Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 51
Текст из файла (страница 51)
2,70. ударной волне, идущей по фону (йо, ро) и оставляющей за собой состояние (ин р~); М вЂ” возможной ударной волне, идущей по фону (О, ро) и оставляющей за собой состояние (и, р). Тогда разность (3) представляется в виде Мо М вЂ” 1 М2 — ! 21"-о (! — А) со + (! — Й) со — — (! Й) со ° (б) Мо М М Из соотношений Р (!+ Л)М22 Л„Р (! ( Л)М2 ь Р (! ! А)М~ А (у) Ро Ро Ро сл.дует ! А)М2 о (!+"!М " Мо М +"'2!о (! + а! Моо — Л ' (! + а! Л!', — а ' Гл. а ОднОмеРБАя ГАЭОВАя дИнАмИКА либо Ь в —, т. е.
у>2. 1 з' Если (1 — ЗЬ) ~Ь, т. е. Ь( 4, уч 1 5 (18) то условие (16) не может выполняться ни при каких Мо> 1, и мы всегда будем иметь конфигурацию А. Если же 5 у>— то может иметь место также и конфигурация Б. Более точно, при М~ М„р, где М„р — больший, чем Мо, корень уравнения (16), или, что то же, при М„',+АМ,' — Л (1+А)М',— А имеет место конфигурация Б, в противном случае — А.
4. Взаимодействие сильных разрывов в изотермическом газе. В случае изотермического газа анализ взаимодействия разрывов упрощается. Действительно, изотермическнй газ можно рассматривать как политропный газ при у = 1. .Для изотермического газа имеем Фо(р) = со!п —. Р Ро (2) Рассмотрим задачу о набегании ударной волны на контактный разрыв (см. рис. 2.66). Как показано в п.
1, выбор между конфигурациями А и Б определяется знаком разности Л = Ч'о(Р) — Что(р) при условии р > ро. При Л ~ О имеем конфиГурацию А, при Л ) Π— конфигурацию Б. Учитывая (1), имеем А = (со со) 1'1/ '~/ ) . (8) Так как — > 1, то конфигурация А имеет место при со < со, Р конфигУРациЯ Б — пРи бо > со. и мы имеем конфигурацию А. Для того чтобы уравнение П вЂ” Ь) М' 2ЬММо — Ь = О (16) имело корень М (М > Мо> 1), необходимо и достаточно выполнение неравенств (17) $7. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СИЛЬНЫХ РАЗРЫВОВ Учитывая соотношение Р, = с7222 = с,'р„ (4) получаем, что имеет место конфигурация А при ро С ро, конфигурация Б — при ро) ро.
Этот результат следует также непосредственно из результатов п. 1. При решении задач о взаимодействии ударных волн следует принимать во внимание, что со = с,. Рассмотрим сначала взаимодействие ударных волн, движу- шихся навстречу друг другу (см. рис. 2.68, 2.69). Пользуясь обозначениями п. 2, полагая и = О, имеем — '=М' Р1 Ро =' = М21, Р~ Ро М' — М= м'' о Ро 222 == "о~ Ро (5) М7 Мо (6) Условие конфигурации Б имеет вид (см. (7.2.3)) Мо М1 ' (7) откуда имеем (М1+ Мо)(М1+ 1)(Мо 1) ) 0 (8) Таким Образом, всегда имеем конфигурацию Б, Из соотношений — — — — М1 Р 2 Р Р~ Ро — =М1, Р| 2 Ро — = Мо~ Ро 2 Ро (9) имеем Мо М, — = — =К МО М~ = ' М1МР=М М1, (10) Из соотношений (11) (12) учитывая (10), имеем '(~.+~,)(~-кф+ —,.'.
)=~. Отсюда следует, что (13) (14) К=1. 1 и=6 ~М1 —— М1 г — ! и=с ~М1 — = М1 — (Мо у)1 ~ (Мо — )1 ° гл, х одномегнля глзовля динамика зоо Равенство (14) означает, что после встречи волн каждая из них сохраняет свою силу: л(а = Мо А4~ = й4~', (15) соответственно сохраняются относительные скорости ударных волн: О, = 0„— йо —— 0+ ~ ио ~, О, = О, — иь (16) где 0„— скорость ударной волны, идущей после встречи вправо, О, — скорость ударной волны, идущей после встречи влево, Таким образом, расчетные формулы взаимодействия встречающихся волн имеют вид где р, и — давление и скорость между фронтами расходящихся волн. Их скорости определяются формулами (16). Рассмотрим в заключение задачу о соединении волн, идущих в одном направлении.
Условие (7.3.14) выполняется при Ул = О. Следовательно, в случае изотермического газа при соединении ударных волн, идущих в одном направлении, всегда имеет место конфигурация А. $ 8. Взаимодействие ударных воли с бегущими волнами Если ударная волна, движущаяся с постоянной скоростью по постоянному фону, входит в бегущую волну, то сила ее меняется. В случае политропного газа д' энтропия за фронтом волны у. з становится переменной, что Р7 усложняет аналитическое исследование.
Поэтому мы ограничимся рассмотрением бароРууу тропных политропных газов, в г=ул азам ы частности изотермического га- за. Сделаем сначала одно за~ф мечание, справедливое для всех У УУг7У баротропных политропных газов. Пусть по постоянному фону (ро, ро, ио) движется слева Рис. 2.7!. направо с постоянной скоро- стью 0а ударная волна, оставляющая за собой постоянный фон (рь рь и~), связанный с (Рм ро, ио) условиями Гюгонио. В некоторый момент уо ударная волна входит в область возмущенного движения, которая может быть или бегущей волной, или областью интерференции бегущих "олн Тогда движение, которое образуется за ударной волной, % к ВЗАимоденстВие удАРных Волн с БеГущими ВОлнАми зо! является бегущей волной до тех пор, пока в нем новая ударная волна (рпс.
2.71). 1. Взаимодействие ударной волны с бегущей термическом газе. Пусть постоянное течение (рс, чит с з-волной разрежения г = г, = и + с1п р = сопз1. не образуется волной в изоио = О) грани- По постоянному фону (рс, ис = О) движется слева направо с постоянной скоростью 0с ударная волна, оставляющая за собой состояние р, = Сзр„ В момент ! = !о ударная волна входит в область 7!! бегущей волны (рис. 2.72), где давление и скорость возрастают в противоположных направлениях, т. е. ~х ди др Рис.
2.72. — — < О. дх дх В области П! бегущей волны условия Гюгонио имеют вид (см. 5 4, формулы (4.6.13), (4.6.14)) г — г+=ф(М), а — а+=АР(М), М =, ф(х) =с (х — — +!пах), ф (х) = с (х — — — 1и ха), 1 х где !7 — скорость ударной волны; величины со значком «+» означают величины в волне !П перед фронтом ударной волны, со значком « — » — за фронтом ударной волны (область !)Г). В рассматриваемом случае з-волны =го г+=г,. (5) Из уравнений (3), (5) следует, что М постоянно и равно Мс. Таким образом, амплитуда ударной волны неизменна и вели- чины л+ Р и+ — и Р Р (6) сохраняют постоянное значение на фронте волны.
гл. х одномвгнля глзовоя динлмнкх 302 В области 1'г' мы имеем з-волну разрежения (сжатия), если в области П! волна Римана — волна разрежения (сжатия). Действительно, так как и — и+ на фронте волны постоянно, то ди- ди- ди+ ди+ — + й — =- — + 0 —, д1 дх д1 дх (7) или ди- ди+ так что производные — и — (в областях Ш и 1У) оддх дх ного знака. Так как в з-волне с постоянным инвариантом г (в зоне П!) справедливо соотношение Римана х — (и — с)г=((и), (8) где )(и) — некоторая функция и, а на ударной волне справедливо соотношение — =О=и+ сМо=и++ Оа, дх (9) то, сопоставляя (8), (9), получаем дифференциальное уравнение для траектории ударной волны: х — ~ — „— с(Ма+1)~С=~( — „— сМо).
(10) В частном случае центрированной волны разрежения, когда справедливо соотношение х — х, — =и — с (1 1) где (хь 1,) — центр волны, получаем легко интегрируемое уравнение Их х — х~ — = — +и + Ж Ясно, что аналогичный анализ будет иметь место и для случая ударной волны, идущей справа налево и набегающей на г-волну Римана. /ди д В случае волны разрежения ~ — > О, дс- < 0) ударная волна идет «под гору», ускоряясь; в случае волны сжатия ( —" ди ди †„ ( О, — > 0) ударная волна идет «в гору», замедляясь.
Указанную картину взаимодействия можно реализовать в задаче с двумя поршнями; сначала правый поршень выдвигается из газа, образуя волну разрежения (г = сопз1), а затем левый поршень вдвигается в газ, образуя ударную волну, двигающуюся в волну разрежения, Ч 8. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ УДАРНЫХ ВОЛН С ВЕГУШИМИ ВОЛНАМИ ЗЕЗ Рассмотрим теперь задачу о взаимодействии ударной волны, идушей вправо, с г-волной Римана (з = зс = сопз() (рис. 2.73). В этом случае давление и скорость перед ударной волной воз- Гди др растают в одном направлении ~ — — ) 0). 'х дх дх В формулах (3) следует положить г = г = сопз1, з+ зс. (13) Тогда в случае волны разрежения (сжатия) в области П) имеем (14) и из соотношений (3) находим Рис 2.73.
(15) Это означает, что для волны разрежения П( преломленная волна 1(г есть волна сжатия, для волны сжатия )П волна 1(г есть волна разрежения. В первом случае сила М волны уменьшается, во втором — увеличивается, Траектория ударной волны находится аналогично предыдущему. Указанную картину можно реализовать в задаче с одним поршнем: поршень сначала, выдвигаясь, образует волну разрежения, а затем, двигаясь в газ, образует волну сжатия (ударную волну). 2. Асимптотика взаимодействия ударной волны и центрированной волны разрежения. В результате взаимодействия ударной волны с волной разрежения П( после выхода из нее на постоянный фон )г ударная волна вместо начальной скорости 0с приобретает скорость 0ь Ясно, что скачок скорости 0~ — 0и ударной волны не зависит от точки входа (хь й), если в области I(г имеем гладкое течение.
Пусть точка входа (хь 11) прибли жается к центру (хо, То) волны. Тогда разность 0~ — 0А остается неизменной. Если х~ = хс, й = (и, то можно говорить о мгновенном взаимодействии ударной волны с сосредоточенной волной разрежения. В этом случае Мы имеем произвольный разрыв, характеризуемый состояниями ГЛ. 2. ОДНОМКЮ2ОЯ ГОЗОВЛЯ ДИИЛМИКЛ 304 !о~ ~о) из=и!+ с !и Р' . (2) Рь Рассчитаем распад разрыва (р,, ио), (рм из), поль. зуясь (р, и)-диаграммой (рис. 2.75).
В рассматриваемом случае имеем конфигурацию А. Величины и, р находятся в результате решения уравнения М вЂ” — — 1п — = 1 рь М 1 = Мо — — — !п Л., (3) ,г Мо рь' а) 222н 4) с) где положено Рис 2.74. 2 Р 2 Рь М = —, Мо= — '. Рь Р! После несложного преобразования нз формулы (3) имеем — = М вЂ” — + !пМ2= — = М вЂ” и + !ПМ. д (Х4) ьр !Мь) 1 2 М с 0 М о Отсюда М= М,. (6) Итак, после взаимодействия ударной волны, идущей вправо, с з-волной она приобретает ту же скорость, что и в результате мгновенного взаимодействия ударной волны и сосредоточенной волны разрежения, рассчитанного по формулам распада разрыва, Это совпадение связано с тем, что преломленная волна Л7 (22, )2). Можно поставить вопрос; будет ли совпадать скорость О! ударной волны в задаче о распаде разрыва и скорость О! после выхода ударной волны из волны разрежения П)7 Рассмотрим сначала случай центрированной з-волны разрежения (рис.
2.74,а). Состояния П, (7 определяются формулами 1 и,=и, + с(МΠ— — )* Мо р — р М2 2 ! О' (1) и — и = 2 ! Е И, ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ УДАРНЫХ ВОЛН С ВЕГУЩИМИ ВОЛНАМИ 305 есть волна разрежения и при Г-ъ со в движении за фронтом волны не возникает особенностей. Аналогичная картина имеет место при взаимодействии ударной волны, идущей влево, с г-волной разрежения, Рассмотрим теперь (В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
