Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 42
Текст из файла (страница 42)
е. от констант течения. Гл. а ОднОмеРЯАя гАзовАя динАмикА а У(х) удовлетворяет уравнению „а/ у+ ! (!' — Уо)(У вЂ” У!) у ( ( «х Отсюда 2 1 'и' и'(' у+! 3 ( -к.)(и — рй У» к у+! = — 14(Уа — У)'- (.-У,)-'- 1= — „+...,( (9) На рис. 2.42,а приведен примерный вид профиля У= У(х), задаваемого формулой (9). Примыкание графика У(х) к д х 8 4) У вЂ” '~р г !т ~/ Ы Р Рис. 2.42. (10) |пах ~ — „ (см. также рис. 2.42,а). Вычисления, проведенные Беккером, привели к поразительному результату. Оказалось, что для большинства газов при не очень высоких температурах и плотностях величины )А и н таковы, что ширина зоны ударного перехода оказывается порядка 10-' — 10-« см, т.
е. порядка длины пробега молекул газа. Если исключить из рассмотрения факт неравновесности гидродинамических течений на расстояниях порядка длины пробега молекул, то это говорит о том„что с большой степенью точности постоянным значениям У = У! и У = Уа происходит при х-» +Оо, так что «ширина» ударной волны, строго говоря, является бесконечной. Однако это примыкание происходит экспоненциально, т. е. довольно быстро. Для определения порядка «ширины» зоны ударной волны ее определяют как величину Ф к изгчзния тдхшюго пагаходх. шияинх тдхгнои волны 242 "%='('-®'" " ат !; сх х — =Се — — Сз 1' — — ) — С + Кд 1 2 !1 С2 ) 3 ! и = !хр = ~ ' (! 1) ! С вЂ” — х=рх. 2 С! (12) ! Для идеального газа е,= — рУ.
Рассмотрим случай х=О, т †! р ~0. Из (!1), (12) следует уравнение для У: — ж~ т+ ! !У вЂ” гй(У вЂ” Ус) Р (13) — — т Ыд 2 где т = С, — массовая скорость ударной волны; У,, У! — значения удельного объема У перед и за фронтом ударной волны. В случае !! = сопз! нз (13) имеем интеграл 1 1п(у" 1, ) ' ' = — т!1+сопз1; (14) если же, например, р=1гр=сопз1, то из (13) следует формула, близкая к (9)! Уа у! ю-ю 1п ' = =ту+ сопз1. г 2й (У У ! Ф'~-У~ (15) ударный переход можно эффективно заменить подвижным разрывом (ударной волной), левые и правые предельные значения которого удовлетворяют условиям Гюгонио и условию возрастания энтропии (условию устойчивости).
Тем самым оправдана общепринятая точка зрения, согласно которой течение разделяется на области обратимых процессов, где действуют уравнения гидродинамики без учета диссипативных членов, и на области необратимых процессов, которые представляют собой узкие зоны и могут быть эффективно описаны подвижными поверхностями разрыва. Отметим дополнительно, что более точное представление о зоне ударного перехода в реальном газе может быть получено лишь с использованием уравнения Больцмана, однако оценка порядка ширины зоны ударной волны остается той же самой.
Отметим в заключение этого пункта, что в случае р = О, х Ф 0 изотермический скачок, как это легко видеть на рис. 2.41, существует лишь для достаточно сильных ударных волн, когда О ( !) ( ()1. Приведем необходимые в дальнейшем формулы (5.1.13), (5,1.14) в лагранжевых переменных д, й ГЛ И. ОДНОМЕРНАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМНКА Из формулы (13) в предположении 1А = сопи! и пользуясь определением ширины зоны ударной волны по формуле (10), получаем выражение для ширины зоны Ьд: йд= — ' аи т+ ! (бп!' где Ли = и~ — ио — скачок скорости на ударной волне.
6. Стационарные решения уравнений газодинамики с вязкостью Неймана — Рихтмайера. Рассмотрим теперь стационарное решение уравнений газовой динамики для политропного газа, теплопроводность которого равна нулю, а квязкость», входящая в уравнения (5.1.1) †(5.1.3), имеет специальный вид *): т.
е. формально мы можем полагать в предыдущем рассмотре- нии коэффициент 1А равным величине (2) Так как согласно (5.1.12). (5.1.16) и=тУ, (3) и легко интегрируется; ра+ т1 2 х агсз1п = =+ С. ~о г~ Ч/й 2 (6) На рис. 2.42,6 приведен профиль У = У(х) для решения (6), Существенным отличием от предыдущего случая здесь является конечная ширина и.тl!ь ударного перехода. В связи с этим от- ') низкость такого типа была впервые рассмотрена Нейманом и Рихтмайером !!9501.
то легко видеть, что для политропного газа определение стационарного решения сводится к интегрированию уравнения Р д„~ ~„~=(~ Уо)(У "1) (й' ир (4) (см. уравнение (5.5.8)), где 1А= тА, Для случая т) О, 2 т+! и"т' 1А > 0 — „(О (см. рис.
2.42, а), поэтому уравнение (4) представляется в виде ( ) (У 1 )(1 1))0 (5) э а изучение удАРного пеРеходА. шиРинА удАРИОИ Волны 247 метим, что примыкание решения )7= 1~(х) к постоянным значениям $'з и 1~1 не является аналитическим, так как вторая производная )/"(х) в точках х = ~ — терпит разрыв, что нЧй 2 легко проверяется как из уравнения (4), так и из формулы (6) для решения. Если в уравнении (5.5.13) совершенно аналогично положить х ~ди~ (7) то приходим к уравнению -1 ку ! ку 2Х р ~ — ] — = (1' — К») (1" — $',), р = —, (8) интегралом которого является равенство Уо+ "~ агсзн1 = — + С, 2 д У» У1 З/й 2 (9) а ширина зоны ударного перехода равна Заметим, что в случае лагранжевых координат вязкость Неймана — Рихтмайера приводит к конечной ширине ударного фронта, не зависящей от силы ударной волны.
Конечность ширины ударного перехода в некоторых случаях представляется существенной. Поэтому «вязкость» Неймана— Рихтмайера (1) широко используется при численных расчетах разрывных решений уравнений газовой динамики. В уравнения газовой динамики для газов, лишенных внутреннего трения и теплопроводиости, вводят искусственную «вязкость» типа (1) с малым коэффициентом Х. Это позволяет размазывать ударные переходы на конечную область, что бывает удобно при численных расчетах.
Подробнее это будет обсуждаться в главе 3. 7. Ударный переход в среде с аномальными термодинамическими свойствами. Рассмотрим кратко вопрос о допустимости ударного перехода, который мы подняли в п. 8 $4, основываясь на методах, развитых в этом параграфе. Отказ от выполнения условия р" (У, 8) ) 0 приводит к дополнительным требованиям к ударному переходу, которые мы получим, пользуясь методом вязкости.
Этот вопрос рассмотрен в работах Г Я. Галина [1958], А. Д. Сидоренко ]1958], Б. Вендрофа ]1972], Т, Лю 11975]. Ударный переход ио, Гм ро, 'иь "'ь р1 будем называть долусгпжым, если существует решение системы ГЛ, 2 ОДНОМЕРНАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА 248 уравнений (5.1.12) для вязкого и теплопроводного газа с положительными коэффициентами вязкости 1А > 0 и теплопроводности я > О, соединяющее точки (ио, 1'о, ро) и (иь Уь р1). Разрыв, который может быть представлен как последовательность нескольких допустимых в указанном выше смысле разрывов, движущихся относительно среды с одной и той же скоростью, также будем считать допустимым.
Прежде всего отметим, что для любого допустимого разрыва де !$',Я) и любой среды, удовлетворяющей лишь условию Т= ' > д5 > О, всегда выполнено неравенство о1 ~» оо где Яо — энтропия перед фронтом ударной волны, а 51 — энтропия за фронтом. В самом деле, записывая уравнение (5.!.7) для энтропии в виде получим аналогично уравнениям (5.!.9) †(5.!.!2) уравнение для энтропии в ударном переходе Если считать, что ударная волна движется относительно среды влево (С, > 0), то тогда оо — значение энтропии при х- — оо, Я, — при х-++ оо. Интегрируя уравнение (2) от точки х = — оо (Я = 5о; и!оТ вЂ” = 0), получим Ых х риЯ=роио~о+н "„'"„+ ~ [ —" ( — ",)'+ —,",, ( — "„,) ]ах.
(3) дыт Но ри = С, > О, — — 0 при х-++ оо, поэтому условие (1) дх всегда выполнено, так как интеграл в правой части равенства (3) неотрицателен. Мы уже указывали в п. 8 9 4, что условие (1) недостаточно для выделения допустимых ударных переходов в случае знакопеременности р'„' (У, 5). Получим дополнительные условия, считая, что для ударного перехода (ио. Умро). (иь Уьр~) суще ртвует решение системы (5.1.12) при 1А > О, н = О.
4 о. изучение удАРИОГО пеРеходА. шиРинА удАРБОЙ волны 949 Тогда из уравнения (5.1.14) получаем ! со~' с, ! с', но= е — — С'~У вЂ” — ~ — — + — — = 0 СЗГ С, 9 С, (4) н задача определения кривой ударного перехода сводится к ин- тегрированию одного уравнения (5.!.!3) р — = — ~С',(У вЂ” — 11+ р| =.Х. (5) Будем рассматривать зависимости (4) и (5) в плоскости переменных У, р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
