Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 37
Текст из файла (страница 37)
е, является слабым раз- рывом, При К = — Оо ударная волна называется бесконечно сильной. 4. Устойчивые .и неустойчивые разрывы. Условия устойчи- вости и теоРема Цемплена. ПУсть величины ин Рн Ун еб иь Ргь Ум ег и скорость ударной волны .0 удовлетворяют условиям Гюгонио (4.1.!О) — (4.1.12).
Легко заметить, что условия Гюго- нио не изменяются от того, будем ли мы считать состояние иь рн Уь е1 состоянием газа слева от фронта ударной волны, а состоя- ние иг, рг, Уг, ег правым состоянием, либо, наоборот, ин рь Уь е| — правым, а иг, рг, 1/г, ег — левым. Однако, как мы сейчас увидим, по своему физическому смыслу эти случаи сушественно различаются между собой, так что один из них даже следует признать невозможным, Начнем с того, что предположим у потока массы т = = р~ (иа — !)) = рг(иг — 0) какой-либо определенный знак.
Пусть, например, т ~ О. В этом случае волна относительно вещества движется направо и, таким образом, в процессе движения ве- шество пересекает фронт ударной волны, двигаясь относительно фронта справа налево. Как мы говорили в Э 1 этой главы, поверхность разрыва течения мы представляем как узкую зону больших градиентов, з 4. РАЗРЫВЫ. УДАРНЫЕ ВОЛНЫ 215 в которой существенно действие диссипативных сил — вязкости и теплопроводности. Действие этих процессов приводит, как это известно из термодинамики, к возрастанию энтропии, что характеризует собой необратимость процессов с вязкостью и теплопроводностью. Так как при гп(0 частицы газа в процессе движения переходят из правого относительно фронта ударной волны положения в левое, то, очевидно, вследствие необратимости процессов, происходящих в узкой зоне, которую мы связываем с ударной волной, мы должны требовать, чтобы Я„р„ ( ( Я„„ где 5„р„ и 5„, — соответственно энтропия газа справа и слева от фронта волны.
Неравенство 'чарва ( 'члев (гп ( О) (1) уже не позволяет менять местами состояния ин рг, (гг, е~, 'пя, рз, Ув, еь а, напротив, указывает определенное положение этих состояний относительно фронта. Ударную волну при лз (О, для которой выполняется условие (1), будем называть устойчивым разрывом; если условие (1) нарушено, то такой разрыв мы будем называть неустойчивечлг. Совершенно аналогичные рассуждения приводят нас к выводу, что при т ) 0 Чаев ( еврее (ггт ) О) (2) Условия (1) — (2) будем называть условиями устойчивости ударной волны.
Если мы договоримся называть состоянием перед фронтом ударной волны состояние справа от него при гп О и слева от него при лт ~ О, а второе состояние состоянием за фронтом ударной волны, то неравенства (1), (2) требуют, чтобы энтропия газа, находящегося за фронтом, была больше, чем энтропия газа перед фронтом волны. Будем обозначать состояние перед фронтом буквами и~ ре, Угь еь состояние за фронтом — через и, р, 1', в; тогда условия устойчивости (1), (2) записываются одним неравенством: ~~оо (3) В дальнейшем под ударной волной мы будем понимать только устойчивую ударную волну, т.
е. разрыв, удовлетворяющий условиям Гюгонио и условию (3)*). Вернемся к задаче определения состояния по одну сторону фронта, если задано состояние по другую сторону и поток массы *) Отметим, что если уравнения состояния газа не удовлетворяют условиям (4.3.1) лля нормального газа, то неравенство (3) нелостаточно для определения устойчивости ударной водим. Этот вопрос вкратце рассматривается в п.8. ГЛ, 2. ОДНОМЕРНЛЯ ГАЗОВАЯ ДИНКМИКА т, рассмотренной в предыдущем пункте. Если ио, роо Ук ео— состояние перед фронтом ударной волны, то задача определения состояния за фронтом, удовлетворяющего условию устойчивости (3), решается, и притом однозначно, при выполнении условия т =К = < ("о оо). Р-Ро дР (4) Для нормального газа условие устойчивости (3) приводит к следствиям; 1.
Каждому значению О и состоянию перед фронтом ио, рок Уо, ео отвечает одно и только одно состояние за фронтом и, р, У, е, если )Π— ио~ ) со. В самом деле, т=р (и — О) и т'> ротс~~= — „,' . ОтдР !Уо 8о) сюда следует (4.3.16) и справедливость утверждения. 2. При возрастании !)Π— ио~ от со до оо энтропия за фронтом монотонно возрастает. 3 Ударные волны ведут только к сжатию вещества и увеличению давления.
В самом деле, на верхней ветви адиабаты Н, которая соответствует состояниям за фронтом, имеем 5>Я„р>ро, У<Уо, т.е. р>ро. 4. Ударная волна движется со сверхзвуковой скоростью по газу перед фронтом и с дозвуковой скоростью в среде за фронтом. Это утверждение (теорема Цемплена), записывается в виде неравенств )ио — О! > со, )и — О! < с.
(6) — < — — = р'с' Р Ро дР У вЂ” Уо д!' (6) при р, У, лежащих справа от адиабата Пуассона А. Так как в соответствии с и. 3 Мн лежит справа от адиабаты А, то нера- венство (6) выполнено. Поэтому 1о Р' = — т' = -ро (и — О)' > — рос' Отсюда )и — О! с, что и требовалось доказать.
Теперь заметим, что можно рассматривать и задачу определения состояния ио, ро, Уо, ео перед фронтом по заданному состоянию и, У, р, е за фронтом и потоку массы т (либо скорости Первое неравенство, как мы видели, равносильно условию Я = Яо. В п. 3 было показано, что $ С РАЗРЫВЫ. УДАРНЫВ ВОЛНЫ 217 Р) через фронт разрыва. Условие устойчивости (3) в этом случае может быть заменено эквивалентным неравенством — > ~Р(14 ) 1р' — 144 де' и точка (р, ре) (если она существует) единственна и лежит на нижней ветви адиабиты Гюго44ио с центром в точке М(р, У).
ВспоминаЯ, что скоРости хаРактеРистик В4, йм Вз Равны ь1 и с ьз и ьо — и+с мы можем записать неравенства (5) также в виде $~„,> Р> $4,р„при Р<и„р„, (8) (9) (7) где $„„ и $,рев — соответственно скорости характеристик слева и справа от разрыва. Наконец, заметим еще, что условия устойчивости разрыва (1), (2) либо (3) эквивалентны неравенству ивер > иерее (10) В самом деле, пусть, например, т (О. Тогда согласно (4.2.10) 脄— и„р„— — и — ио — — т ($~ — )4о).
Так как 1~) Ъ'4ь то отсрода следует (10). Аналогично доказывается случай т О. Неравенства (8) — (! 0) позволяют схематически представить поведение характеристик и линий тока в.окрестности линии разрыва. На рис. 2.28, а, 2.28, б показано взаимное расположение 44» линии разрыва к=к(1), линий тока — „=и и характеристик 44Х ох гг ' лг — =54=и — с — =$о=и+с в области слева и справа от ударного фронта в эйлеровых координатах для случая ударной волны, идущей по газу вправо (т < 0) и влево (т > 0).
На рис. 2.29 приведено взаимное расположение соответствующих кривых в плоскости лагранжевых координат 47, 1 для случая т < О. На этом рисунке 47 = 47(1) — линия разрыва, 47 = сопз(— линия тока, — = +- рс — характеристики 1-го и 3-го семейств, 444 лр = Отметим одно характерное обстоятельство, которое следует из картины взаимного расположения линии разрыва и характеристик, приведенной на рис.
2.28, 2.29. На линию разрыва х =- х(1) приходят в 'каждую ее точку снизу (из области меньших значений времени 1) четыре характеристики, выходят (определены при больших значениях г) лишь две характеристики, при Гл. а Одномернхя ГААОВАя динхмикА 218 этом одна из них — линия тока. В случае т ( О па линии разрыва пересекаются две приходящие характеристики 3-го семейства, =и г а л а трр С-Г« «« «т а) АР «П р=,! м.» д Рис 2.28. при т ) Π— 1-го семейства. Говорят, что при т ( О характеристики 3-го семейства образуют «елочку», при т ) О «елочку» образуют характеристики 1-го семейства.
— = -Рх' Отмеченное обстоя- Г > тельство существенным образом связано с устойчивостью ударной волны. Оно, в частности, указы- Г вает, что решение в этом случае обязательно разрывно, так как на линии д(г разрыва пересекаются Я=Р»с,,~~= РРРР приходящие характерис(г тики одного семенства. Эти соображения позволяют формально определить устойчивость разрывного решения системы уравнений гиперболического типа как удовлетворение «условиям елочки» на линиях разрыва. Такой подход к разрывным решениям применяется и широко обсуждается в главе 4 (см. также п. 9).
8. Условия Гюгонио для политропного газа. В случае политропного газа уравнение состояния имеет вид е ! р р1/ ! «др(р, 8) с-', с» = . (1) т ! Р 7 — 1 т(т — 1) ' дР 219 5 Е РАЗРЫВЫ, УДАРНЫЕ ВОЛНЫ Для энтальпии йг имеем выражение и уравнение адиабаты Гюгонио с центром в точке (рм РА) имеет вид Ру + п(Роу Руо) Ро(4о=О (3) или (Р+ "Ро) ("' — л го) = (1 " ) Ро(4о. (4) На рис.
2.30 приведены графини адиабаты Гюгонно и адиабаты Пуассона для случая политропного газа. Адиабата Гюгонио Н, согласно (4), есть гипербола с асимптотами 1' = Ь~'о Р = йро (б) а адиабата Пуассона задается уравнением Р)4'= а'(5р) = сопз1 (6) и имеет своими асимпто. тами оси Р = О, 1'= О. Для политропного газа справедливы следую- ЛРР щие свойства: !. Давление р меняет- Рис. 2.30. ся вдоль адиабаты Гюгоии4о от 0 до оо, когда 14 меняется от )4а!Ь до й 14о, р = оо, )У = = АРР соответствует бесконечно сильной ударной волне при значениях рм 14а перед фронтом; Р = О, )г = 1/А/Ь соответствует бесконечно сильной ударной волне при заданном состояаии р,, 1~а за фронтом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
