Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Поэтому взаимное расположение линии разрыва (штриховая линия) и г-характеристик (сплошные линии) в окрестности разрыва имеет вид, показанный на рис. 2.57,а,б, для случая т (О. Одновременное выполнение равенств (3) и (4) означает, что слева и справа от разрыва скорость характеристик ($! при т > 0 или $о при т ( 0) совпадает со скоростью 0 разрыва, так что линия разрыва совпадает с характеристиками (рис. 2.57, в). В ряде работ такие разрывы называются контактными. Однако, на наш взгляд, это название не совсем удачно, так как 278 ГЛ, 2, ОДНОМЕРНАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА контактный разрыв в механике жидкости и газа означает границу между двумя различными газами, движущимися с одинаковыми скоростями ис — — и~ —— А», т, е.
при т = О. Поэтому разрывы, удовлетворяющие условиям (5), следует называть по- прежнему ударными волнами, Пусть и», У+, р~ по-прежнему означают параметры течения на правой стороне контактной границы в решении задачи о распаде разрыва, и пусть по = О, Ус, рс — заданные начальные значения в газе «О». Изучим множество В'(Ус, рс) возможных значений У», р+, и+. 'р аз т =- — (Гьгг) г др д~' д7т =-др 1~о д») дун =-др (К д~)= др(Кд»7 др г др Рис. 2.87. Очевидно, что множество В'(Ус, рс) содержит все физические (допустимые) участки адиабаты Гюгонио 0(У, р; Ум рс) = О, имеющей центром точку (Ум рс), которые мы ввели в п. 7 2 б.
Рассмотрим лишь случай р"Р(Ус, 5,) > О, тогда допустимые участки адиабаты Гюгонио показаны двойной линией на рис.2.58. Мы видим, что допустимые участки адиабаты Гюгонио образуют лишь часть множества %'(Ус,рс), так как по своему смыслу это множество должно быть непрерывной кривой. В дальнейшем кривую У, реп )У(Ус, рс) будем называть волновой адиабатой. Допустимые участки адиабаты Гюгонио дают лишь те значения У+, р+, которые могут быть связаны с (г,, рс устойчивой ударной волной сжатия или разрежения. Кроме этого, мы видели, что У+, р+ могут быть связаны с Ус, рс волной разрежения Римана.
Если р" (Ум 5,) > О, то волне разрежения Римана отвечает участок адиабаты Пуассона 5 = 5с, заданный условием У ) Ус и требованием монотонного уменьдр щения величины $= ~ — +(У, 5с) с ростом У. Последнее требование есть условие центрированной волны разрежения, в которой переходу от правого состояния ио, Ус, ро к левому и+, У+, р„соответствует монотонное уменьшение ско.
рости характеристики Ез. ф б. ЗАДАЧА О РАСПАДЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА 279 Поэтому на допустимых участках адиабаты Пуассона 5 = 5, должно быть выполнено условие ау ) — лу (1, 50)) = — лу (Ую 5и) С О. (6) Уе УР Й Ул Рис. 2.88. Однако в интересующем нас случае и, в частности, изображенном на рис. 2.68 такие участки есть. В самом деле, мы видели в п. 7 9 6, что иа допустимых участках адиабаты Гюгонио 5 ) 8и, поэтому значение энтропии в точке В (см.
рис. 2.68) превосходит 5в Отсюда следует, что адиабата Пуассона 5 = 5„ пересечет адиабату Гюгонио внутри отрезка (Уо, Уи). Адиабата Гюгонио на отрезке (Ум Уи] меняет выпуклость, поэтому с учетом условий (1) делаем заключение, что адиабата 5 = 5з также меняет выпуклость внутри этого отрезка, Взаимное расположение адиабаты Пуассона 5 = 5и и адиабаты Если на адиабате Пуассона нет участков, где нарушено условие (6), то тогда любые ее точки при У~ Уи дают возможные значения У+, р„.
гл. а ОднОмеРнАя гАЗОВАя динхмикА 2ао Гюгонио приведено на рис. 2.59. Здесь прямая А — касательная к кривым Н = О, 5 = 5и в точке А, А — касательная к адиабате Гюгонио Н = 0 в точке 0 и Р",,(У,,5.)=0 Р". (Ум 5.) >О Мы видим, что производная Р" (У, 5,) меняет свой знак в точке У= У (р"„(У, 5,) < 0 при У > У ). Тем самым переход из точки (У„ри) по волне разрежения (5=5,) возможен только до точки С, а ударный переход из точки А возможен лишь при У > Ул, т. е. начиная с точки В адиабаты Гюгонио. Мы имеем незаполненный участок [Ую Ул) волновой адиабаты йК(Уо Ро).
Здесь следует рассмотреть возможность появления ударных волн типа указанных на рис. 2.б?,б, когда г-волна разрежения заканчивается допустимым ударным переходом, как это пока- зано на рис. 2,60. Э К ЗАДАЧА О РАСПАДЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА 281 Это возможно, если на адиабате Пуассона АС (рис, 2.69) найдется точка ((7, Р), заключенная между точками А и С, и точка (Уь р~) такие, что 5(У Р)=5о Уо «( У ~ <Уа. Н(УП Р,; У, Р) =9; Р,— Р дР У У,— Р др (7) Ряс.
2.60 Если при этом весь участок адиабаты Гюгонио Н(У,Р; (7,Р) при (7 < У < У1 лежит справа от прямой р — Р = т'(У вЂ” У), то тогда переход (7) является допустимым: значения Уь р1 являются возможными значениями У+, Р+ и У,р+ $7 они должны быть включены в волновую адиабату В'(Ум Ра), Один из подобных переходов есть переход из точки А в точку В = '7 (рис.
2.69 и 2.68); в этом случае (7 = Уы Р = Рю и волна РазРежения (рис. 2.60) отсутствует. Необходимым условием выполнения равенств (7) является знакопеременность величины р"Р(У, 5) на адиабате Н (У, р; У, Р) при У ~ У ~( УР Именно этот случай мы и рассматриваем сейчас, так как в точке С р" (У, 5 ) меняет знак. Подробное рассмотрение приводит к выводу, что множество значений У~рь удовлетворяющих условиям (7), образует непрерывную кривую (мы будем обозначать ее буквой Н), которая соединяет точки С и В (рис. 2.69). При этом передвижению точки ((7,Р) вдоль адиабаты 5 = 5, в направлении от точки С к точке А соответствует движение точки (УИР1) вдоль кривой Я от точки С к точке В. Итак, мы приходим к заключению, что справа от точки А волновая адиабата К(Умрэ) состоит из отрезка АС адиабаты Пуассона 5 = 5м отрезка СВ кривой Н, состоящего из значений Уь рь удовлетворяющих (7), и части В0 адиабаты Гюгонио Н(У,Р; Ум ро) = О.
Таким образом, мы построили непрерывную кривую Ю'(Ув рэ) — волновую адиабату — справа от точки А. Отметим, что если на адиабате Гюгонио В0 при ее продолжении вправо нарушится условие допустимости, то волновая адиабата будет содержать еще новые участки, состоящие из адиабат Пуассона 5 = сопз1 н кривых )7, построенных для них. Это соответствует картине г-характеристик, показанной на рис. 2.61, когда распространяются несколько центрированных ГЛ, 2. ОЛНОИЕРНАЯ ГАЗОВАЯ 1[ИНАМИкА волн разрежения, разделенных допустимыми ударными переходами.
Вкратце рассмотрим вопрос о построении волновой адиабаты В'(Уо,ро) при У( Уо, имея в виду, что в основном оно производится с учетом тех же самых соображений, которые использовались выше. Как мы видели выше, в рассматриваемом нами случае р"„(У, 5 ) ) О отрезок АЕ адиабаты Гюгонио Н(У, р; Уо, ро) (см. рис.
2.58) является допустимым, он состоит из возможных значений У+, р+, и поэтому он естественно включается в волновую адиабату (У(Уо, ро). Ударный переход из точки А в точку Е Рис. 2.61. Рис 2.62. имеет картину г-характеристик, изображенную на рис. 2.87, в. Далее (в сторону уменьшения У = У+) волновая адиабата может быть продолжена с помощью г-волны разрежения 5 = 5в, где 5с — энтропия в точке Е. Теперь точка Е отвечает правому состоянию в волне разрежения 5 = 5и, поэтому переход в точку Е, соответствующую значениям Уч Ув, ро, возможен лишь при условии, что р" и (У, 5в) ( О при У+ ~ У ( Уи (это следует из того, что скорость г-характеристик убывает при переходе из точки Е в точку г).
В случае, изображенном на рис. 2.88, это условие (р" (У, 5а) ( О) выполнено в точке У = Ув, и поэтому в некоторой полуокрестности У ( Ув адиабата Пуассона 5 = 5и дает возможные значения У+, р+ и должна быть включена в волновую адиабату. На рис. 2.82 показана картина г-характеристик для случая, когда точка (У~, рэ) лежит на адиабате Пуассона 5 = 5в. Пусть в точке г" адиабаты 5 = 5в знак величины р" (У, 5а) меняется с минуса при У ) УГ на плюс при У «= УГ. В этом случае переход по адиабате 5 = 5в возможен только до точки Е. Для продолжения волновой адиабаты теперь следует рассмотРеть УдаРные пеРеходы из точек (Р, Р) адиабаты 5 = 5и в точки $ О. ЗАДАЧА О РАСПАДЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА 2вз ()гьр~) при условиях (8) Н()гь р; )г р) =О: 5(Р р) =5е УР ~ Ре-Ре, аналогичных условиям (7).
Совокупность точек (Рь р1), заданных условиями (8), снова будем называть кривой Я. Эта кривая определена при р рг, она непрерывно примыкает к отрезку ЕР адиабаты Пуассона 5 = 5е (при )7 = Рг, р = рг) и она оканчивается при пересечении ее с новым допустимым участком исходной адиабаты Гюгонио Н(*Р', р; Уо, р,) = О. Этот отрезок кривой Н также включается в волновую адиабату (Р'((го, ро). Таким образом, строится волновая аднабата. Как мы видим, она включает все допустимые участки адиабаты Гюгонио Н(У, р; Ро, ро) = О, отрезки адиабат Пуассона 5 = 5о и опреде. ляемые ими кривые Гть Здесь 5~ — значения энтропии на правых концах допУстимых Участков — адиабаты Гюгонио пРи Р ) 'Ро и на левых концах допУстимых Участков пРи Р' ( Ро.
Отметим, что эта кривая пересекается любой прямой р = сопз1 не более чем в одной точке, т. е. давление р монотонно изменяется вдоль этой кривой. Мы ограничимся этими замечаниями о построении волновой адиабаты, имея в виду, что в конкретных случаях читатель сможет выяснить необходимые детали поведения волновой аднабаты, опираясь на изложенное выше. Каждой точке волновой адиабаты (Р" (Ро, ро) соответствует значение скорости и = ио, которая вычисляется из условий Гюгонио на допустимых участках адиабаты Н(У, р; Ро, ро) = О и на кривых Н и из постоянства инварианта Римана на отрезках адиабат Пуассона 5 = 5Ь В результате мы имеем непрерывную кривую в пространстве переменных и, У, р, которая задает множество возможных значений ио, )'", ро при фиксированных ио, ро, ро.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
