Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Пусть 6 — некоторая часть пространства (хс,хмх,), ограниченная замкнутой гладкой поверхностью Ев. Количество газа, находящегося в момент времени 1 в объеме 6, равно величине ~ ~ ~рдхсйх,йхз=~р(Р, 1)й6. В формуле (1) через с(6 мы обозначаем элемент объема, Р— точка с координатами (хс,хм хо). Величина $(р(Р, 1,) — р(Р, 1,))й6 О (2) Равна пРиРашенисо массы газа в объеме 6 за вРемЯ от 1= гс до 1= 1э Так как в объеме 6 отсутствуют источники, то приращение массы газа (2) должно равняться массе газа, втекшего за время от 1= й до 1 = 1э через поверхность ХО объема 6.
Обозначим через оса вектор, имеющий направление внешней нормали к Х и равный по величине площади выделенного малого кусочка поверхности Х. Через плошадку сои за единицу времени втекает в объем 6 масса газа, равная величине — ристны. Поэтому, приравнивая величину (2) количеству газа, втекшего в 6, получим уравнение срррр. ро — р(р, рзроо-11 (р ио)рр=о. рор в ь хв (~~рис. с.— ри),Дй6= $ри~ с(6 О О Уравнение (3) выражает закон сохранения массы газа.
Изменение импульса в объеме 6 за время от 1= гс до 1= гэ равно величине Гл а ОДномЕРНАя ГАЗОВАЯ диНАмиКА и обусловлено втекающим через поверхность Хе газом, который приносит импульс н — (() Р ( ю>~а, Ь ~ХО а также силами давления р, действующими со стороны осталь- ной массы газа на газ в объеме 6 по нормали к поверхности ХО. Полный импульс сил давления, действующих на газ в объ- еме 6, равен величине (6) Приравнивая величину (4) сумме величин (5) и (6), получим интегральное соотношение, выражающее закон сохранения им- пульса: ь ) Р ~ ~о-~- ( ~ (Ры~-~-Р ( ше)1Ю вЂ” О. (ъ О ьхо При выводе соотношения (7) использовался тот факт, что в Объеме 6 отсутствуют источники импульса, Величина импульса в объеме 6 есть вектор; поэтому уравнения (7) содержат три скалярных уравнения для каждой из компонент импульса.
К э2 Энергия, содержащаяся в единице Объема, равна р ~ — + е). Величина ~ р ( — + е) ~ ~(6 (8) равна приращению полной энергии в объеме 6 за время от г = г, до ~ = 6ъ Это приращение вызвано переносом энергии движущимся газом в количестве ь †(() ( +ф) л1а ) ЕО (9) и работой сил давления р. На газ в объеме 6 через элемент поверхности дХ действует со стороны окружающего газа сила — рддр; частицы газа на поверхности Хэ движутся со скоростью и. Поэтому за единицу времени силы давления производят работу над газом — )риил, ха 5 Е УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ ОДНОМЕРНЫХ ТЕЧЕНИИ 152 а полная работа сил давления за время от ! = 0 до ! = 62 равна — 1 [ 1р р1]рр.
(10) Приравнивая величину (8) сумме величин (9), (10), получим интегральное соотношение, выражающее закон сохранения энергии: ь )р( -р — ",') 'рр->[1)р( -> "р*-рл) рр1рр=р. !ррр о При выводе (11) предполагалось, что газ лишен теплопроводности. Формулы (3), (7), (11) математически выражают законы сохранения массы, импульса и энергии для газов, лишенных трения и теплопроводности, и являются основными уравнениями, определяющими движение газа. К уравнениям (3), (7), (11) добавляются уравнения состояния газа.
Например, если мы зададим соотношение р = р ( !т, е), ! Р' (12) Пгл = бмр+ ри,и, — тензором потока импульса. Теперь мы перейдем к более подробному изучению одномерных течений, т. е, течений, в которых величины и, р, р, е зависят лишь от одной пространственной координаты к и времени й Мы будем рассматривать три случая одномерных течений: 1. Плоское одномерное течение, когда величины и, р, р, е постоянны в плоскостях х = х~ = сопз1; и = (и, О, О).
Этот случай будем называть случаем плоской симметрии, то задача определения течения сводится к нахождению пяти величин; трех компонент скорости и и двух термодинамических: р, е, так как согласно (12) р есть функция от р, е. Для этой цели служат пять скалярных соотношений (3), (7), (11). Заметим„впрочем, что уравнения состояния можно задавать и в любой другой форме из рассмотренных в $1, а не обязательно в виде (12). Вектор ри называется вектором потока массы, ри(е+ ~ + ер х + — л! — вектором потока энергии; тензор 2 ) ГЛ. З, ОДНОМЕРНАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА !54 х, и ~ р ~ с(х+ ~ ри ~ Ж = О х, — закон сохранения массы, и ~ ри~ с!х+ ~ (р+риз)~ 111=0 х~ (2) — закон сохранения импульса и х, и ~ ~р(В+ — ",)~~ (х+~ри(В+-'+ — ",)~ (!=О (3) х, 1, — закон сохранения энергии.
В уравнениях (1) — (3) х1, хз фиксируют выделенный объем 0,1 „!з — произвольные моменты времени. В случае цилиндрической симметрии мы получим интегральные соотношения, записывая законы сохранения (2.2.3), (2.2,7), (2.2.11) в применении к объему 6, указанному на рис. 2.7. Ввиду постоянства всех величин на поверхностях цилиндров к = сопз1, закон сохранения массы запишется для объема 6 в форме х, 1е 2а( ~ р ~ х с(х+ 2а1 ~ (рих) ~ сй = О и ) В дальнейшем под х1 и хх понимаютсн два значении единственной координаты х, а не различные декартовы координаты, рассматривавшиеся в предыдущем пункте.
2. Цилиндрическое одномерное течение (случай цилиндрической симметрии). В этом случае и, р, р, е постоянны на поверхностях цилиндров х=,~/хз1+ хз = сопз1 (при фиксированном !). Полагаем и=и(х, !)( — „', + О~; р=р(х, 1); р=р(х, !), ... (13) 3. Сферически симметричное течение (случай сферической симметрии) получается, если имеют место формулы и=и(х, !) ( — „', — „', — „'~, х= /хз+ хз+ кз; р=р(х, !)! р=р(х, !), ... 3. Интегральные законы сохранении для одномерных течений в эйлеровых координатах. В случае плоского одномерного течения все величины зависят лишь от х и б Интегральные законы сохранения (2,2.3), (2.2.7), (2,2.11) переписываются в виде*) в а уРАВнения ГидРОдинАмики ОдномеРных течении )55 или, после сокращения на 2а(, в Окончательном виде х, ~ р ~ хдх+ ~ (рих) ~ В=О.
(4) х, Несколько сложнее выводится интегральный закон сохранения импульса. Запишем равенство (2.2.7) в применении к объему 6 (рис. 2.7) лишь для компоненты импульса в направлении век- тора е. Сразу же заметим, что для двух других ортогональных к е направлений равенство (2.2,7) приводит к тождеству. В силу (2.2.13) интеграл ~ ри,Ю записывается в виде ~ ри,д0=2) ~ созфЫф ~ рихдх= Л'Ю; = 2(з)па ~ рихг(х. Рва 2.7. Подынтегральное выражение в интеграле ~ ри,(идХ) ЕО от нуля лишь на частях х=х„х=х, поверхности ХО, ~ ри, (и НЕ) = 2( з)п а )рихх) ~ ео ОТЛИЧНО поэтому «1 и и «2 ~ )ри)~ хс(х+ ~ Кр+ри5х)~ г(! =~ ~ рс(хШ.
к, и ь х, Наконец, компонента интеграла ~ РЫВ в направлении векторае ЕО состоит из двух слагаемых: интегралов по частям х=х„х=х, поверхности ХО: а 2( ~ соз ф г(ф ) рх )„"'~ = 2( з 1п а ') рх )„"'~, О и интегралов по частям ф=-+ а поверхности ХО (рис. 2.7): к, — 2(з(па ~ рдх. к, Подставляя все зти выражения в (2.2.7), получаем после со- кращения на 2(з1п а окончательную формулу 158 Гл.
г. Однол!еРИАя ГАЗОВАЯ динАмикА (10) Закон сохранения энергии (2.2.11) в применении к объему сс для течения с цилиндрической симметрией записывается в виде кр с, ~ [р (е+ — ))[ хс(х+ ~ [ри(е+ — + — )х1[ й=О. (6) к, и Итак, соотношения (4), (5), (6) дают представление законов сохранения массы, импульса и энергии для течения с цилиндрической симметрией. Для сферически симметричного те- чения законы сохранения массы, имх х пульса и энергии записываются для объема 6, вырезанного из кругового Рис. 2.8. конуса с углом раствора сс сферами х = хи, х = х, (рис.
2.8) . Выкладки, аналогичные только что проведенным, приводят к следующим уравнениям: ки $ (р ) )х' с(х + ~ (рихг) ! й = О, к, хр с, к, ~ (ри ')хг,(х+~ [(р+риг)хг)~"' С=~ ~ 2 «й, (6) к, к, х, к, ср [ [Р (,.з- "р ) '1*'Р*.> [ [Р (,.и- х.и- — ") «) к=о.
иги ки Теперь легко заметить, что для всех трех случаев одномерных течений законы сохранения массы, импульса и энергии записываются общими формулами: х, с, ~ р ~ хх с(х + ~ (рих') ~ й = О, с, х, х, и х, с, х, ~ ри~ х'с(х+ ~ [(р+риг)х')~ й = ~ ~ трх'-исгхй, (11) ки х, с, х, хр ~ [Р (е+ 2 ))[ х~с(х+ ~ [Рсс (е+ + 2 ) х~)[ й=О. (12) х, с, В формулах (10) — (12) следует полагать ч = 0 в случае пло ской, хи = 1 в случае цилиндрической и т = 2 в случае сферической симметрии течения. й т. уРАВнения ГидяодинАмики ОднОмеРных течении 1й7 Рассгнотрим в плоскости переменных х, г' прямоугольный контур С и ограниченную им область Ос (рис. 2.9).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
