщ= Ф(М), г — гч —— ф(М), (7) соответственно й — гп= — Ф(М) З вЂ” зп= — Ф(М) Дуги (Ро Ра), (Рз Р4) ° ° ° (Рм-ь Рм), (Ф Яз) (Яз Я4) ..., (()м,, ф,) соответствуют участкам траекторий ударных волн, когда онн движутся с постоянной скоростью; дуги (Р„Р,), (Ра, Рз) ..., (Рм, Рмч.!)г Що ЯД (Ям Яз) ° ° * (Яи, Ям+~) соответствуют участкам переменной скорости.

Справедливы соотношения 5,=з,, г,+,— — Кь (8) На участке ЯД~ имеем % < Мо з~ < зо. (9) Принимая во внимание (7). (8), (9), имеем 8~ < зо, % > Мо, % < Йо. (1О) Таким образом, на участке Р,Р, левая волна усиливается, (г, 5 уменьшаются. В силу (8) на участие ЯД, имеем гз< гм Мз< Мм аз <ам (11) т.

е. на участке фаз правая волна становится слабее. В дальнейшем картина повторяется: волна, идущая влево, усиливается, идущая вправо — ослабевает, М~ монотонно убывает, Я~ монотонно возрастает. $6. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ УДАРНЫХ ВОЛН С БЕГУЩИМИ ВОЛНАМИ ЗОУ (3) ( о) да+ (М.) .—,„— б, то д2но > 11 дх (8) е сила ударной волны возрастает. Обозначим через М , Я пределы Мь соответственно Я, при 1 -» оо. Тогда в силу (7), (8) справедливы соотношения г — гу 2«(М ) з еу ор(М ) 12 — гп — — — ~р(М ), 5 — зн= — оу(М ) ) (12) Формулы (12) являются формулами распада разрыва для со- стояний (П, У). Таким образом, доказано совпадение асимпто- тического режима взаимодействия ударной волны с волной раз- режения и течения, получающегося из распада разрыва (!1, 'у). Заметим, что при достаточно большой амплитуде волны разрежения 111 ударная волна, вошедшая в нее, может превра- титься в волну разрежения, а конфигурация Б — замениться конфигурацией А.

3. Взаимодействие ударных волн с бегущими в баротропных политропных газах. В случае баротропных политропных газов третье условие Гюгонио заменяется условием постоянства зн- тропии. Условия Гюгонио для ударной волны, идущей вправо, примут вид 1 хз — ио и2 — ио=(1 — Ь) со(Мо — — ), Мо= (1) Мо)' е, — '=(1+ Ь) Мо — Ь, (2) Ро — „= — = (1+ Ь) Мо — Ь, «~2 Р2 2 «о Ро 2-1 ~-1 о' =(~' «') =(Ш ) ' =((1+Ь)Моо — Ь1 '2 . (4) Рассмотрим сначала набегание ударной волны, идущей слева направо, на з-волну разрежения.

Из условий (1) — (4) имеем г2 — го=со[(1 Ь) (Мо — А1 ) + 1 ( — — 1)]= со«(Мо). (5) ° -"="[(1- )(М -+)- —,-' ( — - )1= '(") (') Так как г (Мо) в формуле (5) есть монотонно возрастающая функция Мо. а с, удовлетворяет условию — ' = — т — "' < 0 (г = г, = сон з1) (7) дх 2 дх за лнхлитичаскив гашения одномвгнон гхзовон динамики Зсй где » = и+ ~ са( 1и р, э=и — ~ са!пр, (2) х — эйлерова координата.

Функция К (г — з) = с связана с уравнением состояния р= р(5, р) =г" (р) соотношением К(» — з) = д(Й (г — з)(, (4) где (6) (1 1) д= т/Р'(р), гг=2 ~ ~/Р'(р) ~ . (5) Преобразованием годографа система (1) сводится к линейной: дх Гг+г де (. 2 — — [ — +К(г — з)1 — =О. Ч д( ,( дх дх Гг+г 1 д( — — [ — — К(» — з)~ — = О. дг ( 2 ,( дг Перепишем систему (6) в виде —:. [ -( — '+'+К) (1=- (-'- ') (7) — '[ -( — '-К)'1=-'Ь- ') Из уравнений (7) следует, что выражение с())»=[х М+ к) г1аг+ [х ( 2 к) (1с(з (8) Есть полный дифференциал некоторой функции В'(», з), которую мы будем называть иотенииальной. Из выражения полного дифференциала имеем -( —",- ) =т ~ Из уравнений (9) х, ( могут быть выражены через В'„%',; 2К (г — х) 2К (г — г) ", (16 В силу соотношений (7), (1О), Яг" удовлетворяет уравнению второго порядка Г) г~ д1нг ~2 ) Г да» даг ~ дгдх 2К(г — г) ~ дг дх )' ГЛ. а ОДНОМЕРНАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА Таким образом, потенциальная функция удовлетворяет специальному уравнению Дарбу д'хг — ! (х, + к,) ( — + — ) — О, дар дат где положено К вЂ”вЂ” ! 2 уравнение (12) подстановкой Ч =се', О=х,+к„ 1!<е>се (13) х,=г, Нетрудно видеть, что )уг =- (РО, может быть приведено к виду — ~( +х)' (15) Рассмотрим теперь те уравнения состояния, для которых общий интеграл и функция Римана представляются в замкнутой форме.

Начнем с политропных газов, для которых р есть степенная функция р: р = а'рт, (16) ср у= — )1 с, В этом случае у †! К( — к) =с= 4 (г —.), Отсюда у — 1 1 —— 2 у-! — — +— 2 4 у — 3 ! (20) г — с 2(у — !) х1+ хг к~ + хк ' 2 (г — с) 4 (18) Для уравнения (12) с функцией !'= — справедливо х,+кг следующее свойство редукции, установленное Дарбу и позволяющее переходить от одного значения гп к другому. Если !!г" есть решение уравнения (12) при ! = — . , то х, + х, ' 1(~г = Т.ЯГ, 1, = ( — + — ), (19) есть решение уравнения (12) при — л! =Н$+ 1 ° к, + хг При у=+ 3 имеем гп=О и Я7 удовлетворяет уравнению друг $9.

АнАлитические Решения ОднОмеРнОЙ ГА30ВОЙ ди1!Амики 311 2т+ 3 "Г = 2т+ 1 (23) б при т = 1 у — (одноатомный газ), при т= 2 у = — (двухз б атомный газ) и т. д. В силу свойства редукции таким значениям т и у соответствует общий интеграл (Р' (хн хэ) = Ь [г' (х,) + 6 (х9)[, где оператор Ь дается равенством (19). Покажем, что выражение (24) для общего интеграла можно преобразовать к виду дхт ' (х,+хх) дхт ' (х,+хз) (24) Положим в дальнейшем г"'(х,)=Г1)(х1), 6'(х,) =Ч'(хх).

(26) Представление (25), очевидно, следует из (24) при т= 1. По индукции докажем эквивалентность (24), (25) при любом т. Пусть А тр( ) д Ф(х~) дх1 1 (х~ + хх) Докажем, что 7т91р( ) д Ф(х ) (28) дХ",' (Х, + К9)т+ Используя предположение (27), имеем дт-1 7. "Р( )=Ы Р(х,)=7.1' ', (".1= 1 дк'," ' (х,+х9) 1 1 д'" Ф (х|) т д~ Ф (х)) к, + х дхт1 (к, + к ) х1-1- хх дхт1 1 (к, + хх)~~~ (28) эквивалентно После этого нетрудно видеть, что равенство следующему: (9Н)' '=ОН) '+ тН' (30) где положено, при фиксированном хх, д д 1т) дт О х,+х„ дх~ да ' дй~ Н= — „, . (31) которое имеет известный общий интеграл (интеграл Даламбера) (Р = Р(х,)+ 6(х,).

(22) Целым положительным значениям т отвечают следующие значения у: гл. х одномвенхя гхзовкя дннхмнкх з(а Итак, мы доказали, что общий интеграл уравнения (12) при — имеет вид к, +к| Если считать хь х2 комплексными числами, а Яг, Ф, Ч' — аналитическими функциями своих переменных, то, применяя известное представление Коши для производной аналитической функции, формулу (32) можно представить в виде (см. Е. Копсон 119531) «к-1 Ф (к«) «««1 «1«(к2) «*, «- *« с, с, где (к, — $«) (к, + 1,) (к, — 1,) (к«+ 1«) (36) и г(а,р,у,х) 1+ — х+ ... ... + ( ) '" ( + )()(()+ ) "'(() ) х~+ ...

(37) Уг) у (у+ 1)... (у+ к — )) реть известный гипергеометрический ряд Гаусса. В формуле (33) О, = —; контур С1 берется в плоскости комп. д дк лексного переменного хн хх рассматривается как комплексный параметр; контур С2 берется в плоскости хм х~ является параметром. Формула (33) имеет смысл и для дробных т, если в ней заменить (т — 1)1 на Г(т); тогда операторы О, ', О, ' имеют смысл дробных производных, введенных впервые Риманом и Лиувиллем. Перейдем теперь к задаче определения функции Римана для уравнения (12) при )'= — к + „ Мы будем пользоваться уравнением (15), которое при этом значении 1 принимает вид дк, дк2 О~ = —,о, 8=х, + х„а =т(т — 1).

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6521
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее