Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Как во всех точках рассматриваемого улар- ного перехода (х = О), Ы = 0 в точке Уо, ро, поэтому -о (1 Р)=-и (" ° Р) ~(1о Ро) = =а — е — — С ~У вЂ” — 1+ — С ~У вЂ” — '!. (6) о Е 1~ С ~ 9 1~ о С ~ 1 .1 В точке (Уо, ро) величина М равна нулю, поэтому мы можем выразить из этого условия величину С,: С,=р,+СЗУ,. (7) Это выражение для С, подставляем в формулу (6) для ло(1', р): лг(У Р)=о во+ Ро(1' )о) ~ С((У У~) = ! ! = е — ео+ ро (У вЂ” Уо) — — то (У вЂ” Уа)о (8) Условие существования интегральной кривой уравнения (5), соединяющей точки (У„ро) при х- — оо и (У1, р,) при х- + оо, имеет вид С,(У Уо) Х(У; р)=С1(1' — 1'о)[Ж(У, р) — 41(Уо Ро)[= =[С1(У вЂ” Уо)+(Р РАЦ("1 1о) > при (У вЂ” Уо)(У У1) (0.
Это условие должно быть выполнено во всех точках кривой Ы(У, р)=0, где У(У, р) задано формулой (8). Деля неравенство (9) на положительнУю величинУ (У вЂ” Уо)(У1 — Уо), получаем — '" > — С11= — то= "" ""; (У вЂ” Уо)(У вЂ” У1) (О.
(1О) Выполнение условия (!О) вдоль кривой Ы(У,Р) = 0 гарантирует существование интегральной кривой для ударного перехода. Таким образом, это и есть условие допустимости ударного перехода, которое мы искали. Если на кривой У = 0 между точками Гл. 2. ОдномарнАя ГАзовдя динАмикА 250 (Уо,ро) и (УНР1) есть точки (У*,Р*), в которых Р" = — тз; Ю(У', р')=О; (У" — Уо)(У" — У,) <О, (11) то, очевидно, интегральной кривой У = У(х), соединяющей точки (Уо, Ро) и (Уь р1), не существует.
Это связано с тем, что на интегральной кривой, выходящей из (Уо,ро), при приближении к ближайшей к ней точке (У', р*) кривой 2' = О, в которой выполнено (11), координата х-ь+оо, так как интеграл Лх= ~ расходится (мы считаем здесь е(У, р) дифференцируемой функцией). Тем более, если на некотором отрезке кривой Ы = О выполнено равенство (11), то на этом отрезке уравнение (5) вообще не определяет зависимости У= У(х), так как )т' = О и У= сопи(.
Тем не менее разрыв (Уо,ро), (УНР1), для которого выполняется обобщение условия (10), Р Ре ~ Са ГНЗ Р~ Ре . У вЂ” Уа 1 )г~ — Ь', ' (12) Ы(У, Р) = О! (У вЂ” У ) (1' — У,) С О, следует также признать допустимым. Это связано с тем, что в случае изолированных точек кривой У(У, р) = О, в которых выполнено равенство (11), разрыв (Уо,ро), (Уь р~) можно рассматривать как последовательность разрывов, каждый из которых является допустимым, и все они движутся относительно среды с одной и той же скоростью, как это следует из условий (11).
Наконец, отрезки кривой 2" = О, в которых выполнено равенство (11), следует рассматривать как множество допустимых ударных переходов. В данном случае отсутствие интегральной кривой для задачи (4), (5) связано с отсутствием автомодельного решения У = = У(х — Ы) в задаче о структуре ударного перехода, а отнюдь не с провалом метода вязкости для отбора допустимых решений. Дело в том„ что на целом отрезке адиабаты Гюгонио лагранжева скорость распространения ударной волны оказывается постоянной *) и равной па= А / Р' Р' .
В связи с этим в задаче ч )ге о структуре ударного перехода отсутствует свободный параметр — скорость ударной волны и эта задача не имеет решения. ') Очевидно, отрезок кривой Ы' = О, удовлетворяюший условвю (10), являетси одновременно отрезком адиабатм Гюгонио. $ О. ИЗУЧЕНИЕ УДАРНОГО ПЕРЕХОДА. ШИРИНА УДАРНОН ВОЛНЫ 25! Ситуация похожа на случай линейных гиперболических уравнений (например, уравнений акустики), когда введение вязкости не приводит к размазанной стационарной волне, а приводит к прогрессивному увеличению зоны размазывания ударного перехода. Так, например, линейное уравнение д! + О дх !! дх (И = СОНЕ!~ !А ) 0), ди ди д'и не имеет автомодельного решения и = и(х — И), принимаю- щего различные значения при х-а- — оо и х- +оо.
Тем не ме- нее, решая задачу Коши для этого уравнения и устремляя затем !А- О, мы можем получить в пределе произвольный разрыв (ударный переход), распространяющийся вдоль линии х = = а(+ хо. По-видимому ситуация аналогична в случае выпол- нения равенств (1!) на отрезках адиабаты Гюгонио гт ( У, р; Уо Ро) = О. Ограничившись этими краткими замечаниями по поводу ме- тода вязкости, рассмотрим подробнее условие допустимости ударного перехода (12).
Мы считаем переход (Уо,ро), (У!,р!) допустимым, если вы- полнены условия (12). Сразу же заметим, что из (!2) следует, что 5! ) 5о, при этом равенство 5! = 5о имеет место только в том случае, если прямая (1!) есть адиабата Гюгонио, т. е. все точки лУча ~~ ~' = — иго пРи У!( У~ Уо ЯвлЯютсЯ точками оа адиабаты Гюгонио. Как отсюда видно, в данном ударном пере- ходе мы имеем дело со средой, уравнение состояния которой дается формулой ио Р= !!'1 +(Ро+!и 1'о)= — — +С, Р т. е.
с газом Чаплыгина. Переформулируем теперь условия допустимости (12) так, чтобы они выглядели как условия на адиабату Гюгонио !т'(У, р, Уо,ро) = О. Будем предполагать, что среда такова, что выполнены условия Т= >О; р (У,5)СО, р (У,5))0. (13) Для определенности будем считать, что адиабата Гюгонио й'(У,р; Уо,ро) = 0 в некоторой окрестности точки (Уо,ро) удовлетворяет условию 5(1',р)) 5(Уо, ро) при У Уо, т. е. ударная адиабата начинается как ударная волна сжатия.
Это имеет место, например, при р" (Уо, 5о) ) О. На прямой Р— Ро Р! Ро о — Уо о! — Уа ГЛ. В. ОДНОМЕРНАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА очевидно, й' = О. Отсюда следует, что все точки пересечения адиабаты Н(У,Р; Уо,ро)=0 с прямой (14) являются одновременно нулями функции 2*(У, р), т. е. точками пересечения кривой Я'(У, р) = 0 с прямой (14), Кроме того, дЯ'(У, р, К) д 1 дК дК [ во+ Ро (У Уо) — — К (У вЂ” Уо)о~ = 2 = — 2 (У вЂ” Уо) <0 пРи У Ф Ум (Гб) 1 д.У(У, р, К) дв(У, р) е,(1', 8) др др р,'(У, д) (16) Учет этих обстоятельств приводит к выводу, что кривая Ы'(У,р,те) = 0 расположена между прямой (14) и адиабатой рг Рис.
2.4З. Гюгонио Н(У,Р; Уо, ро) = 0 и они имеют общие точки пересечения либо касания. На рис. 2.43 показано взаимное расположение прямой я' = О, адиабаты Гюгонио Н = 0 и кривой в. = 0 в случае РР„(У, 5 ) > 0 Становится ясным, что условие (12) допустимости ударного перехода при выполнении неравенств (13) формулируется также $ В. ИЗУЧЕНИЕ УДАРНОГО ПЕРЕХОДА. ШИРИНА УДАРНОЙ ВОЛНЫ 253 следующим образом: ударный переход (Уо,р,), (Уьр1) допус- тим, если адиабата Гюгоиио Н(У, р; Уо,ри) = 0 при У1 < У < Уи лежит в плоскости У, р не правее луча (14) (см.
рис. 2.43). Это же можно выразить формулой, аналогичной (12): Рис. 2.44 — ) — пт' = при Н(У, р; Ум ри)=0; 1'1<У<УЙ Р Р0 и Р1 Ри (17) Рассмотрим теперь возможность ударного перехода из точки Ум ри в точку Уп р1 при У1 ) Уъ т. е, случая, когда разрыв представляет собой волну разрежения. И в этом слу- ,й-П, чае условие существования интегральной кривой уравнения (б) записывается в виде (9) или (10). Заметим лишь, что при У1 ) УВ усло- ' ~ У-и вие (10) требует, чтобы кри- ! вая .У = 0 лежала правее луча (14), как это показано ! У на рис.
2,44, где А — ка- 1 сательная к кривой Н=О в точке А(Уо, ро). Согласно ! изложенному выше это одповременно означает, что Уо,ро)=0 при Уи< У< < У~ лежит справа от прямой (14). ! Однако прир"„(У, 5')>О л-р это возможнолишь при усло- 1" и вии, что функпня р" (У, 5) знакопеременна и величина ( У1 — Уи) достаточно велика. В самом деле, согласно п.
3 $ 4, в некоторой окрестности точки (Ум ри) адиабата Гюгонию Н = О, пересекаясь с прямой (14) в двух точках ( Ум ри), ( Уь р1), остается слева от нее при (У вЂ” Уо) (У вЂ” У1) < О. Поэтому при р"У(У, 5) > 0 ударная волна разрежения возможна лишь при достаточно большой величине У1 — Уи ) О.
Отметим теперь, что при р" (У, 5 ) < 0 условия (10), (12) по-прежнему дают условия допустимости ударного перехода, Отличие в этом случае состоит в том, что при У1 ) Уи возможны ударные волны разрежения малой амплитуды, а ударные волны сжатия (У1 < У,) возможны лишь при достаточно большой амплитуде и знакопеременности р" (У, 5). Случай Гл. а ОПНОМЕРНАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАмикА .ч з = О является промежуточным и требует специального Ргг( о~ о) несложного рассмотрения. Суммируем наши выводы в случае знакопеременности (У, 3), Мы установили, что множество значений ( У„ р1) за фронтом ударного перехода из точки (Уа, ра) перед фронтом расположено на адиабате Гюгонио Н(У,р; Уа, ра)= О и должно Рр гр рр ррррр, аа>~д и й Д„",ба,За!'0 Рис.
2.45. удовлетворять требованию (12). Оно означает, что при У1 ( Уа весь отрезок У1 ( У( Уа адиабаты Н(У, р; Уо, ро) = О должен быть расположен слева от прямой (14) или частично совпадать с ней; при У, ) Уа весь отрезок адиабаты Н(У, р; Уо, ро) = О, заключенный между точками (Уа, р,), (Уь р,) должен быть расположен справа от прямой (12). Таким образом, требование (12) выделяет участки адиабаты Гюгонио, которые образованы физически допустимыми ударными переходами. На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
