Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 56
Текст из файла (страница 56)
нием каверны, граница которой в плоскости х, ! изображается $-линией. Задача о точечном взрыве рассматривалась нами в адиабатическом приближении без учета теплопроводности. Ясно, что при достаточно малых ! концентрация энергии высока и следует учитывать процесс теплопроводности, $ К ЛНХЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 333 Задача о точечном взрыве с учетом теплопроводности рассмотрена в работах В, П.
Коробейникова [1961], В. Е. Неуважаева (1962]. Весьма близка по постановке к задаче о точечном взрыве задача о движении, возникающем под действием поршня, имеющего сферическую (цилиндрическую, плоскую) поверхность, Если предполагать, что скорость поршня меняется по степенному закону и„= сопз(Г, (54) то возникающее течение описывается автомодельнымн уравнениями (12). В отличие от задачи о точечном взрыве, здесь имеется только один интеграл адиабатичности (13) и отсутствует интеграл энергии. Поэтому система (12), из которой 3=ли р исключается с помощшо интеграла (13), сводится к двум уравнениям для и(е), )'Л).
Рассматриваемое течение ) 1 х ограничено двумя $-линиями: е(п~ линией ударной волны и ли- г+' нией поршня (рис. 2,83). От- 'Гбтд= ~ г сюда следует, что а = —, 1= О. (55) Х' Рис 2.33. Для и($), Й($) ставятся следующие краевые условия: на ударной волне, когда 3= ЧР у+1 и (Ч ) =, +, —,. )с (Ч~) = —, (56) на линии поршня, когда й=Ч„, и (Чи) у 1 (57) Интегрирование системы для и($), )с(„-) ведется от значения в = Ч~ до значения $ = Чя, при котором выполняется условие (57).
Так как интеграл энергии отсутствует, то показатель й является произвольным. Задача о поршне подробно исследована в работах Н. Л, Крашенинникова, Н. С. Мельниковой и Н. Н. Кочиной. Мы отсылаем читателя к монографии В. П. Коробейникова 11961], в которой даны подробный анализ задачи о поршне и точечном взрыве и ссылки. Весьма интересное решение еще одной автомодельной задачи — задачи о мгновенном ударе было дано Я.
Б. Зельдовичем гл, к одномерная газовая дщтамикл [1956[ и исследовано в дальнейшем В. Б. Адамским [1956), А. И. Жуковым и Я. М. Кажданом [1956[. 7. Автомодельные решения в лагранжевых координатах. Уравнения (9.6.!) после перехода к массовой лагранжевой ко- ординате о (х, 1) = ~ р (х, 1) х' с(х е принимают вид: а) да др + тч д1 ' дч дт' д (кхч) =О, б) (2) =О в) дх — = и. дт г) (4) ) Случай неоднородной связи и = А(1)х+ В(1) противоречит условию симметрии и(0, 1) = о такого рода течения рассматривались также А.
И. )Ку. ковмм (частное соокгаеине), Хефеле 1! 954], Хорнером 11955], Келлером [1954]. Пользуясь представлением (9.6.10), из (1) находим 1+— ч+! д= р",, ~ (с(",)ьчс$. (3) Отсюда следует, что величина Ч=ЧФ = Ф ч<-~) ккн ~ ~+~ ) Ра есть функция $. Учитывая (9.6.10), находим, что величины 1': (и, У, Я, х) представляются в виде 1= (о('г'(Ч), (5) что и доказывает автомодельность в лагранжевых координатах. 8. Течения с линейным профилем скорости.
Весьма интерес. ный класс решений, обладающий функциональным произволом, был рассмотрен Л. И. Седовым [19541. Этот класс полностью определяется наличием линейного профиля скорости*) и = А (() х. (1) Дифференцируя равенство (1) по г и принимая во внимание (9.7.2г), находим д" =[ — „+ А)и, А= — „ (2) А К АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 33? Интегрируя (2) по 1, получаем (4) Ф()) = Ф(В(Ч)). (7) Уравнение (9.7.2а) позволит определить функции С(Г) и согласовать произвольные функции (7(д), ф(д). Подставляя (3), (6) в (9.7.2а), находим после разделения переменных С"~ +и С(1)= — (т+ 1)" р, (8) (9) где р — постоянная, Если С(Г) удовлетворяет уравнению (8), а функции (7(д), ф(д) согласованы с помощью уравнения (9), то равенства (3)— (6) определяют решение, зависящее от одной произвольной функции.
Решение (3) †(6) может быть реализовано как исте- чение в вакуум сферического объема газа и течение газа за сходящейся сферической волной. Подробное исследование этих течений проведено в монографии Л. И. Седова [19571. и= В(1)(7(д), В(1) =е~~А (3) где 0(д) — произвольная функция д. Интегрируя по ! уравнение (9.7.2г), имеем х = С (1) (7 (д), С (1) = ~ В (1) Ж.
Равенства (1), (3), (4) непротиворечивы, так как без труда можно убедиться, что В =АС. Из уравнения (9.7.2б) определяется (Г: Р= —. ст ы (Г) ли'+' (ч) т+! Ыд (5) Отсюда, пользуясь уравнением состояния (9.6.2), получаем выражение для р р=ф(4)1' "=( +1)'С(1) "+"Ф(Г))~ и ~, (6) где Глава 3 Разностные методы решения уравнений газовой динамики В этой главе мы излагаем основные понятия и факты из теории разностиых схем, методы построения вычислительных алгоритмов, которые находят применение при численном решении задач газовой динамики.
Мы рассматриваем здесь лишь основные вопросы этой теории, отсылая читателя за подробностями к монографиям и журнальным статьям. В последние годы появилось несколько монографий и учебных пособий, посвященных рассматриваемым нами вопросам (см., например, С. К. Годунов, В. С. Рябенький [1973], Г. И. Марчук [1973[, Р. Рихтмайер, К. Мортон [1967[, А. А, Самарский [197Ц, А.
А. Самарский, А. В. Гулин [1973[ и др.), Отметим главную особенность, связанную с численным решением задач газовой динамики. Она состоит в том, что большинство рассматриваемых здесь задач нелинейиы, а теория разностных методов развита в основном для линейных задач. Поэтому утверждения и построения, строгие лишь для линейных задач, применяются также и для задач газовой динамики, Необходимо иметь в виду, что этот перенос на нелинейные задачи методов, применимых для линейных задач, не всегда обоснован, хотя и необходим. Теория разностных методов имеет два основных аспекта: 1) методы построения разностных схем; 2) обоснование выбранной разностной схемы, т.
е. исследование сходимости вычислительного алгоритма или, лучше, оценка точности решения поставленной задачи. В практическом плане очень важно исследование экономичности алгоритма по затратам машинного времени для достижения необходимой точности. Предварительно мы напомним ряд сведений из теории дифференциальных уравнений с частными производными и функционального анализа, необходимых при дальнейшем изложении. 5 1.
Задача Коши в банаховом пространстве для систем линейных дифференциальных уравнений 1. Линейные операторы в нормированных пространствах. Конечномерным унитарным пространством Уэ называется комплексное пространство Х„векторов х, в котором для каждого 5 !. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕ!сщсАЛЬИЫХ УРАВНЕПИИ 339 элемента х = (хс, ..., кн) еи Хн введена норма [[х[! по правилу [[к!!с= ~ хсхс, (1) где к; — компоненты вектора х, а кс комплексно сопряжены хс. Пусть А — линейньсй оператор в (!н.
Эрмитовой нормой [!А!! оператора А называется верхняя грань величины !!лх[! )[Х[! где к чь Π— элемент (сн, а [[х[[, ![Ах[! понимаются в смысле (1). Линейное функциональное пространство Х = (и) называется нормированным, если для каждого элемента (функции) иеиХ определено некоторое неотрицательное число [!и![, называемое нормой и, так что выполняются требования: 1) [!и[! О для любого элемента и еи Х, не являющегося нулевым; норма нулевого элемента равна О; 2) [!и!+ и![! ( [[и![!+!!и![! (неравенство треугольника); 3) [!си[! = [с[ ![и[!.
Введение нормы позволяет определить предельный переход в пространстве Х. По определению и =!пп ис, если ![и — ис[! — О, с- оо, ис еи Х, и еи Х. Последовательность (ис) называется фундаментальной, если при с, 1) йс [! ис — и! [! ~ (е (У) и з(Ф)-с-О при с!с- оо. Нормированное пространство Х называется полным или банаховым, если любая фундаментальная последовательность (и!) сходится к некоторому элементу и ~ Х. В дальнейшем, если не указана конкретная норма, полные нормированные пространства будем обозначать буквой В.
Пусть У ~ В есть некоторый класс функций. Образуем множество 0 (замыкание (с') следующим образом: иеи0, если и есть предел последовательности (ис), исаи (с'. Ясно, что У о: — (с, и 0 можно определить как пополнение У предельными элементами. Класс У с: В называется плотным в В, если 0 = В. Рассмотрим примеры некоторых функциональных пространств.
Линейное пространство функций и(х), непрерывных на сегменте [а,й[ вместе со всеми производными до порядка р включительно, становится банаховым пространством, если ввести норму [! и [! = !пах псах (! и (х) с, ! и' (х) [, ..., ! исе! (к) !), к еи [а, Ь[. 540 гл. а. плзностныв методы газовои динамики Это пространство мы будем обозначать С (а, Ь). В частности, пространство непрерывных функций и(к) с нормой !1и]1 = = шах/и(х) ! будем обозначать Со(а, Ь) или просто С(а, Ь) к Пространство функций, суммируемых с квадратом на отрезке [а, Ь], в котором введена норма ь 11 и 11а = ~ !и (х) 1а йх, а будем обозначать Ет(а, Ь). Для нормы в Ьт справедливо соотношение (неравенство Буняковского — Шварца) 11 в 1Г ~ 11 и )! !1 о 11, где ьо (х) = !и (х) о (к) ! '.
Совокупность полиномов Ра(к) = а„х" (сх = О, 1, ..., п) плотна в С(а, Ь) (теорема Вейерштрасса). Совокупность тригонометрических полипомов Т„(х) = а„е' " (а = — п, ..., О, ..., п) плотна в пространстве С(а, Ь) непрерывных периодических функций при Ь вЂ” а и 2и, С(а, Ь) плотно в И(а, Ь). Пусть А — линейный оператор, определенный на некотором плотном классе У с: В и переводящий функцию и ~ У в функцию о ен В. Нормой 1!А!1 оператора А будем называть величину 1!А 11=пир ~~ ", иен0, 1~и11чьО. Оператор Л будем называть ограниченным, если ~1Л1~( оо, и неограниченным в противном случае.
Ограниченный оператор А обладает свойствами: а) Ли=!пп Лип если и= ]пп и,, и, и~ ен У; С-+а» 1.+ б) если (иа) — фундаментальная последовательность, то Ли; — также фундаментальная последовательность, Если Л вЂ” ограниченный оператор, то область У его определения можно расширить на все пространство В (расиьиремие оператора А)"). Обозначим расширенный оператор через Л. По определению, Ли=]пп Аиь и=!пп иь 1 -> ю ь.+ ') См. по повалу расширеиия оператора, например, В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
