Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 53
Текст из файла (страница 53)
(34) Для функции Римана )т($н $,; х„х,) уравнения (34) справедливо представление (см. гл. 1, з 13, п. 4) )т ($н 5,; хн х,) = (1 — 5) г" (т, т, 1, $), (35) $9, АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНТ!Я ОДТ!ОМЕРНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 313 Заметим, что при целом и ряд (37) становится полиномом. Можно показать, что при целом и! уравнение (34) допускает дифференциальную связь т-го порядка н, обратно, если уравнение вида (!5) допускает дифференциальную связь гп-го порядка, то Р(х! + хх) удовлетворяет уравнению, среди решений которого к9 (99 — 1) имеются функции, . Поясним это утверждение приме(х|+ х,)' ' ром.
Рассмотрим уравнение (15), допускающее связь второго порядка. Тогда, как было показано в главе 1, 5 12, Р(х!+ к9) удовлетворяет уравнению д' )п Р— =Р дк! дк9 (38) которое в нашем случае принимает вид РРЕ Рм Рэ (39) где штрих означает производную по 8 =к!+хз. Уравнению (39) удовлетворяет функция при т = 2. Общий интеграл уравнения (38) имеет вид =1п 1 з/С, + 2Р— з/С~ Ч/С~ Ч/С1 + 2Р + А/С, агс1п А/ 2 /С!+2Р )/:С! 'А/ — С, С! ) О, (40) С, ( 0.
В+С = Пользуясь произвольными постоянными С!, СА, с помощью функции (40) можно аппроксимировать функции Р(9) и получать хорошие приближения. Таким образом Г.А. Домбровский [19641 получил аппроксимации уравнения Дарбу. В следующем пункте мы покажем, как знание общего интеграла уравнения Дарбу позволяет решать некоторые задачи газовой динамики, приводящие к интерференции простых волн. 2. Задачи о взаимодействии элементарных решений.
Мы рас. смотрим две задачи: а) о взаимодействии двух волн Римана; б) о набегании волны Римана на границу двух сред. Пусть в момент / = 19 из точки х = х9 начинает распространяться центрированная Г-волна, а в момент 1= 1! из точки л = х! — центрированная з-волна. Мы можем предположить, что центрированные волны получаются в результате выдвижения поршней нз газа с постоянной скоростью (рис. 2.77), гл. а одномвюгяя гхзовоя динкмикх 77 г =го з=Й х~ ) зо' !П: и=ио — — О, с к — к, оо х — к~ х — а = — = аз + йго. о — т (5) В зоне П, которой является зоной интерференции и отображается в прямоугольник РЯТК плоскости г, з (рис. 2.78), Ахр, 4зд Рис.
2.78. Ряс. 2.77. справедливо представление к — (аг + йз) ~ = —,, 1 д27 — (-+ 6 )(= — „.,) дах (6) Пользуясь (4) и (5), для ((7 в прямоугольнике РМТК на сторо- нах РК РЯ можно поставить краевые условия, составляющие задачу Гурса: Рйо с=го, — =й — т(аз+рго)' двг дх РФ = —, = — й+ ( + йзо).
дпг (8) В зонах ! — )7 решение имеет вид: Г=Г~ з=зо~ Г~ (го', 2 =со, с=го= — со, х+Ь = — =ах+ рко' о+к ) где )(7 удовлетворяет уравнению (1) (2) 2 з — хо= со' (8) у — 1 (4) з к хнхлитичвскив ввшаиия одномввноп газовон динамики з)в Краевые условия (8) приводят к соотношениям (г0 — с) я ( ) + я (~) + 1(г0) )) ( + „ ) (г0 — с)х (г — с ) Г (г) — 1(г) — я(х,) й+ ( + й (10) (~ со) + (ш'+й~д Предположим для простоты, что т = О, т.
е. выдвижение поршней происходит одновременно. Тогда соотношения (10) примут вид (гс — з) 8' (з) + ~ (з) + 1 (го) = й (го — з)'~ (г — зо) ( (г) — 1 (г) — Ы (зс) = — и (г — зз)' (11) т. е. 1(г), д(г) являются полиномами второй степени от своих переменных. Таким образом, учитывая, что %' определяется с точностью до аддитивной константы, можно положить Аг + Вс'+ С (г + с) + () (12) Удовлетворяя краевым условиям (8), находим А, В, С, О, получая для яг окончательное выражение — ь(ге+ з ) + )васо Я)' = г — а (13) Формулы (6), (13) определяют решение в зоне )г1.
В зонах /У', )г' мы имеем бегущие волны Римана, уже нецентрированные, которые нетрудно рассчитать. Рассмотрим теперь взаимодействие бегущей волны с контактной границей. Из точки к = О, г = 0 распространяется центрированная з-волна Римана, которая набегает на контактную границу, находящуюся при ( = 0 в точке к = — Ь (рис. 2.79). Мы вновь рассмотрим случай, когда обе среды являются политропными газами с у = †.
Картина движения описывается фор- 5 3' мулами: с =с0, область П г = го, з = со= — го и=по=О; область П: г=ге, аз+ рге=$= область 1П: г = го з — — з,; область ЧП1: г = г„з= з~ — — — г„ В=Вь (14) (15) (16) В = В .
(17) х с=си Решим эту задачу для у= —. Общий интеграл уравнения (7) 5 з' примет вид 1 (г) + а (с) (9) à — 5 3!6 гл. к одномн нля глзовля динлмикл 1У есть область интерференции падающей и отраженной волн, области П, У вЂ” бегущие волны, области П, УП, У1П— области постоянного течения. Определим прежде всего течение в области 1У (рис.
2.80). Пользуясь формулами (6), можно поставить для функции Яг(г, з) краевые условия на линии АС: г = го, х — (аз + Рго) ! = В', (г, з) = О. (18) Отсюда, пользуясь формулой общего интеграла (9), получаем й (з)(го — з) + 1 (го) + а (з) = О. (19) Из уравнения (19) следует, что д(г) есть линейная функция от з. Так как )1г определяется с точностью до аддитивной Рис. 2.80 Рис. 2.79. константы, то сумма 1(г)+ д(з) может содержать слагаемое С(г — з) с произвольной константой С.
За счет выбора константы С можно положить д(з) = = сопз1= В. Перебрасывая В в 1(г), получаем окончательно )р (г, з) , 1 (г ) — О, (20) Рассмотрим теперь краевое условие на контактной границе АВ. Определим сначала линию АВ в плоскости годографа. Принимая во внимание постоянство инварианта г = г~ слева от границы, из условий на контактной границе находим, что величины г, и на правой стороне границы связаны линейным соотношением з= — г — — гв х= ~ — ) 1+х 2х гАохт 1 — х 1 — х ' ~А ) (21) где Ао, А~ — энтропийные константы газов справа, соответствен- но слева от границы.
А о. АнАлнтические Решения ОднОмеРнОЙ ГАЗОВОЙ динАмики 317 Краевое условие на АВ в плоскости х, 1 имеет вид ах г+о ~й 2 (22) Пользуясь формулами (6), (21), получаем [(6 — а) (г — з)(ЯГ,„ + 67„) + Яг, — ЯГ,[ Й' + + [(3 — а) (г — з) (Яг„+ Я7„) + Й7, — 67,] аз = О, (23) Ыз = — о(г.
(24) Отсюда, принимая во внимание, что из (21) следует 2к г — з = — (г — г~), к — 1 (25) получаем уравнение для 1(г) ко(г — г~)' [" + к(3 — к)(г — г,) ['+3(1 — к)~=О, (26) общий интеграл которого имеет вид 1(г)=С1 (г — г~) '+ Со(г — г~~), (27) где Сн С,— произвольные константы, Лн Л,— корни характеристического уравнения к'Ло + к (3 — 2к) Л + 3 (1 — к) = О. (28) Константы Сн Со определяются из условий 1 (го) = С1 (го — г 1) ' + Со (го — г ~) ' = О, (29) 1 (го)=С1Л1(го — г~) ' +С,ЛА(го — г~) ' '= — 2го(Уго+со1о) (30) Заметим в заключение, что прошедшая волна 11' является бегущей волной разрежения, волна У может быть как волной разрежения, так и волной сжатия.
В случае го ~ гс мы имеем волну разрежения, в случае гв гс — волну сжатия. Как показывают исследования в $3, п. 5, отраженная волна У будет волной разрежения при к ) 1, волной сжатия при к(1. В случае к) 1 области П', У будут двумя волнами разрежения и полученное решение при й-э 0 будет стремиться к решению соответствующей задачи о распаде разрыва (см.
9 8, п. 2). Приведенное решение указано нам Н. Н. Анучиной. Общее решение задачи о набегании волны Римана на тра. нину двух сред имеется в работе А. Тауба [1946[. 3. Плоские одномерные течения с переменной знтропией. Метод Мартина. М. Мартину [19536) удалось свести уравнения Газовой динамики к уравнению Монжа — Ампера, а затем Гл.
а ОднОмеРнАя гАзовАя динАмикА 8!8 применить метод промежуточного интеграла (см. гл, 1, 3 12) и получить таким образом обобщение инвариантов Римана на случай течения с переменной энтропией Дальнейшие исследования М. Мартина (1953а), Г.
Ладфорда [1955), Ю. С, Завьялова (1955] позволили полностью определить класс уравнений состояния и функций распределения антропии, для которых применим метод промежуточного интеграла. Будем исходить из уравнений в лагранжевых координатах — + — =О, ди др д! ди ду ди — — — =0 д! дд дд — =О. д! Первым двум уравнениям (1) соответствуют потенциалы !р!, !рз (см. гл.
1, 3 5, п. 3): 'Р' г(д + и Ж = !йр!, (2) и с(Ч вЂ” Р г(г = гйрз (3) Мартин вводит потенциальную функцию $ с помощью равенства О$ = и ОР + ! ЫР = БРА+ й (Р!). (4) (5) (6) (7) (8) Подставляя (6) в (2), находим йр! = (У+ и$ри) Фр+ и3РР с! . (9) Условие полного дифференциала для уравнения (9) с учетом (7) приводит к уравнению Монжа — Ампера для функции $: 3!и~РР ~р" др ду(р, 8) (10) Для определенного уравнения состояния У = У (р, 3) и заданного распределения знтропии 3= 3 (О) в правой части уравне- """ (!0) мы имеет определенную функцию и( ) ду(Р, (я)1 др (! 1) Из равенства (4) имеем: д8 — =и, дд йи=й,рг(р+ЬЬ,г(4, ди — =$ др ир' д! — =$ др д$ др (! =АБРА (р + йр„ й7! ди — =$ ' дд ФР д! дч дд 6 к лнллитичвскив вешания одномвгноп глзовои динлмики з1з (14) (16) (17) (19) = — „~уАтр з! = х с.
(21) и уравнение (10) принимает вид уравнения — ~',+~ (, (12) изученного нами в главе 1, $12. Заметим, что выбор р, д в качестве независимых переменных означает, что р не является функцией д или, что то же, 5, т. е. термодинамические параметры течения составляют двумерное многообразие, Исключительный случай, когда р = р(З), будет нами рас- смотрен позднее. Метод Мартина заключается в отыскании семейства решений уравнения (12) с однофункциональным произволом, удовлетво- ряющих дополнительному соотношению ф(р, д, $, $,, $,) =<р(р, д, $, 1, и)=сопз1. (13) Соотношение (13) есть промежуточный интеграл уравнения Монжа — Ампера (12). Ясно, что уравнения (12), (13) совместны только для опреде- ленной функции 1(р, д).
Полный анализ совместности, прове- денный М. Мартином, Г. Ладфордом и независимо Ю. С. За. вьяловым, показал, что промежуточный интеграл существует для д! ~ Фу ць!(р,!!: !(Р, Г! — 1! ! Р !- !), !=!,+..! ъ '(" ",). В первом случае <р= а!1 — а,и ~у(а!р+ а,я). Во втором случае !р = $ — '! (р + а,) — и (д + ае) ~ д ( ! ) . В обоих случаях д(0) связано с Р(0) соотношением 8'(Е) - )/Р'(О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
