Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 35
Текст из файла (страница 35)
В случае задачи о поршне, рассмотренной в п. 4, граничное условие ставится в точке д = О. Легко заметить, что если на поршне задано давление р ((), 1) = р (1) ) б, (1) то такая краевая задача разрешима, и притом единственным образом, так как из условия (1) следует, что с ) О. В случае же, ГЛ. 2. ОДНОМЕРНАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА 204 когда задана скорость поршня и(О, Г) =(У(1), (2) мы видим, что при У(г) с' О возможен отрыв газа от поршня, т. е.
условие (2) не выполняется, а заменяется условием р = О. Такая же ситуация имеет место и для систем линейных уравнений. Если краевые условия поставлены вне области зависимости от начальных данных, то эти условия, вообще говоря, не определяют единственным образом решения. В случае задачи о поршне физическая постановка задачи позволила получить правильное решение, заменяя„ где это требуется, условие (2) условием «свободной границы» р = О, При (у(1) ) О задача о поршне с краевым условием (2), напротив, всегда разрешима, хотя решение и будет разрывным. Этот вывод следует сравнить со случаем системы линейных уравнений, для которой краевая задача, вообще говоря, не разрешима ни в классе гладких, ии в классе разрывных решений, если краевое условие поставлено в области определенности решения задачи Коши.
й 4. Разрывы в одномерном течении сжимаемых газов. Ударные волны 1. Условия Гюгонио. На примерах простейших течений в $3 мы убедились в том, что, как правило, решения уравнений газовой динамики остаются непрерывными ограниченное время, а затем в решении возникают разрывы. Естественно, что дифференциальные уравнения теряют смысл для разрывных течений; однако, как мы уже говорили выше, интегральные законы сохранения массы, импульса и энергии сохраняют смысл и для разрывных течений. Рис.
2.24. Выведем условия, которые долж- ны выполняться на линиях разрыва решений уравнений газовой динамики, как следствия интегральных законов сохранения. Пусть х = х(г) — уравнение одной из линий разрыва гидро- динамических величин, которую будем предполагать на рассматриваемом отрезке 1, ( 1 = гз обладающей непрерывной касательной (рис. 2.24). Пусть ((х, г) терпит разрыв на линии х = х(г). Обозначим ~,(~) = ((хр)-О, ~); (,(Г) =((х(Г)+ О, Г); У1 =6 (~) — )1 (Г) (') $4 РЛЗРЫВЫ.
УДЛРНЫЕ ВОЛНЫ Интегральные законы сохранения в эйлеровых координатах (2,3.!3) — (2.3.!5) имезот вид рх' с(х — рих' й = О, с $ рих' дх — (р + ри') х' й = — ~ ~ трх' ' дх й, с ос р (в + — ) х' с(х — ри (е + Р + — ) х' й = О. с (2) (6) которые связывают скачки гидродинамических величин на линии разрыва х = х(~) и скорость 0 = х'(4) линии разрыва.
Соотношения (4) — (6) называются условиями гидродинамическоГ4 совместности разрыва либо условиями Гюгонио, по имени фРанцузского ученого, впервые их получившего'). *) Н американской литературе зти условия часто называют условиями Реикииа либо Реикива — Гюгонио. Запишем законы сохранения (2) для контура АА'ВВ', считая, что линии А'В и В'А бесконечно близко примыкают к линии разрыва х(4) соответственно справа и слева от нее.
Ввиду ограниченности всех гидродинамических величин исчезают интегралы по частям АА' и ВВ' контура С, а также двойной интеграл ]] трх' 4с(хй. Вдоль линии х=х(~) имеем с езх= 0й, где 0= 0(~)= х'(У). Поэтому, например, из первого уравнения (2), получаем тр $ х' (4) [(рз(4) — р4(Г)) 0(() — (рз(() и,(С) — р4 (т) и4 (())] й = О. (3) Ввиду произвольности пределов интегрирования в (3), должно равняться нулю подынтегральное выражение, т. е. х" (т) [О (() [р] — [ри]) = О.
Сокращая это равенство на х', мы видим, что условия на линии разрыва одинаковы для трех случаев симметрии э=О,!, 2. Поступая аналогичным образом со всеми законами сохранения (2), получим условия на линии разрыва х = х(т): 0 [р] = [ри], (4) 0 [ри] = [р + ри'], (5) ГЛ. Х ОДНОМЕРНАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА Согласно, обозначению величина 0 = 0(1), поэтому 0 [Л = = [01]. Значит, уравнение (4) можно переписать в виде [р (и — О)] = О.
(7) Умножая уравнение (7) на 0 и вычитая из (5), получим [р+ р (и — 0)з] = О. (8) ~р(и — О) (а+ — + (" и) )]1=0. (9) Учитывая обозначения (1), мы можем переписать условия Гюгонио (7) — (9) в виде равенств: р,(ие — О) =р,(и, — О) =т, Р,+Р,(и,— О)'=р, +р,(и, — О)'=1, т 1и2 — В)' Х р,(и,— О) (а,+ — + ) = =р (ж О)( + ~ +1 р)=1. (Гй) Согласно п.
2 9 2 величины т, 1, 1 означают соответственно потоки массы, импульса и энергии, вычисленные в системе координат, движущейся со скоростью 0 относительно системы, в которой вычисляется скорость течения и. Поэтому условия Гюгонио (!0) — (!2) требуют непрерывности потоков массы, импульса и энергии на линии разрыва гидродинамических величин. Заметим, наконец, что интегральные законы сохранения, записанные в лагранжевых координатах, приводят к тем же самым условиям Гюгонио (4) — (6), если учесть связь лагранжевых координат с эйлеровыми.
2. Различные виды разрывов: ударные волны, контактные разрывы. Различные формы условий Гюгонио. Аднабата Гюгонио. Разрывы решения мы будем различать в зависимости от выполнения условий т = О, т НН О. Если т(1) = т =О, то такой вид разрыва будем называть контактным; если т(1) ~ О, то разрыв будем называть ударной волной.
В случае контактного разрыва из (4,1.10) следует, что 0 = и, = и, = х' (1), (1) т. е. линия разрыва совпадает с траекторией частицы (в лагранжевых координатах контактный разрыв изображается поэтому прямой д = сопз1). Наконец, умножая (8) на О, вычитая результат из (6) и учи- тывая, что [О] = [О']=О, получим $4. РАЗРЫВЫ. УДАРНЫЕ ВОЛНЫ 207 е2+РЗУ2+, =ес+РсУ4+, (5) (ис — О)2 (ц, р)2 Если обозначить буквой У величину е+РУ, называемую энтальпией, то (5) записывается в виде у- 1 (ис О) а ! (и1 О) (б) 2 с 2 Из (4.!.10) имеем 2 (и2 — !х) (и, — 0) = — = си'УсУ2, Р Рс (7) Полагая ис = О, и,=)3, получим из (4.1.11) Рс =Р2=! (2) а условие (4.!.12) при ис = и, = 0 выполняется тождественно.
Итак, на контактном разрыве выполняются два условия: ис = сс2, рс = р2„ (3) т. е. давление и скорость течения непрерывны. Легко показать и обратное: если на разрыве выполнены условия (3), то разрыв контактный. Величины р, е, 5 могут испытывать на контактном разрыве произвольный скачок, удовлетворяя, однако, при этом условию непрерывности давления (2). Контактный разрыв, в частности, может являться границей раздела двух различных газов, удовлетворяющих различным уравнениям состояния.
Условия непрерывности скорости и давления (3) при этом могут рассматриваться как внутренние граничные условия на границе раздела различных газов. В случае ударной волны ис ~ 0 и вещество протекает через линию разрыва х = х(с). В случае ис 0 вещество протекает через линию разрыва слева направо; поэтому мы будем говорить, что при пс ~ 0 ударная волна движется относительно вещества справа налево, наоборот, при лс ( 0 будем говорить, что ударная волна движется вправо. рассмотрим различные представления условий Гюгоиио (4.1.10) †(4,1.!2) для случая ударной волны.
Условие непрерывности потока импульса (4.1.11) может быть записано в виде следующих эквивалентных равенств; р2 + ис (и2 — ь)) = рс + лс(ис — х)) Р2 + 1 202 = Рс + Услс, (4) У~ — У2 ' 1 где У = — . Условие (4.1.12) после деления иа ис приобретает Р вид Гл. г, ОлномеРнАя ГАЭОВАя динАмикА Подставляя сюда третью формулу (4), получим Рг Р1 Р1 Р1 (,— В)(и, — В) = —,у,),= ! 2 (8) Согласно (4.1.10) (и, — В) = т1l,; (и — !)) = Рг~Г (и, — 0)г = пгг~гг (и,Г1)г пгрг Подставляя сюда третью формулу (4), получим (9) (1О) Отметим еще несколько полезных формул. Из (9) имеем иг — и, = [(иг — 0) — (и1 — 0)1 = пг (~'г — У1). Поэтому (и, — и,) (и — !Э) = Рггу~ (1', — 1~~) = (р, — Р,) 1Г„1 (иг — и1)(иг хг) =-пг Гг(кг — 1'1) =(Р1 — Рг) )'г, .! и, наконец, (иг и~) = (Рг — Р1) (Г1 — Уг), (и,— 0)' — (и, — О)'=(Р, — Р,) (У, 1 )г,) ) (12) Из полученных формул можно сделать несколько заключений: 1) Из формул (4) следует, что при переходе через ударный фронт давление возрастает либо убывает одновременно с плот- ностью.
2) Из формулы (7) следует, что разности (иг — 0) и (и1 — г)) имеют один и тот же знак. 3) При конечном т разности (Г'г — 'Г'1), (Рг — Р1) ймеют один и тот же порядок, так что при Г'г — 'Г'1 — 0 Рг — Р| — О. Равенства (!О) выражают относительные скорости иг — гг, и| — гг через термодинамические величины. Поэтому, подставляя эти формулы в равенства (5) и (6), получаем соотношения, со- держащие только термодинамические величины: — =-,(Р +Р)(1' — 1') 1 (13) У" У 1 (Рг Р ) Я~+ 1'1) 1 (14) Равенство (!3) либо (!4) называют уравнением адиабаты Гю- аонио.
Введем в рассмотрение функцию о (Р, 1l; Ро, 1/о) = е(р, 'Г') — е(Ро 1Го)+ (1' — 1'о) — (16) о $ С РАЗРЫВЫ. УДАРНЫЕ ВОЛНЫ которую будем рассматривать как функци4о двух переменных р, (г, параметрически зависящую от рм 14с Пусть М4 = (рь )'4), Мг = (рм )'з) — точки плоскости р, )г, характеризующие термодинамическое состояние вещества с разных сторон от линии разрыва. Тогда в силу (!3) справедливо соотношение Н(М, М)=Н(р „)г~; р, )4)= — Н(М,, М)= =- Н(р,, ) 4; р,, )гр) = О, (!6) Точки М4, М,, связанные соотношением (!6), будем называть сопряженными.
Свойство сопряженности ие является транзитивным, так как из соотношений Н(мо, М4) = О, Н(М4, Мз) = О не следует Н (Мо, Мс) = О. фиксируем точку Мо(ро, )4В) плоскости р, )4 и рассмотрим множество точек М(р, )'), сопряженных Мс. Они должны лежать на кривой и (м, м ) = и (р, )г, р, )г44) = О. (!7) Кривую, заданную равенством (!7), будем называть адиабатой Гюгонио с центром в точке Мс(рс, 'у'с).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
