Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 31
Текст из файла (страница 31)
2 2 к к у — 1 Однако, когда сь — — биь < О, оценка с(х,г) ) 0 также оказывается грубой. Поэтому мы покажем сейчас, что если начальные функции иь(х), сь(х) обладают ограниченными производными, то с(х,г) ~ 0 ни при каком конечном значении 1) О, Одновременно мы установим полезные оценки для производных решения задачи Коши (1), (3). Поскольку доказываемое утверждение носит общий характер, мы будем рассматривать случай любого у — 1.
При у) — 1 а)0. Теорем а. Если в изознтропическом течении политропного газа (у ) — 1) не возникают ударные волны (не пересекаются характеристики одного семейства) и начальные значения г,(х) и зь(х) инвариантов Римана дифференцируемы, то существуют функции Р(1)( оо и рь(1) ) 0 такие, что (Р(Г) р(» 1) >рь(1). дк дг До к аз а тельство. Обозначим — =рн — = рг, и пусть дк ' дк — =р1(х, 0)(~Ра, — =рз(х, 0)~(Рь, (12) акр (к) аг5 (к) а также 0 <Рь:~Р(х, 0)=Ро(х)=[ 41 (гь(х) — зо(х))1 ~(йь. (13) Следует иметь в виду, что по своему смыслу скорость звука у — 1 с) О.
Поэтому, если ср — 4 аиь < 0 либо 178 ГЛ. 2. ОДНОМЕРНАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА Предположим сначала, что гс(х), з,(х) дважды непрерывно дифференцируемы, тогда и решение системы (1) дважды непрерывно дифференцируемо. Обозначим д д д д гд~ — + (аз + рг) — = — + (и — с) — = ~ — »2, д! дх д! дх ~ д! 72' — + (аг + рз) — = — + (и + с) — = ~ — ) .
д д д д гиз дЕ дх д! дх ~д!)г Дифференцируя уравнения (1) по переменному х, получим (+) = — ар — рр, р,= — р,( (р,— р,)+рД, (14) (~~~) г (1р, р ~а( ) Записывая уравнения (1) в виде ( — ') = — +(и — с)р,=0; ( — „') = — '+(и+с)р,=0, легко устанавливаем формулы (15) С помощью формул (15) уравнения (14) приводятся к виду Обозначая = с! с21 Р2 Р Р ар! — — р2, ар2 = р2, перепишем систему (16): ( — "„) =Р (с2-о!), Поэтому далее считаем, что у > — 1(а > О), Если у= — 1, то а=О, (12=0, система (17) интегрируется и из нее следует оценка Р2(», !) ( Р2(х, 0) 1 Рс $3, изучение пРОстеяших плОских Одномерных течении 179 Пусть А (х, 1) — произвольная точка полуплоскости Г > О.
Через эту точку проведем две характеристики: з-характеристику 1 и г-характеристику 1! (рис. 2.10). Обозначим =шах(о, (х, (), о,(х, 1)), и пусть ое > О. Докажем, что по крайней мере на одной из характеристик 1 и Н найдется точка В (х', 1'), в которой шах (о, (х', Г'), о,(х', 1'));=к ое и 1' < 1.
Пусть, например, ое — — о, (х, 1). Тогда, интегрируя первое из уравнений (17) вдоль характеристики 1 от точки А (х, 1) до произвольной точки В (х', 1') характеристики 1, АЕе„т) получим соотношение о, (х', Г') — ое = о, (х', 1') — о, (х, 1) = о(л,р) Х -~Р,Х1 = ~ 8, (оз — о,) е ' г(т. (18) с Е х Рис. 2.10 Возможны два случая: о,(х, 1) < ое и о,(х, 1)=ом Если о,(х, 1) < о,, то о,(х', Г') — о, < О в некоторой окрестности точки (х, 1); 8, > О вдоль всей характеристики 1, так как ое > О. Поэтому при 1', достаточно близких к 1 и 1' <1 интеграл в правой части равенства (18) будет положителен; это значит, что на характеристике ! существует область О ~(1 — (' < е, в которой о,(х', 1') — ою > О, т.
е. о,(х', Г') > ос= о1(х, (). Во втором случае (оз(х,() = ое) точки, в которых шах (01(х', Р), о,(х', 1')) ) оо найдутся на любой из характеристик ! и 11. Покажем, что они есть на характеристике 1. Для этого рассмотрим произвольную точку (х',1') на характеристике ! при 1' < Г. Если о1(х', Г') — оо ~ О, то требуемая точка и есть точка (х',1'), если же о(х', 1') — оо < О, то снова рассмотрим равенство (18). Левая часть равенства (18) отрицательна, нижний предел внешнего интеграла в (18) больше верхнего, р ) О на всей характеристике 1, равно как и экспоненциальный множитель. Поэтому равенство (18) возможно лишь в том случае, если на характеристике 1 имеются интервалы, где о,— оо О, Это и означает, что на характеристике 1 обязательно существуют точки, в которых шах (о1(х', Р), о,(х', 1')) )8 и Р<й Из доказанного следует, что тахтах(о,(х, 1), о,(х, 1)) не к возрастает с ростом времени 1, и поэтому р~(х,!) ( р (х, 0) р (х, 0)) Р„ р(.
1) ~~'хш'"). р(х,о) р(х,о) 3< р, (18) где Ре и ре заданы условиями (12), (13). Гл. а одномеРИАя ГАЗОЙАя динАмикА !80 Наконец, отметим, что в оценку (19) не входят вторые производные от начальных функций, поэтому она остается справедливой для начальных функций, дифференцируемых только один раз, В этом случае следует считать, что уравнения (14), (15), (16), (17) выполняются в «широком смысле» (см. п. 1 2 7 гл. 1). Так как и = (г + з)/2, то из (!9) следует также односторонняя оценка производной — (р(х, () — '. дх ' ро' (20) Отметим, что оценки (19) и (20) являются точными: они достигаются в случае р1(х, 0) = ро(х, 0) = Ро и р(х, 0) = ро.
Записывая уравнение непрерывности др др ди — +и — = — р— д( дх Р дх в виде заключаем, что, согласно (20), Интегрируя неравенство (21) от произвольной точки А(х, () до точки Е начальной оси вдоль траектории АЕ (рис. 2.10), очевидно, получим 1 ! Ра( < 0 р(х, О ро(Е) рю т. е. Ро (Е) Ра ~ Ро р(' ')~ .+ .(Е)р. ~ .+д. ° (22) Неравенство (22) показывает, что плотность р(х,() не может обращаться в нуль, если начальные значения обладали ограниченной производной (очевидно, мы должны считать, что Р, ) 0).
Неравенства (20) и (22) доказывают теорему. Неравенство (22) означает, что в указанных условиях при () 0 имеет место взаимно однозначное соответствие эйлеровых н лагранжевых координат. Это обстоятельство физически истолковывается следующим образом. Газ, непрерывно заполняющий в момент времени 1 = 0 все пространство с отличной от нуля плотностью, не может при своем движении «разорваться», т. е.
образовать область вакуума, в которой р = О, если только прн ( = 0 отсутствуют скачки скорости ио(х) такие, что ио(х — 0) < ио(х + 0), э з. изтчянив пяостяпших плоских одномяяных тячкнни !з! то — «~ ( ! а ! + ! р ! ) Р'(!). Отсюда (23) Оценки (19) и (23) ограничивают производные решения сверху и снизу. Из (23) следует, что при ! ( 1/(!а!+!р!)Рз производные остаются ограниченными и сверху и снизу. Таким образом, полоса 0 ( ! ~ 1/(!а!+!р!)Р, есть полоса, в которой заведомо существует классическое решение задачи Коши (1), (2).
Естественно, оценка (23) слишком груба. Так, например, если — ':: О, — ')О, то р1 ) О, рз ) О, как это следует из уравнений (14), и вследствие (19) классическое решение сунгествует при всех ! ) О. Поясним наши общие замечания на примере течения политропного газа с показателем у = 3. В этом случае а = 1, р = 0 и система уравнений (!) распадается на два отдельных уравнения; — +з — =О, — +г — =О. дх дх дг дг д! дх ' д! дх Так как вдоль з-характеристики инвариант з постоянен, а наклон з-характеристики равен з, то эти характеристики — прямые линии.
(24) Этот факт имеет место также и в более общих случаях. Оп справедлив, в частности, и для неизоэнтропических непрерывных течений и для неидеальных газов, а также и для разрывных решений (течений с ударными волнами). т-1 Так как с=Ар ', то при у 1 из (22) следует оценка снизу и для величины с(х, !).
Так как при у ) 1 с(х,/), а следовательно, и р(х, !) ограничены сверху с помощью неравенств (11), то из (20) следует оценка производной г Заметим, что при у ( 1 неравенства (11) изменяются так, что вместе с (22) они ограничивают величину с(х, !) сверху и снизу. Выше мы установили оценки для рь рз сверху. Для оценки этих величин снизу, заметим, что нз системы (14) следует, что если через Р(!) обозначить величину Р(!)= шах шах(!Р,(х, !)!, !р,(х, !)!), -со < к ( сю Гл.
а одномеинля Глзовля динлмикА )82 Вдоль линии х = хо+ли(хо)! = х,(бхо) имеем з(х, !) = = зо(хо); аналогично г(х, !) = го(хо) вдоль линии х = хо+ + го(х,)б Таким образом, решение задачи Коши для системы (24) задается неявно формулами з й+ зо й) (! !) = зо й) г(Ч+ го(Ч)!! !)=го(Ч). Для явного задания решения з(х, !), г(х, !) необходимо разрешить зависимости х=я+зо($)(, х=Ч+го(Ч)! (25) относительно величин $, Ч. Пусть из (25) мы их определили: о = о (х г) Ч = Ч (х !)' тогда з (хо !) = зой(х, !)), г(х, !) = го (Ч (хо !)).
(26) Геометрический смысл величин $(х, !), Ч(х, !) ясен из рис. 2.11. Проверим выполнение некоторых из оценок, полученных выше. Дифференцируя соотношения (25) по переменному х, получим д$(х, !) ! дх ! ! дхо (э( !)) Следовательно, из (26) следует, что доо (хо) дх(х, !) дх (+ ! — о(хо) дх х ((к о) с(хб х Рис 2.!! с(х, (! Проведем следуюшие оценки: го(Ч) со й) = го(Ч) — зо (Ч) + за(Ч) зо й) = =2со(Ч)+ зо(Ч) — зой). Из (27), (28) поэтому следует 2с (х, !) ) 2 со (Ч) — Ро й (х, !) — Ч (х, !)) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
