Главная » Просмотр файлов » Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике

Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 53

Файл №1161626 Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике) 53 страницаБ.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626) страница 532019-09-19СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 53)

(34) Для функции Римана )т($н $,; х„х,) уравнения (34) справедливо представление (см. гл. 1, з 13, п. 4) )т ($н 5,; хн х,) = (1 — 5) г" (т, т, 1, $), (35) $9, АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНТ!Я ОДТ!ОМЕРНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 313 Заметим, что при целом и ряд (37) становится полиномом. Можно показать, что при целом и! уравнение (34) допускает дифференциальную связь т-го порядка н, обратно, если уравнение вида (!5) допускает дифференциальную связь гп-го порядка, то Р(х! + хх) удовлетворяет уравнению, среди решений которого к9 (99 — 1) имеются функции, . Поясним это утверждение приме(х|+ х,)' ' ром.

Рассмотрим уравнение (15), допускающее связь второго порядка. Тогда, как было показано в главе 1, 5 12, Р(х!+ к9) удовлетворяет уравнению д' )п Р— =Р дк! дк9 (38) которое в нашем случае принимает вид РРЕ Рм Рэ (39) где штрих означает производную по 8 =к!+хз. Уравнению (39) удовлетворяет функция при т = 2. Общий интеграл уравнения (38) имеет вид =1п 1 з/С, + 2Р— з/С~ Ч/С~ Ч/С1 + 2Р + А/С, агс1п А/ 2 /С!+2Р )/:С! 'А/ — С, С! ) О, (40) С, ( 0.

В+С = Пользуясь произвольными постоянными С!, СА, с помощью функции (40) можно аппроксимировать функции Р(9) и получать хорошие приближения. Таким образом Г.А. Домбровский [19641 получил аппроксимации уравнения Дарбу. В следующем пункте мы покажем, как знание общего интеграла уравнения Дарбу позволяет решать некоторые задачи газовой динамики, приводящие к интерференции простых волн. 2. Задачи о взаимодействии элементарных решений.

Мы рас. смотрим две задачи: а) о взаимодействии двух волн Римана; б) о набегании волны Римана на границу двух сред. Пусть в момент / = 19 из точки х = х9 начинает распространяться центрированная Г-волна, а в момент 1= 1! из точки л = х! — центрированная з-волна. Мы можем предположить, что центрированные волны получаются в результате выдвижения поршней нз газа с постоянной скоростью (рис. 2.77), гл. а одномвюгяя гхзовоя динкмикх 77 г =го з=Й х~ ) зо' !П: и=ио — — О, с к — к, оо х — к~ х — а = — = аз + йго. о — т (5) В зоне П, которой является зоной интерференции и отображается в прямоугольник РЯТК плоскости г, з (рис. 2.78), Ахр, 4зд Рис.

2.78. Ряс. 2.77. справедливо представление к — (аг + йз) ~ = —,, 1 д27 — (-+ 6 )(= — „.,) дах (6) Пользуясь (4) и (5), для ((7 в прямоугольнике РМТК на сторо- нах РК РЯ можно поставить краевые условия, составляющие задачу Гурса: Рйо с=го, — =й — т(аз+рго)' двг дх РФ = —, = — й+ ( + йзо).

дпг (8) В зонах ! — )7 решение имеет вид: Г=Г~ з=зо~ Г~ (го', 2 =со, с=го= — со, х+Ь = — =ах+ рко' о+к ) где )(7 удовлетворяет уравнению (1) (2) 2 з — хо= со' (8) у — 1 (4) з к хнхлитичвскив ввшаиия одномввноп газовон динамики з)в Краевые условия (8) приводят к соотношениям (г0 — с) я ( ) + я (~) + 1(г0) )) ( + „ ) (г0 — с)х (г — с ) Г (г) — 1(г) — я(х,) й+ ( + й (10) (~ со) + (ш'+й~д Предположим для простоты, что т = О, т.

е. выдвижение поршней происходит одновременно. Тогда соотношения (10) примут вид (гс — з) 8' (з) + ~ (з) + 1 (го) = й (го — з)'~ (г — зо) ( (г) — 1 (г) — Ы (зс) = — и (г — зз)' (11) т. е. 1(г), д(г) являются полиномами второй степени от своих переменных. Таким образом, учитывая, что %' определяется с точностью до аддитивной константы, можно положить Аг + Вс'+ С (г + с) + () (12) Удовлетворяя краевым условиям (8), находим А, В, С, О, получая для яг окончательное выражение — ь(ге+ з ) + )васо Я)' = г — а (13) Формулы (6), (13) определяют решение в зоне )г1.

В зонах /У', )г' мы имеем бегущие волны Римана, уже нецентрированные, которые нетрудно рассчитать. Рассмотрим теперь взаимодействие бегущей волны с контактной границей. Из точки к = О, г = 0 распространяется центрированная з-волна Римана, которая набегает на контактную границу, находящуюся при ( = 0 в точке к = — Ь (рис. 2.79). Мы вновь рассмотрим случай, когда обе среды являются политропными газами с у = †.

Картина движения описывается фор- 5 3' мулами: с =с0, область П г = го, з = со= — го и=по=О; область П: г=ге, аз+ рге=$= область 1П: г = го з — — з,; область ЧП1: г = г„з= з~ — — — г„ В=Вь (14) (15) (16) В = В .

(17) х с=си Решим эту задачу для у= —. Общий интеграл уравнения (7) 5 з' примет вид 1 (г) + а (с) (9) à — 5 3!6 гл. к одномн нля глзовля динлмикл 1У есть область интерференции падающей и отраженной волн, области П, У вЂ” бегущие волны, области П, УП, У1П— области постоянного течения. Определим прежде всего течение в области 1У (рис.

2.80). Пользуясь формулами (6), можно поставить для функции Яг(г, з) краевые условия на линии АС: г = го, х — (аз + Рго) ! = В', (г, з) = О. (18) Отсюда, пользуясь формулой общего интеграла (9), получаем й (з)(го — з) + 1 (го) + а (з) = О. (19) Из уравнения (19) следует, что д(г) есть линейная функция от з. Так как )1г определяется с точностью до аддитивной Рис. 2.80 Рис. 2.79. константы, то сумма 1(г)+ д(з) может содержать слагаемое С(г — з) с произвольной константой С.

За счет выбора константы С можно положить д(з) = = сопз1= В. Перебрасывая В в 1(г), получаем окончательно )р (г, з) , 1 (г ) — О, (20) Рассмотрим теперь краевое условие на контактной границе АВ. Определим сначала линию АВ в плоскости годографа. Принимая во внимание постоянство инварианта г = г~ слева от границы, из условий на контактной границе находим, что величины г, и на правой стороне границы связаны линейным соотношением з= — г — — гв х= ~ — ) 1+х 2х гАохт 1 — х 1 — х ' ~А ) (21) где Ао, А~ — энтропийные константы газов справа, соответствен- но слева от границы.

А о. АнАлнтические Решения ОднОмеРнОЙ ГАЗОВОЙ динАмики 317 Краевое условие на АВ в плоскости х, 1 имеет вид ах г+о ~й 2 (22) Пользуясь формулами (6), (21), получаем [(6 — а) (г — з)(ЯГ,„ + 67„) + Яг, — ЯГ,[ Й' + + [(3 — а) (г — з) (Яг„+ Я7„) + Й7, — 67,] аз = О, (23) Ыз = — о(г.

(24) Отсюда, принимая во внимание, что из (21) следует 2к г — з = — (г — г~), к — 1 (25) получаем уравнение для 1(г) ко(г — г~)' [" + к(3 — к)(г — г,) ['+3(1 — к)~=О, (26) общий интеграл которого имеет вид 1(г)=С1 (г — г~) '+ Со(г — г~~), (27) где Сн С,— произвольные константы, Лн Л,— корни характеристического уравнения к'Ло + к (3 — 2к) Л + 3 (1 — к) = О. (28) Константы Сн Со определяются из условий 1 (го) = С1 (го — г 1) ' + Со (го — г ~) ' = О, (29) 1 (го)=С1Л1(го — г~) ' +С,ЛА(го — г~) ' '= — 2го(Уго+со1о) (30) Заметим в заключение, что прошедшая волна 11' является бегущей волной разрежения, волна У может быть как волной разрежения, так и волной сжатия.

В случае го ~ гс мы имеем волну разрежения, в случае гв гс — волну сжатия. Как показывают исследования в $3, п. 5, отраженная волна У будет волной разрежения при к ) 1, волной сжатия при к(1. В случае к) 1 области П', У будут двумя волнами разрежения и полученное решение при й-э 0 будет стремиться к решению соответствующей задачи о распаде разрыва (см.

9 8, п. 2). Приведенное решение указано нам Н. Н. Анучиной. Общее решение задачи о набегании волны Римана на тра. нину двух сред имеется в работе А. Тауба [1946[. 3. Плоские одномерные течения с переменной знтропией. Метод Мартина. М. Мартину [19536) удалось свести уравнения Газовой динамики к уравнению Монжа — Ампера, а затем Гл.

а ОднОмеРнАя гАзовАя динАмикА 8!8 применить метод промежуточного интеграла (см. гл, 1, 3 12) и получить таким образом обобщение инвариантов Римана на случай течения с переменной энтропией Дальнейшие исследования М. Мартина (1953а), Г.

Ладфорда [1955), Ю. С, Завьялова (1955] позволили полностью определить класс уравнений состояния и функций распределения антропии, для которых применим метод промежуточного интеграла. Будем исходить из уравнений в лагранжевых координатах — + — =О, ди др д! ди ду ди — — — =0 д! дд дд — =О. д! Первым двум уравнениям (1) соответствуют потенциалы !р!, !рз (см. гл.

1, 3 5, п. 3): 'Р' г(д + и Ж = !йр!, (2) и с(Ч вЂ” Р г(г = гйрз (3) Мартин вводит потенциальную функцию $ с помощью равенства О$ = и ОР + ! ЫР = БРА+ й (Р!). (4) (5) (6) (7) (8) Подставляя (6) в (2), находим йр! = (У+ и$ри) Фр+ и3РР с! . (9) Условие полного дифференциала для уравнения (9) с учетом (7) приводит к уравнению Монжа — Ампера для функции $: 3!и~РР ~р" др ду(р, 8) (10) Для определенного уравнения состояния У = У (р, 3) и заданного распределения знтропии 3= 3 (О) в правой части уравне- """ (!0) мы имеет определенную функцию и( ) ду(Р, (я)1 др (! 1) Из равенства (4) имеем: д8 — =и, дд йи=й,рг(р+ЬЬ,г(4, ди — =$ др ир' д! — =$ др д$ др (! =АБРА (р + йр„ й7! ди — =$ ' дд ФР д! дч дд 6 к лнллитичвскив вешания одномвгноп глзовои динлмики з1з (14) (16) (17) (19) = — „~уАтр з! = х с.

(21) и уравнение (10) принимает вид уравнения — ~',+~ (, (12) изученного нами в главе 1, $12. Заметим, что выбор р, д в качестве независимых переменных означает, что р не является функцией д или, что то же, 5, т. е. термодинамические параметры течения составляют двумерное многообразие, Исключительный случай, когда р = р(З), будет нами рас- смотрен позднее. Метод Мартина заключается в отыскании семейства решений уравнения (12) с однофункциональным произволом, удовлетво- ряющих дополнительному соотношению ф(р, д, $, $,, $,) =<р(р, д, $, 1, и)=сопз1. (13) Соотношение (13) есть промежуточный интеграл уравнения Монжа — Ампера (12). Ясно, что уравнения (12), (13) совместны только для опреде- ленной функции 1(р, д).

Полный анализ совместности, прове- денный М. Мартином, Г. Ладфордом и независимо Ю. С. За. вьяловым, показал, что промежуточный интеграл существует для д! ~ Фу ць!(р,!!: !(Р, Г! — 1! ! Р !- !), !=!,+..! ъ '(" ",). В первом случае <р= а!1 — а,и ~у(а!р+ а,я). Во втором случае !р = $ — '! (р + а,) — и (д + ае) ~ д ( ! ) . В обоих случаях д(0) связано с Р(0) соотношением 8'(Е) - )/Р'(О).

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6521
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее