Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 44
Текст из файла (страница 44)
2.45 показаны допустимые участки адиабаты Гюгонио (они показаны двойной линией) для двух случаев. Итак, применяя метод вязкости, мы получили критерий допустимости (12) ударного перехода. Мы полагали в этом исследовании теплопроводность среды равной нулю. Рассмотрение ударного перехода в вязком и теплопроводящем газе не изменяет критерия (12) допустимости ударной воляы. 1 о. злдлчл о глсплда пвоизвольного глзгывл гоз 6 6. Задача о распаде произвольного разрыва 1. Общие свойства решения задачи о распаде разрыва. В этом параграфе мы детально рассмотрим задачу о распаде начального разрыва.
В случае изотермического газа эта задача была поставлена и решена Риманом «1876]. Качественное исследование задачи о распаде разрыва для политропных газов было проведено Н. Е. Кочиным «1925], для нормальных газов Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшицем [1954]. Произвольным разрывом называют начальное состояние двух бесконечных масс газа, характеризуемых постоянными параметрами иь рь )'ь еь Тц ио, ро Уо го, То и граничащих в начальный момент 1= 0 вдоль плоскости х =О. При этом величины слева и справа от разрыва произвольны и подчиняются лишь уравнениям состояния газов, которые могут быть различными для граничащих газов. Определение течения, возникающего при г > 0 при этих начальных условиях, называют задачей о распаде произвольного разрыва. Таким образом, задача о распаде разрыва есть задача определения одномерного течения с плоской симметрией (т=О), удовлетворяющего интегральным законам сохранения: $рдх — риаг=О, $риаг — «р+ риз]дх=О, $ Р 1,е+ з ) гй — «ри (е+ — + ~ ]1г(х =0 с и кусочно постоянным начальным условиям: при 1=0 и=ио и=и„)'= 1'о, Т= Т„е=е1 при х С 0; Т=Т„а= во при х> О.
(2) В $4 мы видели, что на устойчивом разрыве должны соблюдаться условия динамической совместности (условия Гюгонио), В случае ударной волны на разрыве должно также выполняться условие устойчивости (возрастание энтропии); на контактном разрыве (границе двух газов) давление и скорость непрерывны. Поэтому, если произвольный разрыв не является контактным или ударной волной, то он распадается, образуя какую-нибудь конфигурацию устойчивых разрывов и непрерывных газодинамических течений. Легко заметить, что если совершить преобразование подобия независимых переменных г'=йг', х'=йх (й>0), Гл и ОднОмеРнАя ГАЗОВАЯ динАмикА то и в новых переменных х', /' отыскание решения задачи о распаде сводится к нахождению решения законов сохранения (1), удовлетворяющего начальным условиям (2), если только под х 'и 1 понимать теперь х', /'.
Если предполагать единственность решения задачи (1), (2), то отсюда следует, что г (х, /) = 2 (х', /') = г (йх, /е/). (3) 3десь вектором г мы обозначаем совокупность гидродинамических величин х = (р, и, р, а,...), буквой г — те же величины в переменных х', /'. 1 Полагая в тождестве (3) й= —,>О, получим (4) Таким образом, из предположения о единственности решения вытекает автомодельность решения задачи О распаде произвольного разрыва, т.
е. зависимость всех гидродинамических пере- л менных лишь от одного переменного у= — . В частности, отсюда следует, что линии разрыва — ударные волны и контактный разрыв в суть прямые линии в плоскости переменных х, й т. е. скоро- / Ю сти ударных волн и контактного раз/ рыва постоянны"). ,.Р / В п.
2 3 3 мы видели, что непре- / / / // х=// рывное при / ) О автомодельное тече/ ние есть центрированная волна разрежения Римана, характеризующаяся постоянством энтропии 5 и одного из инвариантов Римана (г либо з). Таким образом, автомодельное ре- шение задачи о распаде разрыва содержит в качестве элементов ударные волны, волны разрежения и контактный разрыв. Установим некоторые общие свойства автомодельного решения задачи о распаде, справедливые для нормальных газов. 1. В каждом из газов «1» (левый) и «О» (правый) распространяется не более одной ударной волны.
Действительно, под ударной волной мы понимаем лишь устойчивую ударную волну. Как мы видели в п. 4 $ 4, отсюда следует теорема Цемплена, Предположим, например, что в ° 1 ', Следует, однако, иметь в виду, что обшие теоремы о единственности решейня задачи Коши для уравнений (1] с разрывными начальнымн усло- виями до сна пор не доказаны.
5 й. ЗАДАЧА О РАСПАДЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА 257 х х газе «О» распространяются две ударные волны — = Є— = Рй', Г ' Г Рй > Р, (рис. 2.46), а течения в зонах Г, П, ГГГ постоянны. Обозначая скорость звука с в зонах Г, П, ГГГ соответственно сь сц, сгц, скорость и — иь иц, иш, будем иметь с, < сц < сщ, и| < иц < ищ. (5) Однако теорема Цемплена требует, чтобы с,<Р,— иь Р,— иц<сц, сц < Рй — иц. (6) (7) справедливых в центрированных волнах разрежения. 3, Присутствие в одном из газов ударной волны исключает возможность распространения в этом же газе волны разрежения, и, наоборот, распространение в одном из газов центрировинной волны разрежения исключает возможность распространения в нем ударной волньь Утверждение легко следует из теоремы Цемплена, равенства Р= у= — и условий (8).
Как следствие этих свойств мы получаем, что автомодельное решение задачи о распаде разрыва содержит контактный разрыв, разделяющий газы («О» и «1»); в каждом из газов распространяется не более одной волны (бегущей или ударной), граничащей с зонами постоянного течения. Таким образом, построение автомодельного решения задачи о распаде разрыва состоит в <склеивании» элементарных решений (постоянные течения, центрированные волны) и определении параметров, характеризующих эти решения и разрывы. Поскольку разрывы и элементарные решения определяются конечным числом параметров, эта задача становится чисто алгебраической. Мы покажем ниже, что для нормальных газов автомодельное решение задачи о распаде произвольного разрыва сушествует н единственно, т. е.
однозначно определяется начальными данными (2). Наше рассмотрение мы начнем со случая политропных газов. Показатель адиабаты Пуассона у для газа «О», лежащего 9 В, Л, Рождественский, Н, Н, Яненко Неравенство (7), очевидно, несовместно с (6) при условии Р1( Рь что и доказывает наше утверждение. 2. В каждом из газов распространяется не более одной центрированной волны разрежения; в газе <О» (правом) в волне разрежения з = сопз1; в газе <1» (левом) т = сопз(, Утверждение легко следует из равенств и + с = у = — (з = сопз1), и — с = у = — (г = сопз(), (8) ГЛ, Я ОДНОМЕРНАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА справа от точки х = О, будем обозначать буквой уо, для газа «1» — буквой уь Примем следующий способ рассмотрения задачи о распаде: отправляясь от конкретного случая условий (2), в котором расположение ударных волн и волн разрежении (конфигурация) очевидно, мы, непрерывно меняя параметры задачи (2), будем непрерывно менять решение, переходя при этом через критические значения параметров, разделяющие одну конфигурацию от другой.
2. Конфигурация А. Поскольку ясно, что решение задачи (6.1.1), (6.1.2) существенно зависит лишь от разности и~ — им будем полагать и« = О. Достаточно рассмотреть лишь случай, когда Р1~~Р» (1) Мы начнем рассмотрение задачи о распаде разрыва, образованного двумя покоящимися массами политропных газов.
Задача ставится следующим образом. В точке х = О имеется перегородка, разделяющая две массы газа, характеризуемые параметрами ун 51, рь рн Ть и1 — — О слева и соответственно Уо, Оо, Ро, Рм Та, и» = О спРава, пРичем выполнено условие (2) Р1 > Ро. В момент г = О перегородка убирается, и газы приходят в движение. Предполагая автомодельность движения (либо, что то же, единственность решения задачи о распаде), рассчитаем его. Так как через контактную границу (граница между газами «0» и «1») вещество не протекает, то для каждой массы газа контактную границу можно рассматривать как поршень.
В силу условия (2) поршень будет двигаться в сторону газа «О» и выдвигаться по отношению к газу «1». Если задаться постоянной (вследствие автомодельности) скоростью (7 поршня, то задача однозначно решается для каждого из газов в отдельности. Чтобы получить решение задачи о распаде разрыва, мы должны «сшить» решения этих двух задач о поршне, потребовав, чтобы на контактной границе давление р слева равнялось давлению р» справа. Из этого условия определится скорость (7 контактной границы и все параметры, определяющие движение.
Решения задач о поршне нам известны (см. З 3, п. 4 и $ 4, п. 8); поэтому расположение разрывов будет иметь вид, указанный на рнс. 2.47 (конфигурация А). Четыре луча: Го, Гь Гм Г,— разбивают верхнюю полуплоскость на 5 областей. В областях 1, П, П), У имеем постоянные течення, в области ! У вЂ” центрированную волну разрежения. Луч Г» — ударная волна, Ге — контактный разрыв, Гь Г» — лн- 4 б. ЗАДАЧА О РАСПАДЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА 259 нии слабого разрыва, на которых решение непрерывно. На линии Гб должны соблюдаться условия Гюгонио для ударной волны и условие устойчивости, на Г2 — непрерывность давления и скорости, на Гь Го — непрерывность всех гидродинамических величин.
Рнс, 2,47. Так как зона Ш есть зона постоянного течения, то скорость и на характеристике Го равна скорости 27 контактной границы Г2. Поэтому, если обозначить давление р в зоне Ш через р, то, согласно (3), имеем 2у, На ударной волне Гб имеем (см. формулы (4.5,13) — (4,5.16) ) ! и =ио+ со(1 — Ьо) (~Ио — ~ ) со (1Ио — 21, ) (1 — )оо) (6) 1 1 Учитывая, что зона о! — зона постоянства течения и что на кон- тактной границе Г2 давление и скорость непрерывны, приходим к уравнению 22 1 х1 — „,'о (1 — Ао) со Мо — — ) т,— 1 Г 2 с, =р,(М,)=Р,Н1+й,) И2 — й,1 Р Щ)=Р1 для определения Мо. В области 7(7 р, и связаны соотношением, вытекающим из постоянства инварианта Римана г (см. формулы (3.2.10) и (3.2.11) ): 2у~ р = р, [1 — У— — — 12' = р, [1 — т' — ~ т' (и, = О), (3) гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
