Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 29
Текст из файла (страница 29)
5). Тогда др др др др дл — = — — + — —. дх др дх дЗ дх ' Гл. а ОднОмеРнАя ГАЗОВАЯ динАМикА 164 Подставляя это выражение в систему уравнений (2.5,8)'— (2.5.10), получим уравнения одномерного течения в эйлеровых переменных, записанные в виде др дри три — + — = —— д! дх х ди ди ! др др ! др д5 — +и — + — — — + — — — =О, д! дх р др дх р д5 дх д5 д5 — + и — =О. д! дх (2) (3) Приведем систему трех квазилинейных уравнений (1) — (3) относительно трех неизвестных р, и, 5 к характеристическому виду. Для этого, согласно 5 2 гл.
1, нужно вычислить корни $ь вн вз уравнения и †р 0 ! ! — Р, и — $ — Рз р р 0 0 и — $ = (и — й)' — р,'(и — в) = О. (4) Как уже говорилось в 5 1, мы будем предполагать, что др(р 5) > О др (5) Обозначая тогда с — с (р 5)— (6) запишем уравнение (4) в виде (и — $) [(и — $)' — с'! = О, (7) Откуда получаем $!=и — с; $х=и! $з=и+с; ($ЗС$3 (С~О). (8) Итак, при выполнении условия (5) система уравнений (1) — (3) является системой гиперболического типа.
В $ 1 мы видели, что условие — = — к' — ) 0 есть усдр з др др д!' ловие устойчивости термодинамического состояния газа. Это же условие обеспечивает гиперболичность уравнений газовой динамики и, следовательно, корректность задачи Коши для уравнений газовой динамики. Если же — < О, то задача Коши для др др системы (11 — (3) была бы, вообще говоря, некорректной, эе уРАВнения ГидРОдинАмики ОднОмеРныхтечении !Ез Приведем эту систему уравнений к характеристической форме.
Для этого умножим уравнение (1) на величину — — ', Р' сложим с уравнением (2), а к результату прибавим уравнение (3), умноженное на величину — — — . Мы получим после ! др рс д5' этого уравнение в характеристическом виде; — + (и- с) — — — ~ — + (и — с) — з!— ди ди с гдр др1 дг дх р 1д! дк1 др ! Гд5 д5 1 хси — — — !е — + (и — с) — з! = —. д5 рс1д! дх! х (9) Второе характеристическое уравнение, соответствующее собственному значению $е = и, есть уравнение (3): д5 д5 — +и — =О, д! дх (10) а третье получается умножением (1) на —, сложением резуль- С Р' тата с (2), после чего к результату добавляется уравнение (3), умноженное на — — . В результате получаем третье уравне! др рс д5' ние в характеристическом виде: д! + (и + с) д + ~ дг + (и + с) дк ~ + + — — !ь — + (и + с) — х! = — — . (11) ! др гд5 д5 1 Уси рс д51д! дхз к носит название скорости звука, так как малые возмущения рещения распространяются вдоль характеристик; наклоны же характеристик суть величины и — с, и, и+с.
Поэтому малые возмущения распространяются относительно вещества со скоростями О, ~с(р,5). Интегральные кривые уравнений дх дх с(х д! ' д! ' д! — =и — с, — =и, — =и+с (12) называются характеристиками системы уравнений (1) — (3) либо (9) — (11), при этом линия — = и называется также траекс!к д! торией. Итак, уравнения (9), (10), (11) есть характеристическая форма уравнений газовой динамики (1) — (3) в эйлеровых координатах.
Величина ,( ~) /Ф(Ь 5) др гл, а одномврнхя газовая динамика !66 Согласно уравнению (10) энтропия 5 постоянна вдоль траектории. Мы получаем вывод, который уже отмечался нами; энтропия частицы остается постоянной, пока течение является гладким. дх Так как с > О, то характеристики — =и — с первого сею мейства относительно вещества движутся с ростом времени С ссх влево, а характеристики третьего семейства — = и + с — вправо дг относительно вещества. Наконец, отметим еще одну форму записи характеристической системы (9) †(11), которая часто встречается в литературе: с(х = (и — е) с(С, с(и — — с!р — — — с!5 = — Й; с др ! тси р д5 рс х с(х=ис(с, с(5=0; с(х= (и+ с) с(С, с(и+ — ' с(р+ — Р— с(5 = — — '" с(С.
р дд рс х (13) В такой записи указано, вдоль каких линий выполняются дифференциальные соотношения между искомыми функциями. 7. Изоэнтропическое и изотермическое течения. Инварианты Римана. Пусть на прямой С = 0 нам заданы начальные значения газодинамических переменных: и = ис (х), р = р„(х), 5 = 5„(х). (1) 5(х, С) =5,(х) =5,=сонэ!. (2) Такое течение называется иэоэнтропичесхисс. Задача определения изоэнтропического течения сводится, очевидно, к интегрированию системы двух квазилинейных урав- нений ди ди с Гдр др1 тси — + (и — с) — — — !с — + (и — с) дС дх рсдС дх( х — +(и+с) — +-~ +(и+с) — 1= — —. ди ди с Гдр др 1 тси дс дх р 1дс дх.( х (3) (4) Если предположить, что начальные функции им рс, 5с обладают ограниченной первой производной (либо липшиц-пепрерывны), то тогда из результатов главы 1 следует существование в некоторой полосе 0 ~ С с= С, дифференцируемого (либо липшиц-непрерывного) решения системы уравнений (2.6.9) — (2.6.11).
Предположим, что 5с(х) = 5„= сопз!. Тогда из уравнения (2.6.10) следует, что во всей области переменных х, С, где существует дифференцируемое решение системы (2.6.9) — (2.6.11), энтропия остается постоянной: 5 5. УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ ОДНОМЕРНЫХ ТЕЧЕНИЯ 167 где с=с(Р, 55)= Аг ' =с(Р). г др (Р. Зо) др (5) Как и всякая система двух квазилинейных уравнений, система (3), (4) приводится к инвариантам Римана (гл.
1, $ 3). Вводя функцию и новые переменные з, г: (7) з = и — <р (р), г = и+ ~р (р), запишем систему (3), (4) в виде — + (и — с) — = —, — + (и+ с) — = — —. (8) д5 дх тси дг дг тси д( дх х ' д( дх х Переменные г, з называются рнвариангами Римана. По известным г, з однозначно определяются и, р, т.
е. преобразование (7) имеет обратное. В самом деле, Г+5 и=— 2 2 (10) Так как р'(р) = — '' >0, с (р) р (11) то из формулы (10) однозначно определяется р как функция от г — з, т. е. Мы можем считать, что р=<р '(г — з), с(р)=ф(г — з)=с(гр '(г — з)), (12) при этом д~> д55 рс' (р) (13) дг д5 с (р) (р ') )О, 2с (р) Итак, система уравнений для изоэнтропического течения записывается с помощью инвариантов Римана в виде д5 Гг+ 5 д( 12 — + ~ — — 5Р(г — з)51 — = т д5 (г+ 5) 55)(г — 5) )дк 2х — + ~ — + 5Р(г — з)5( — =— дг Гг+5 т дг (г + 5) 55) (г — 5) д( ).
2 5 дх 2к (15) ГЛ. Х ОДНОМГРНАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА 168 Особенна упрощаются уравнения для изоэнтропического плоско симметричного течения. В этом случае ч = О и правые части в уравнениях (14), (15) исчезают: Из уравнений (16) вытекает, что инварианты Римана г, з сохраняют постоянные значения вдоль соответствующих характеристик: инвариант з постоянен вдоль характеристик дх~ 5+г — =и — с= — — ф(г — з), Ю 2 инвариант г постоянен вдоль характеристик — '=и+ с= +ф(г — з). дг 2 Рассмотрим также еще один частный случай — случай изотермического газа.
Предположим, что газ обладает чрезвычайно большой теплопроводностью н заключен в термостат, который поддерживает постоянную температуру Тм Вследствие большой теплопроводности температура в газе будет очень быстро выравниваться, и мы приближенно можем считать ее постоянной и равной Т,.
Это означает, что мы рассматриваем предельный случай бесконечной теплопроводности. В отличие от приближения локально адиабатического процесса„ в котором сохранение энтропии частиц нарушается в области резких градиентов„ эта модель имеет смысл и остается непротиворечивой также и для разрывных течений. Поэтому установим интегральные законы .сохранения, которые справедливы в этом случае. Вполне понятно, что законы сохранения массы и импульса справедливы и в случае этой модели течения. Что же касается закона сохранения энергии, то в этом случае его следует видоизменить, так как газ сохраняет постоянную температуру Тд, получая либо отдавая энергию термостату. Закон сохранения энергии теперь имеет смысл лишь для замкнутой системы газ — термостат.
Что же касается самого газа, то применение закона сохранения энергии к любой массе газа показывает лишь количество тепла, отданное либо полученное от термостата. Пример подобного рассмотрения имеется в п. 6 $ 4. Записывая уравнения состояния в виде р = р(р, Т,), мы видим, что в этом случае давление можно считать функцией одной лишь плотности р и — > О. др др з е уРАВнения ГНДРодинАмики одномерных течении яэ Из законов сохранения (2.3.13), (2.3.14) следуют дифференциальные уравнения (2.5.1) и (2.5.2), которые приводятся к ха. рактеристической форме (3), (4), где под с следует понимать теперь величину (17) (2) т.
е. можно считать, что х (д, О) = х, (д), (6) где хо(д) — монотонно возрастающая и непрерывная функция переменного д. К уравнениям (1) — (4), как всегда, присоединяется уравнение состояния, которое мы будем считать заданным в виде р=р(У, 3), р',(У, 3) СО. (7) Величина х = х(п,1) определяется из уравнения (4); для производной — имеем следующее выражение: дк ди дкбь О 1 = — У (8) ди х' с — с (р)— др с = сг(р) — так называемая «изотермическая скорость звука». Уравнения (3), (4), естественно, записываются в виде (14), (15) и в случае изотермического газа, при этом для г, з справед- ливы формулы (7), для с,(р) — формула (12), а для ф(р)— формула (6), если только под с(р) понимать величину (17).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
