Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Будем рассматривать лишь случай плоской симметрии !У = 0), так как на достаточно малых участках и малых временах любая ударная волна при у 4= 0 может приближенно рассматриваться как плоская. Выпишем дифференциальные уравнения для вязкой тепло- проводящей жидкости !2.5,11) — !2.5.13): дри д Г ди а1 — + — [р — р — + ри 1 = О, дг дх ], дх дт(ре+р Е )+ д [ри(е+ — + о ) — )аи д — И д ~=0. (2) (3) К уравнениям (!) — !3) добавляются уравнения состояния р=р!р, Т), е=е(р, Т), Выражая — из !1) и подставляя в !5), придадим ему форму ди дх Так как Тг!3= Не+ р й~, то из !6) следует ') Наше изложеппе в пп.
! — 4 следует работе Д. Джплбарга !1951], которые мы предполагаем удовлетворяющими требованиям ! — У!. иа Умножая !1) на — — е, 12) на — и и суммируя результаты с уравнением !3), получим ГЛ, 2, ОДНОМЕРНАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА Уравнение (7) показывает, что энтропия 5 теплоизолированной массы газа возрастает. В самом деле, интегрируя уравнение (7), получим ~ 5(д, 1) г(д — и — ~ + ~ ~ — ( — ) + —, ( — ) ]г(х, (8) е е х'=х — И, и'=и — (7, то стационарные течения мы будем рассматривать в такой системе координат, в которой течение имеет неподвижные профили всех величин и, р, р, е. Опуская штрихи у переменных х', и' и полагая — = — = — =О, получим уравнения для определедр ди де дГ дГ дГ ния стационарных течений: — ри= О, й дх (9) — (ри (е+ ~ + — ) — !хи — — х — „]=О. (10) (1 !) Эти уравнения имеют первые интегралы: С, (.
+ — "+ — ",') а'и ЙТ вЂ” !хи — — н — =Сн (12) дх Ых 2 ри = Сн р + рй — 1х — „„= С2, Первый интеграл, очевидно, выражает постоянство потока массы, второй — потока импульса, третий — постоянство потока энергии через произвольное сечение х = сопз1. Преобразуем уравнения (12) к виду, удобному для дальнейшего. Простые где и — лагранжева координата (дд = р г(х), диете — границы выделенного объема газа.
Если рассматриваемый объем газа теплоизолирован, то дТ !е' н — ~ =О, и из (8) следует неубывание полной энтропии газа. дх 12 В частности, из уравнения (7) следует, что в вязком, но лишенном теплопроводности газе энтропия каждой частицы не убывает по времени. Рассмотрим простейшие решения системы уравнений (1)— (3), именно стационарные решения. Поскольку система (!) — (3) инвариантна относительно преобразования Галилея $5. ИЗУЧЕНИЯ УДАРНОГО ПЕРЕХОДА. ШИРИНА УДАРНОИ ВОЛНЫ 233 преобразования приводят к двум обыкновенным дифференциаль- ным уравнениям: (! 4) которые связывают две функции У, Т.
Как следствие уравнений (!8), (14) получаем уравнение в плоскости У, Т: и Ет Ы!У, т! и а .я !у, г! ' анализе стационарных решений и усло- играющее важную роль в вий их существования. Введем безразмерные С', С2 переменные: 1 С' а= е — ~-, С2 С, 2 Т=!х — Т. (2 Р Р= С2 (16) Переходя к безразмерным переменным У, р, а, Т, перепишем уравнения (!3), (!4) в виде р „= У+ р(У, Т) — 1 =Я(У, Т), (17) 2г —, Т ! У, - У(— где обозначено: и С С,!! С2 р(У, Т)=р(У, Т), е(У, Т)=е(У, Т). Для упрощения записи в дальнейшем отбросим черту над всеми величинами и перепишем окончательно систему (17), (!8): !2 — = Р (1', Т)+ У вЂ” ! =.22 (У, Т), (20) к — = е (У, Т) — — (У вЂ” 1)' — !) = Ы' (У, Т).
(21) Йг ! 12х ' 2 Однако мы должны помнить, что зависимости р(У, Т), е(У, Т) в (20), (2!) получаются из уравнений состояния с уче- том (16), В уравнения (20), (21) входят безразмерные величины Р(У, Т), е(У, Т), где У, Т также безразмерны. Легко проверить„ ц — "~ = — '(С1!'У вЂ” С,''1+р(У, Т)~=лу(У, Т), (18) ах С ! Х С~у НТ !, С,!' СЗ ! С2 и — = С, ~е (1', Т) — — С! ~ У вЂ” — ) — + — — ~ = У (У, Т), а ~ ' 3 !х с21) с, 3 с211 ГЛ.
2. ОДНОМЕРНАЯ ГАЗОВАЯ ДННАМНКА 234 что эти зависимости таковы, что удовлетворяют условиям 1 — Ч1, если им удовлетворяют исходные уравнения состояния. (Здесь следует иметь в виду, что Сг) О, С,С, = 0). Для системы (20), (2!) поставим следующую краевуго задачу: Найти решение У(х), Т(х) системы (20), (21), которое на бесконечности стремится к постоянным значениям, т.
е. при к †+ оо У(х) — У„Т(х) — э Т„ (22) а при х — ~ — оо У(х) — У,, Т(х)- Т,. (23) Необходимым условием существования такого решения является, очевидно, требование, чтобы точки (Уь Т1), (Уь Тг) были стационарными точками системы (20), (2!), т. е. 4Т(УН Т1)=2'(УО Т1)=47(У2, Тг)=5~(У2, Т,)=0. (24) Иными словами, точки (Ун Т,), (Уг, Т,) должны быть точками пересечения кривых 4Т (У, Т) = О, Ы' (У, Т) = О. (25) Пусть такие точки (УО Т,), (Ум Т,) существуют. Тогда в этих точках, согласно (20), (21), аг ат р — =х — =0; ох ох поэтому из интегралов (12) следует: р,и, = р,и, = Сн р, + р, и', = рг + р,и,' = С,, (26) (27) 2 ~) /' Р~ о1 ! / Рг ~~п11,о1+ + 2 /=Ргп21,ег+ + 2 )=Сг (28) (здесь все функции и, р, р, е — исходные, без преобразования к безразмерным переменным).
Отсюда следует, что состояния иь рь рн еб иь рм рь ег должны удовлетворять условиям Гюгонио. В самом деле, так как мы рассматриваем стационарное решение системы (1) †(3) в движущейся системе координат, то, обозначая скорость перемещения (7 системы координат через О, получим, что в условиях (26) — (28) величины ин иг, при переходе к неподвижной системе координат заменяются на и1 — О, и, — О, после чего условия (26) †(28) принимают обычный вид условий Гюгонио (4.1.!0)— (4.1.!2).
Отсюда, в частности, следует, что точки (рь У|), (Рм Уг) $ Д ИЗУЧЕНИЕ УДАРНОГО ПЕРЕХОДА, ШИРИНА УДАРНОЙ ВОЛНЫ ЯЗ5 Т=1(У) вдоль кривой У=О, ( т=пг(У) вдоль кривой .я =О. ) Из свойств 1, 3 следует, что кривая сг = О на участке (Уь Уе) монотонно понижается, т. е. функция 1(У) монотонно убывает. Действительно, вдоль кривой 2' = О имеем т д2' д( (У) ДТ дУ ДУ д2' < О. дТ Тт (2) Наконец, свойство 4 означает, что наклон кривой Ж' = О в точке (1'е, То) меньше наклона кривой 2' = О, а в точке (1ТН Т~) — больше. Таким образом, свойства ! — 4 Рис 2 34 функций 2', М означают, что кривые ,У = О, Я = О в плоскости У, Т располагаются примерно следующим образом (рис.
2.34). Докажем, что свойства ! — 4 функций 2', М следуют из свойств 1 — Ч уравнений состояния. Свойство 1 для Я, Я записывается в виде дР (У, Т) О де (У, Т) дТ ' дТ (3) в плоскости переменных р, У должны лежать на адиабате Гюгонио. Итак, все точки пересечения кривых (25) лежат на адиабате Гюгонио, проходящей через Одну из них. 2. Свойства кривых )Т = О, м. =О для нормального газа. Покажем, что для нормального газа функции м', .4Т обладают следующими свойствами: 1 д2'(У т) О д"'е(У т) О дТ ' дТ 2.
Кривые )Т = О, 2' = О либо не имеют точек пересечения, либо имеют две и только две общие точки (1ть Т~), (Ум Те). Будем обозначать их через (У,, Т,), (Ун Т~), предполагая, что Уо) Уь 3. ' > О на кривой 2Т=О при У~ < У < Уе. д2'(У, т) 2', МУ 2', .4ГУ 4. — < — в точке (Уе, Те) и — > — в точке (Ун Т,). ~т '~т 2т "ят Из свойства ! следует, что температура Т есть однозначная функция переменного У вдоль кривых ДТ=О, ОТ=О. Обозначиее ГЛ, 2. ОДНОМВРНАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКЛ и так как безразмерные переменные (5.!.!6) отличаются от размерных лишь положительными множителями, то неравенства (3) следуют из свойств 1Ч, Ч (см. также формулу (!.4.23) ).
Докажем теперь свойство 2. Все точки пересечения кривых Я' = О, лу = О должны лежать в плоскости У, Т на адиабате Гюгонио Н, проходящей через одну из них. Линия зу =О, очевидно, в плоскости безразмерных величин р, У есть прямая р=! — У (4) с отрицательным наклоном. Как мы видели в п. 3 5 4, любая прямая с отрицательным наклоном пересекает адиабату Гюгонио Н ровно в двух точках. Итак, если кривые 2' = О, лу = О имеют хотя бы одну общую точку, то они имеют и вторую, но не более. Свойство 2 доказано. Докажем теперь свойства 3, 4.
Пользуясь соотношением с(е = = Т сБ — р с(У в выражениях (5.1.13), (5.1.14) для 2'(У, Т), ,~(У, Т) (в размерных переменных), получим (ж = С, (Т ж — С,Л а ,'. (5) Отсюда дЫ'(!', Т) С Т дд(У, и) С, Т дУ ' дУ (6) Отсюда следует, что — = О в ЫЗ дй' точках пересечения кривой Я=О с прямой лу = О, т. е. кривая 2'=О касается адиабаты А Пу. ассона, проходящей через точку пересечения, а следовательно, и А адиабаты Н. Так как наклон Рис КЗ5. адиабаты А для нормального газа в точке (рь У1) больше, чем наклон луча я = О, а в точке (рм Уа) меньше наклона лу = О, то отсюда следует, что наклон кривой Ы = О в точке (рь У~) больше наклона прямой !Т = О, а в точке (ро, Уи) меньше. При отображении плоскости У, р на плоскость У, Т нижней полуплоскости .Х(У, р) ( О соответствует область лу(1', Т) ( О, которая лежит ниже кривой й = О в силу соотношения дТ Рассмотрим картину пересечения кривых 2" = О, АТ = О в плоскости размерных переменных У, р (рис.
2.35). Из (5) следует, что на кривой Ы' = ΠР— = — М. дд С, дУ Т (7) $ З. ИЗУЧЕНИЕ УДАРНОГО ПЕРЕХОДА ШИРИНА УДАРНОЛ ВОЛНЫ 237 справедливого для нормального газа. Отсюда следует, что картина пересечения кривых М = О, Ы = 0 в плоскости )т, р качественно та же, что и в плоскости )г, Т (рнс. 2.34). Итак, свойства 3, 4 доказаны *). 3. Качественное исследование интегральных кривых ударного перехода. Решение системы (5.1.20), (5.!.21), удовлетворяющее краевым условиям (5.1.22), (5.1.23), описывает стационарную ударную волну в вязком теплопроводящем газе. Будем обозначать через )го, То состояние перед Ь' фронтом волны, через Тг — состояние за Х „к=и п г фронтом, а для опреде-,'~ 7 7 Л ленности будем счи- зг и.г и тать, что т = Сг ) О, .3' т, е.
ударная волна распространяется по газу налево. Тогда без- Тки й) размерные величины У .8' 4 гусу .е=гт )ь)0, и)0. л' Решение )т= К(х), Р' Т = Т(х) системы Рис. 2.36 (5.1.20), (5.!.21) можно рассматривать как параметрическое задание интегральной кривой уравнения и НТ 2'1)г, т) (1) Й1 лг()г, т) ' Обратно, каждому решению Т = Т()т) уравнения (!) отвечает решение Т = Т(х), )г = )г(х) системы (5.1.20), (5.!.21), определенное с точностью до сдвига. Ударному переходу будет отвечать решение Т = Т()г) уравнения (!), проходящее через точки (Уо, Т,), ()тп Т,) пересечения кривых Ы' = О, )Т = О.
Ясно, что эти точки являются особыми точками уравнения (1), и это делает возможной данную постановку задачи. Рассмотрим в плоскости переменных )Т, Т поле направлений вектора (М, У). Кривые )Т = О, Ы = 0 разделяют квадрант 1' ) О, Т ) 0 на четыре области ! — ЛТ. Номер области соответствует номеру четверти, в которой лежит вектор ()Т, Ы') (рис. 2.36). Из приведенной на рис. 2.36 картины поля направлений для уравнения (!) следует, что в каждой из областей функция ') Заметим, что изучение кривых 2' = О, ак = 0 в плоскости )г, Р значительно проще, чем в плоскости )г, Т. Однако для исследования изотерми- ческого скачка удобнее пользоваться переменными )г, Т. ГЛ, з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
