Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Одномерноя ГАЗОВАЯ динлмикА производные гидродинамических величин становятся неограниченнымн. Нетрудно вычислить момент образования неограниченных производных. Пусть г = го, а з(д, 0) = зо(д), Тогда, согласно (3.2.5),две з-хаРактеРистики,выходищие нз точек д =до, н 0=ног начальной оси (=О, пересекаются в момент Г„: о о !о ег ч1 (!) $1 ('о — 'о (О1)) — 4 ('о оо (Чг.)) В случае, если зо(а) дифференцируема, получаем наименьшее значение времени 1, при котором пересекаются з-характеристики: ! (2) да (гю го (д)) ~ Формула (2) имеет смысл лишь в том случае, если !пах ~ — — г! > О.
Если („ы О, то з-характеристики не переседйз дд г каются при ! ) 0 и производные в волне Римана остаются ограниченными. Итак, во всякой бегущей волне сжатия градиенты возрастают и за конечное время становятся неограниченными. Это явление называют градиентной катастрофой. дгр При —, > 0 градиентная катастрофа наступает в бегущей дгр волне сжатия, при — „, < 0 — в бегущей волне разрежения. Таким образом, при —, > 0 образуется ударная волна сжатия, д'р при — „, < 0 — ударная волна разрежения (см. $4).
При ! ) ! ы ) 0 не существует непрерывного решения; решение становится разрывным. Рассмотрим более сложный вид течения — течение с локальными начальными данными Будем говорить, что начальные данные локальны, если начальные функции го(д), зо(д) переменны лишь на конечном отрезке а < д < Ь оси ! = О, т. е. г при а<а, ( з при д<а, + при д>(г о(") ( з+ при д>)) Возникающее при начальных условиях (3) течение не описывается бегущими волнами Римана. Однако в некоторых случаях это течение при достаточно большом г ) 0 может состоять лишь из бегущих волн.
зз изгчвнив пгоствпших плоских одномваных твчвнип 1ЗЗ Если, например, г'(д)>0, зь'(д))0, то решение обладает ограниченными производными при любом ( > О, как это следует из оценок (см. п, 1), Значения инварианта з переносятся вдоль з-характеристик, которые имеют скорость — рс~О; значения инварианта г переносятся вдоль г-характеристик, имеющих скорость рс > О. Поэтому при некотором (1 > О зоны переменности инвариантов г и з разойдутся и решение будет состоять из двух бегущих волн разрежения, разделенных зоной постоянного течения (рис.
2.17,в), Если теперь стремить а-ьО, Ь- О, т. е, переходить к задаче с кусочно-постоянными начальными данными, то решение г(д, Г), з(д, Г) будет, очевидно, стремиться к автомодельному решению, состоящему из двух центрированных волн разрежения (рис. 2.17, г). Задача Коши с кусочно-постоянными начальными данными ( г, дч.О, гь (ч) 1 г+ называется задачей о распаде произвольного разрыва и изучается подробно в $6 этой главы. Проведенный выше анализ позволяет утверждать, что если з Кз+, г-~г", то задача о распаде имеет непрерывное при 1> 0 решение, состоящее из двух центрированных волн разрежения (рис.
2.17,г). Аналогичный подход к рассмотрению задачи о распаде разрыва как предельной задачи с локальными начальными данными позволяет предсказать качественное поведение решения и при отказе от неравенств г(г~, е-се+. Если, например, г- > г.~, то после взаимодействия бегущих волн (зона 7) вправо будет распространяться г-волна сжатия (рис. 2.17,д). Как мы видели выше, градиенты в волнах сжатия возрастают неограниченно. Это приводит к разрыву решения. В решении появляются ударные волны.
Исходя из этого, можно утверждать, что если з > з+ либо г- > гг, то в решении задачи о распаде обязательно возникают ударные волны. 4. Задача о поршне. Истечение газа в вакуум. Бегущие волны находят многочисленные применения в ряде простейших задач, а также при качественном исследовании порой весьма сложных течений. Мы рассмотрим здесь несколько простых задач, решение которых описывается с помощью бегущих волн. Пусть газ находится с одной стороны (справа) от жесткой стенки (поршня), которая начиная с начального момента времени Г = 0 двигается по определенному закону. гл, а од!томи нАя гАзовхя дпнлмикА !94 Будем считать, что в начальный момент газ покоился и обладал постоянной плотностью, давлением и энтропией, т.
е, будем считать, что и(с), 0)=0, р(гу 0)=ро р(д, 0)=ро, 5(су, 0)=Во (1) Для газа считаем заданным уравнение состояния, удовлетворяющее условиям [, П: +<О, д,Р >О, р(-, З)=0. (2) удовлетворяющего начальным условиям 1 (Ч ) — (Ч ) — ср ( )го), 1' ив Ро и краевому условию, заданному на прямой д=О: з (О, 1) + г (О, 1) = 20 (1). (6) Зона ( (рис. 2.18), ограниченная слева характеристикой ОА (с) = сора!), есть, очевидно, зона постоянства течений, т.
е. в зоне 1 зг зо г=го — — зо и=О, Р=Ро с=со (8) Зона П непостоянного течения граничит по г-характеристике ОА с зоной постоянного течения. Следовательно, течение в зоне О есть волна Римана. Как это видно из рис. 2.18, в зоне П по- ") Равенство (3) имеет место лишь в том случае, когда гаа ае отри ваетси от поршня. Поршень находится на границе газа, координату д которой мы будем считать равной нулю.
Закон движения поршня выражает зависимость и(0, 1)= У(1), (3) где У(1) — скорость поршня, заданная как функция времени 1, а и(с), 1) — ско- Г рость газа *). Будем считать, что О(1)— 1 непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию Е/(0) =О, (4) Рис. 2.18. Вначале рассмотрим случай, когда У'(1) (О. Построение решения этой задачи сводится к нахождению решения уравнений изоэнтропического течения, удовлетворяющего начальным условиям (1) и краевому условию (3). В пнвариантах Римана задача сводится к нахождению решения уравнений да да дг дг -).— $(г — з) — '=О, о-+$(г — з) — =О, (5) д дд до $ а, изучение простеяших плОских Одномерных течения 195 стоянен инвариант Римана з(г), !), значения которого переносятся в зону 7! вдоль з-характеристик с начальной оси ! = О.
Итак, в зоне !! з(с! !)=За=сова(, и нам остается интегрировать лишь второе уравнение систе- мы (5): — '+ $(г — зо) — '= О. д! дч (9) Если г-характеристика пересекает *) ось д = 0 в точке т ) О, то в этой точке з(О,Т) = з, и из (7) мы определяем г(О,Т): .(О, )=2и() — зо=2и(т)+Ф(Уо). (!0) В зоне 7! волны Римана инвариант г(д, !) постоянен вдоль г-характеристик, которые являются прямыми: =е(г(0, т) — зо)=е(г(д, !) — зо).
(! 1) Вдоль прямой (11) г(г), !) = г(О,Т), где г(О,Т) задано формулой (10). Формула (11) задает решение г = г(г), !) параметрически с помощью параметра т — ординаты точки пересечения характе- ристики (11) с осью с = О. Из (11) следует, что если (!'(!) ~ О, то в зоне 7! ~' > О, т. е. движение в зоне П есть волна дгмк 0 дд разрежения и картина характеристик имеет вид, указанный на рис, 2.18. При разрешении граничного условия (7) предполага- лось, что з-характеристики, выходящие из луча д ) 0 начальной осп, пересекают линию д = 0 при ! ) О.
Согласно своему физическому смыслу величина с)0, (12) поэтому формула (10) имеет смысл лишь при выполнении неравенства с=ф(2(г(!) — 2з)=Ф(2(7(!)+2Ф(Уо)))0. (13) Согласно (2) ф(г — з) — монотонно возрастающая функция. Поэтому неравенство (13), вообще говоря, ограничивает снизу скорость поршня (!(!), для которой может быть удовлетворено краевое условие (3), т. е. ограничивает снизу скорость газа на линии с! = О. При достаточно малых по модулю (г(!) ( 0 неравенство (13), очевидно, заведомо выполнено, так как при (7(!) = О.
ф (2Ф (Уо)) = тр (го — зо) = со > О. ') Как мм увидим ниже, при достаточно больших по модулю с!(т)(0 ято не так, т. е. г-характеристики не пересекают ось д О. ГЛ, в ОДНОМЕРНАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА Пусть при каком-либо г = 11 неравенство (13) превращается в равенство и при 1) 11 П(1) ~ У(т,). Тогда при ! ) 11 краевое условие (3) теряет смысл. В этом случае поршень отрывается от газа, и между поршнем и газом возникает область вакуума.
Формула (11) параметрически определяет решение г(п, г) во всей зоне П при параметре т из отрезка О ( т ( тн Заметим, что из предположений (2) следует, что если / др — — = ~(г — з) = ср = О, то р = О, и поэтому граница ди д = О при 1) 1, может рассматриваться как свободная граница газа, т, е. граница газа с вакуумом, в котором р=О, р=О.
Не- В 'удобство лагранже- вых координат прояв- Ы Й ляется в этом случае в том, что в плоскости д, г граница газа д=О - 2'® совпадает с положе- А — Ф нием поршня, так как 1 в области между ними 1 р= — =О. Картина становится нагляднее, если мы изобразим движение газа и поршня в эйлеровых координатах.
На рис. 2.19 приведена картина г-характеристик в случае отрыва газа от поршня в эйлеровых координатах. В зоне 1 мы имеем по-прежнему покоящийся газ, зона П, ограниченная г-характеристиками ОС и АВ,— зона волны разрежения, зона ПУ (между траекторией поршня х = х(г) и характеристикой АВ) — зона вакуума, В точке А (г=г1) происходит отрыв газа от поршня. Заметим, что, очевидно, прямая АВ, являющаяся границей между газом и вакуумом, есть одновременно г- и з-характеристика, для политропного газа ~р(р) = 2 увы! = — с, ф (г — з) Г с= — (г — з); поэтому условие (13) записывается при у > 1 в виде [П(г)+ ', с4>О т.
е. (! 5) У(() > — — 1сэ З з. изхченив пгостапших плоских одномкеных течении 1Зт 2 Итак, при У(1) ( — —,се наступает отрыв газа от поршня. Эаметим, что если изотермический газ рассматривать формально как газ, для которого т = 1, то из (!5) следует, что отрыв изотермического газа от поршня вообще не происходит, так как 2 величина 1 се-+со при у — э1. Этот же вывод может быть т — 1 получен и из формулы для р, так как Гг †р=ехр 11 — ~ ) О, где ст — — ч~УТ=сопз(. Почти так же решается другая физическая задача о поршне, когда задана не скорость поршня, а давление иа поршне. Это приводит к краевому условию в лагранжевых переменных: р(О г)=ре(г) (16) Будем считать, что в условиях предыдущей задачи (/(г) монотонно уменьшается на отрезке 0 ~ 1:== Гь а при 1» 1~ и(1)=и,=с пз(.
Картина характеристик в плоскости д, 1 приведена для етого 2 случая на рнс, 2,20, а. Мы видим, что если Уч) — — см то в зоне /П течение постоянно, Если теперь стремить величину б к нулю, то в пределе при 1~- 0 мы получим автомодельное решение, картина характеристик для которого приведена на рис. 2.20,б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
