Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 47
Текст из файла (страница 47)
нотонно возрастает с ростом р; прн Р = Ро и =и+(Ро)=0' — и (р) — и 1 Ф (5 р) Ф,(5О р„)=и,— и„(0. и =и,+Ф1(5ь р~) — Ф~(5О р)= =и =Фо(5о, р) — Фо(5о, ро)=(7 (23) О О, ЗАДАЧА О РАСПАДГ ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА 273 Отсюда следует, что уравнение (23) имеет один н только один корень Р = Р- = Р+( Ро( рь Условия совместности конфигурации В следуют из того, что 0- Ц ) иь При дальнейшем уменьшении и> возможен отрыв газов. 8.
Решение задачи о распаде разрыва в плоскости переменных р, и (р, и-диаграмма). Во всех случаях конфигураций А, Б, В состояние и+, р+, 5+ справа от контактной границы было связано с состоянием ио = О, рм 5о в газе «0» в начальный момент либо соотношением волны разрежения и„— Ф,(5,, Р ) =и,— Фо(5«, Ро) = — Ф,(5о, Р„), (1) либо соотношениями Гюгонно, из которых следует р„=р (5„М,), и =и,(5, Мо), (2) где ро(5«,Мо), ио(5о,Мо) монотонно растут с ростом Мо, при этом ро(5о,Мо)- Оо, ио(5о Мо)-» оо при Мо-» оо. Отсюда' следует, что из зависимостей (2) можно исключить параметр Мо и получить новую зависимость: (3) и+ — — Ч',(5, р+); при этом Ч"о(5о, р+), так же как Фо(5м рь), является монотонно возрастающей функцией переменного р+.
Обязательным условием волны разрежения (до — до о 0) является требование (4) Р+ » ~Ро откуда следует, что для определения и+ мы можем пользоваться лишь половиной кривой (1): и,=Фо(5о р,) — Фо(5о ро) (б) заданной условием р+» р, Условие устойчивости ударной волны (Мо) 1), напротив, требует, чтобы давление р+ было больше ро (р+ ) ро); поэтому для определения иь мы можем также пользоваться лишь половиной кривой (3), заданной условием рь ) ро.
Поэтому кривая Ф,(5„р ) — Ф,(5,, р„) при р„<р,, и„= '1'о (5о~ Р+) при р„) р, (б) определяет скорость и+ на контактной границе по заданному давлению р+. Кривая и ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ о о ~~ р Фо(5, р) — Фо(5., Ро) при Р»-ро, и=а.(5., Р) =,~„„„,„р „Р) 274 Гл. а ОднОмеРнАя ГАЗОВАЯ дннАмнкА Рис. 2.54 где Озр(5 р) — Оз (5 р!) р < р д! (5„ р) = ' ' ' ' (9) описывает в плоскости р, и семейство состояний, которые могут быть связаны с состоянием ин рр, 5р, как с левым состоянием, либо волной разрежения (» = сопз1), либо ударной волной (т > О,М! ) 1).
Легко видеть, что др(5,р) — монотонно возрастающая функция р, что кривая (8) проходит через точку (рр, и,) и имеет две непрерывные производные. На рис. 2.54 приведен примерный вид кривой (8). 1-1а рис, 2.84 указано также, каким частям кривых (7), (8) отвечают волны разрежения (в. р.) н ударные волны (у. в.) соответственно в газах «0» и «1ж описывает в плоскости переменных р, и множество состояний, которые могут быть связаны с правым состоянием ро,5о, ио = 0 с помошью центрированной волны разрежения либо устойчивой (Мо ) 1) ударной волны.
1<(ы говорим, что на кривой (7) определено <состояние», хотя в каждой ее точке известны лишь два из трех гидродинамических параметров — р, и. Однако легко видеть, что в волне разрежения (р ( р,) 5 = 5о, а при р ) ро энтропия 5 однозначно определяется в каждой точке этой криной и б"'ир из условий Гюгонио. и, Короче говоря, кривая (7) у, о. есть проекция на плоскость пе- ! 5,,р) ременных р, и кривой, р аспо- ложенной в пространстве трех <' переменных (р,и,5) и описырор вающей множество состояний ро рр, р ррвр),* р р б связаны с правым состоянием ро, ио = О, 5о волной разрежения либо ударной волной.
"Ф~ Легко видеть, что кривая (7) проходит через точку (ро, ио=О), а из свойства касания второго порядка в точке (ро, 5о) адиабат Гюгонио Н и Пуассона А следует, что кривая (7) обладает в точке (ро, ио = 0) и, следовательно, всюду непрерывно дифференцируемой касательной. На рис. 2.84 приведен примерный вид кривой (7); верхняя ее часть отвечает ударной волне (зависимость (3)), нижняя— волне разрежения (зависимость (5)). Совершенно аналогично кривая и = и, — и! (5„р), (8) з З. ЗАДАЧА О РАСПАДГ ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА з75 Поскольку на контактном разрыве всегда (за исключением случая отрыва газов) требуется непрерывность скорости и = и+ и давлениЯ Р = Рт, то Решение задачи о Распаде РазРыва сводится к определению точки (р,и) (р=р =р+, и=и = и = и+) пересечения кривых (7) и (8).
Если точка пересечения (р, и) этих двух кривых лежит в верхней половине (р ре) кривой (7), то в газе «О» рас- ф пространяется ударная волна; если же р(рс, то в газе «О» . — — — '' и,-— и ««« распространяется волна разрежения. Аналогично, если точка (р, и) пересечения этих «1~ ьтг Р, р« двух кривых лежит в верхней 4 й, и и половине (р ( р,) кривой (8), то в газе «1» распространяется волна разрежения; если же К р » рь то в газе «1» распространяется ударная волна. й В соответствии с этим на ~ и,=ь; л рис. 2.55 приведены возможные случаи пересечения этих кривых. Задаваясь, как всег.
да, условием р1 ) р, и замечая, что кривые (8) при различных и~ отличаются друг от друга лишь сдвигом, приводим на рис, 2.55 сводку возможных конфигураций в зависимости от ин а также графический способ определения величин ив, ив, и р. Из рис. 2.54 и2.55также следует графический способ решения задачи о распаде произвольного разрыва *). Аналогичное рассмотрение задачи о распаде разрыва можно производить и в проекции на плоскость (з,«) — инвариантов Римана.
В плоскости (з, «) части кривых (7), (8), отвечакпцие волнам разрежения, будут лучами, параллельными осям координат, другая их часть будет некоторой гладкой кривой, плавно *) Следует иметь в виду, что кривая (8), так же как и (7), параметрически зависит от энтропии л, (Зз), поэтому задание лишь точки (рь и~) ее еше не определяет. Если, однако, считать, что для всех яь Р|:э Ра внтро- l пня о, фиксирована, то кривые и — и, = — л, (Зь р) и я — и, — я, (ЯР р) « « совпадают при и, — и, я, (рп 5,), рейш)п(ри р,). Исходя из этого яа Рис. 2.55 Указаны области значений Рь и, пРн о=8, соней в котоРых сохрааяется конфигурация решения задачи о распаде разрыва.
ГЛ. З ОДНОМЕРНАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА 276 (с двумя производными) согласованной с этими лучами (рис. 2.56). Особенно удобно применять з, г-диаграмму при решении задачи о распаде для одн- "1 иаковых изотермических газов. г=з%4,Ф В заключение этого пункта определим функцию до(50, р) для случая политропных газов. Для политропного газа % 6 40 р =, (10) Л'(Н) Рт У у,о.
ГРо (5о, Р) — ГРо(50, Ро) = о — о о =о Щ Злб) 2 Уо )" Ро Рис. 2.бб. (1 1) В случае ударной волны (р ) ро) выражаем Мо из (4.5,13): М „ / Р+ааро Ч ро))+Ь) после чего из формулы (4.5.16) находим Ч',(5„р): 0(ОР)(0)0(ОРО)ь)~/ р(1+Я)~/(а~(13) (12) Итак, для политропного газа уравнение (7) задается в виде и=а".0(50 Р) = т -! 2 ,)1~ р ~~" 1 при Р(р, та Ро при Р ) Ро. 9.
Задача о распаде разрыва в средах с аномальными термодинамическими свойствами. Отказ от условий р"к((г, 5) ) 0 в средах, которые соседствуют в задаче о распаде разрыва, существенно осложняет эту задачу в делает картину течения более разнообразной. Осложняется вопрос об единственности решения задачи о распаде разрыва; единственность решения доказана при некоторых ограничениях на уравнения состояния, которые ие диктуются требованиями термодинамики. Более сложно формулируются условия устойчивости (допустимости) ударной волны (см.
$ 4, п. 8 и 2 5, п. 7), Ряд вопросов, связанных с этой задачей для сред с аномальными термодинамиче- о О. ЗАДАЧА О РАСПАДЕ ПРОИЗВОЛЫ!ОГО РАЗРЫВА 277 скими свойствами, рассмотрен в работах Г. Я. Галина [1958), А. Д. Сидоренко (1968), Б. Вендрофа (1972), Т. Лю (1975]. В рассматриваемом случае нарушаются свойства 1, 2, 3 решения задачи о распаде, установленные в п. 1; в среде с аномальными свойствами может распространяться несколько ударных переходов, а также центрированных волн Римана, следующих друг за другом в одном и том же направлении относи. тельно газа.
Мы будем предполагать, что в рассматриваемых средах выполнены условия (5.7,13) Т = — ' > 0; р'„(У, 5) < О, р' (1', 5) > О, (1) и будем считать допустимыми лишь те разрывы, связывающие состояния (ио, Уо,ро) перед фронтом и (и!, У!, р!) за фронтом, для которых выполнено условие допустимости (5.7.17): для произвольной точки (У, р) адиабаты Гюгонио Н(У, р; Уо,ро) = 0 с центром в точке ( Уо, ро), расположенной между точками (Уо,ро) и (У!,р,), выполнено неравенство р ро > то р! ро 10 У! 10 (2) Как видно из условий (2), при знакопеременности р" (У, 5) возможны разрывы, для которых выполнены равенства — (У„5)= — т = др о р! — ро др ' У! — Уо (3) — Р ( Уо, 5о) = — т' = др ди р! — Ро (4) У! — $/о — (У! 5!) = (Уо 5о) = т = др др о р! — ро дУ ' ди ' У! Уа (5) Равенства (3), (4) означают, что скорость разрыва ео совпадает со скоростью характеристики 5! (при т > 0) или 5о (при т ( 0) по одну сторону разрыва.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
