Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Из рис. 2.30 заключаем, что предельное сжатие политропного газа ударной волной равна Р У4 1 у+1 Ра " " т А 2. Вдоль аднабаты Г4огонио ф <о. (й) (7) Это означает, что при возрастании величины )0 — ич1 монотонно возрастают давление р и плотность р за фронтом волны.
В пп. 3, 4 мы показали, что для нормального газа из условий Гюгонио однозначно определяется состояние за фронтом ударной волны, если заданы состояние перед фронтом (ио, ро, У'о, ео) 220 ГЛ, 2. ОДНОМЕРНАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА и величина, характеризующая силу ударной волны (поток массы т либо скорость ударной волны 0). Укажем здесь соответствующие расчетные формулы для случая политропного газа. Силу ударной волны будем характеризовать безразмерной величиной М=!"-'1, о со которая, в силу теоремы Цемплена, больше или равна !. Если известно Мо, то находим модуль потока массы т через фронт волны: ! т)= росоМо.
(10) (9) Выразим теперь явно величины р, г', с, и через ро, го, со, ио, Мо. Переписывая уравнение адиабаты (4) в виде — — — (1 — Й) т' (11) (о где использовано (4,2.4), найдем Р+ "Ро=(1 ")Ро(ио О) =(!+и)роМо (12) о ! — Л так как ро=с р !+ . Отсюда Р = Ро ( (1 + ") Мо и1 Р Ро Р+ Аро (14) Ро к Ро+ Р (! М+ Мо РРо ~(! + Ь) М~ — А1~(1 — И1+ АМД (15) оо Рор о (13) Формулы (13) — (15) выражают термодинамические величины за фронтом волны через известные перед фронтом и Мо.
Для определения скорости и за фронтом пользуемся формулой (4.2.10), согласно которой Г Р и = ио+ т (к' — (Го) = и ~ росоМо1'о ( — — 1) = (о Р = ио~соМо( о. — 1) = но ~(1 — Ь) со(Мо — — ) (16) ! о Мо (знак + в формуле (16) берется для случая волны, идущей вправо, т. е.
при т ( 0; если относительно газа волна перемещается влево (т ~ О), то берется знак †). Равенства (!3) — (16) выражают явно состояние за фронтом вониде рациональных функций от Мо. Величины 221 З 4. РАЗРЫВЫ. УДАРНЫЕ ВОЛНЫ являются, как легко видеть, монотонно возрастающими функциями параметра Мо. В силу симметрии условий Гюгонио состояние перед фронтом УдаРной волны ио, Ро, Уо, Во по заданномУ состоЯнию и, Р, У, е за фронтом определяется по этим же формулам, если вместо Мо ввести число т.
е. М' Ра (1 1 й)М2 й Ра Р 11 — А)+ 14Ма ' — "=[(1+й) — — "~((1 — й)+ ймо) ио = и ~ (1 — Ь) с [М вЂ” — ~; 1 (17) и а Так как в изотермическом газе температура одинакова перед фронтом Рис. 2.31. и за фронтом ударной волны, то роль адиабаты Гюгонио Н в этом случае играет изотерма (3), уравнение которой можно записать в виде (4) Р— Р(У) =Ро — Р(Уо) =(). В этом случае сопряженными будут любые две точки (Ро, )ао), (Р, Ъ'), лежащие на изотерме (3). Иа рис.
2.3! показано взаимное расположение адиабаты Пуассона А, адиабаты Гюгонио Н и изотермы Т для случая нормального газа. при этом из теоремы Цемплена следует„что М ( 1. 6. Условия Гюгонио для изотермического газа. Изотермический газ является предельным случаем теплопроводного газа, когда коэффициент теплопроводности стремится к бесконечности, а температура в газе поддерживается постоянной за счет внешних источников тепла. Из интегральных законов сохранения в этом Р случае следуют только два закона сохранения на фронте разрыва — массы и импульса: р (и — О) =Ро(из — О) = т, (1) Р4+р4(и4 — О)'=Ро+р,(и,— О)=1, (2) РУ а давление р задается формулой Р=Р(У. Го) =-Р(У) (3) ГЛ.
2. ОДНОМЕРНАЯ ГАЗОВАЯ ДННАМИКА В предположении, что газ обладает свойствами 1 — Ъ' п. 3, изотерма удовлетворяет условиям (см. $1, п. 4) ду иу ~ = — (О, дуа = — „, > 0;,о-~со при У-+О. (5) Следовательно, изотерма (3) — выпуклая кривая, и любой луч, проведенный из точки (ро, Уо), пересекает ее не более чем в одной точке. Поэтому луч К = ~' пересечет верхнюю часть изотермы Уа (3) только в одной точке (рис. 2.32), если --. =--' Ю =-Г'Г'1 где ст — изотермическая скорость звука. При К = — со (бесконечно сильная ударная волна) сжатие также будет бесконечным. Этот же вывод формально следует из т(12 формул для сжатия политропного гад "т' — ! Т д — Ф за при у- 1, так как Ь = -~0 у+1 прн у-+1.
Укажем расчетные формулы для ударной волны в изотермическом газе, Т=т снова взяв в качестве параметра, оп- ,у ределяющего силу волны, величину то ! иа — 121 с У и 1т, и т( о) Из (2) следует =то= рос2 (У ) М2. (7) Отсюда определяется У, после чего и находится по формуле, и — ио=т(У вЂ” Уо) = — Рост(Уо) Мо(У Уо) (8) где для определенности положено лг (О (ударная волна движется относительно газа слева направо). В случае идеального газа Р— т (1) — и — у — стр авто ст 2 (9) изотермическая скорость звука ст=ос7РТ, постоянна и формулы (7), (8) принимают вид (10) Ра и ио=стМо~! — ~= стМ2~1 — —,,~= ст ~Ма — ).
(11) $ С РАЗРЫВЫ, УДАР44ЫЕ ВОЛНЫ 223 Переходя к инвариантам Римана 5 2, п. 9) э=и — с„!пр, с=и+со 1пр, (12) придадим условиям Гюгонио (10), (11) симметричный вид: з — зо = ст ~ — !п Мо+ (Мо — А )~ = ф(Мо). г — го=ст ~1п Мо+(Мо — ~ Я=га(Мо), (14) дл ! 420 — > — —.
о42 т о42 ' (15) Применим это неравенство к частице газа, пересекающей при своем движении ударную волну. Так как за единицу времени ударную волну пересекает масса газа (ро(ио — Р) ) = (р(и — 0) ) = =!т), то, приняв эту величину за массу указанной частицы, мы сделаем равным 1 время перехода ее из состояния перед волной (ио,ро )то,ео) в состояние за волной (и, р, )т,е), Согласно закону сохранения энергии (формула (1.1,2)), Л4,4 = ЛЕ+ЛА, где ЛŠ— приращение полной энергии частицы, а ЛА — работа, совершенная ею за единицу времени над окружающим газом. Так как 2 2Х ЛЕ = ! т ! (е — во+ ), ЛА =(ри — роио) з!ппт, неравенство (15) дает Р„ио Р "о 2 2 то(Я вЂ” 50)+ " ' +ео — е+ 2 > О (где т ) О, если волна движется справа налево относительно газа, т -0 в противном случае).
Учитывая соотношения (1), (2), получаем > О. (16) То(Š— Ео)+ —" — — +е, е+ "' Ро Р 2 Подставляя сюда формулы (4.2.10); о (ио — 1))' = то где зо, го — значения инвариантов Римана, вычисленные в точке ио, ро, 1'о. Чтобы решить вопрос об устойчивости ударной волны в изотермическом газе, достаточно учесть требование второго закона термодинамики для неравновесного изотермического процесса (формула (1.2.9) ): Гл, а Одномегнля ГАзОВАя динАмикА 224 придадим неравенству (16) вид То(О Оо) ) (е ео) + (!с — Уо) = То(Б — ~о) — Н (р, У, р, Уо) > О. (17) Вычислим величину ТА(5 — 5А).
Для этого проинтегрируем термодинамическое тождество Т с(3 = с(е + р с(У вдоль изотермы Т от точки (рм Уз) до точки (р, У) (рис. 2.32). Мы считаем газ нормальным, так что г" = Р(У) — кривая, обращенная выпуклостью вниз. Вдоль изотермы р = г"(У), Т = Т, = сопя!, поэтому У ТАЮ вЂ” Зо) =е — ео+ ~ ~(У) с(У. (18) Подставляя это в неравенство (17), придадим ему окончатель- ную форму: У, ~' (УА — У) — ~ Р(У) с)У ) О, (19) с Очевидно, для нормального газа это требование равносильно условию У <. Уо, т. е. состояниям за фронтом отвечает лишь верхняя половина изотермы Т.
Отсюда, как и ранее, следует, что ударная волна в случае изотермического газа приводит к возрастанию давления и плот- ности; движение перед фронтом волны является сверхзвуковым, а за фронтом — дозвуковым (под скоростью звука здесь пони- мается изотермическая скорость звука сг = У.тГс — дг/дУ). Условию устойчивости (!9) можно придать иную форму.
Рас- смотрим в плоскости лагранжевых переменных (с), !) порцию газа, расположенную между прямыми с) = с)с и с) = ссз (с)с ( с)з). Для любых последовательных моментов времени Гс, сс (сс (са) неравенство (!5), примененное к этой порции газа, дает (е + — ", — Тсу$) с(сс — ~ (е+ — — Тсср) с(с! с бА, (20) с с1 где ЛА — работа, совершенная этой порцией над окружающим газом за время с, — 1,: дА= ~ (рих'с) с(! — ~ (рих'с) Й с, с, (знак равенства в (20) соответствует случаю гладкого, т. е. квазиравновесного, течения).
Из (20) и (2!) легко получаем $4 РАЗРЫВЪ| УДАРНЫЕ ВОЛНЫ следующее интегральное условие, эквивалентное условию (19) | (е+ — ", — Т,Б) 4(41 — рих'4(х)О (22) с (С вЂ” произвольный кусочно-гладкий контур, проходимый в по- ложительном направлении). Величина е+ и'/2 — ТРБ = Š— Т,Б называется в термоди- намике ееобог)ной энергией (отнесенной к единице массы), а не- равенство (22) выражает известный термодинамический закон: в изотермическом процессе совершаемая системой работа мень- ше, чем потеря собственной энергии, и равна ей лишь 'в случае квазиравновесного процесса. В этом последнем случае течение гладкое, и из (22) вытекает дифференциальное соотношение (е+ — — Т Б) + д (р ')=О. (28) Оно должно выполняться тождественно в гладкой части тече- ния, т.
е. должно быть следствием дифференциальных уравнений движения (2.5.4), (2.5.5). Это действительно имеет место: из уравнений (2.5.4), (2.5.5) легко получается соотношение У вЂ” 1 — — 1 г" ()4) 4()4 1+ — (рих') = О, д и' д д|1 2 ( дд | которое, в силу (18), совпадает с (23). Заметим, что условия (19), (22), как это разъяснялось в $ 1, можно понимать как требование возрастания энтропии полной системы, состоящей из частйц газа и внешних источников тепла (термостата). Равенство (23) тогда означает постоянство энтро- пии указанной системы в случае гладкого течения. 7. Сильные и слабые ударные волны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
