Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 57
Текст из файла (страница 57)
И. Смирнов !1959], Л. А. Лвстериик, В. И. Соболев 1!951], Л. В. Каиторович, Г. П. Акилой [!959]. $ ~ зхдячх коши для дич евгвнцихльпых тгхвнзпии 34! Нетрудно показать, что Аи = Аи, и ен У, ~( А з = з Л з. Пример расширения оператора (нелинейного) приведен в э 8 главы 1. Будем рассматривать пространство В липшиц-непрерывных функций и(х) с нормой ~~ ~~= .Р -(~.ы~. — '"Я==-Я-'-') х. х' Дифференцируемые функции и ен С, образуют в этом пространстве плотный класс. Оператор 5 решения задачи Коши для квазилинейных уравнений мы определили в э 8 главы 1 в пространстве Сь при этом решение и = 5и, ограничено в норме В. Поэзому оператор 5 можно расширить на класс В липшиц-непрерывных функций. Расширенный оператор 5 ставит в соответствие каждой иг ец В решение и = 5иж ограниченное в В и являющееся обобщенным решением системы уравнений.
Совокупность операторов А, определенных в В, образует линейное пространство Х,. Это пространство становится нормированным, если в качестве нормы оператора А, рассматриваемого как элемент Хж ввести его норму, кзк норму оператора в В (индуинрованная норма). Тогда можно определить близость ограниченных операторов, и мы будем говорить, что семейство ограниченных операторов А(т), зависящих от параметра т, сходится к А в смысле равномерной топологии, если гЛ(т) — Л(1 — +О, т — +О.
Можно говорить о сходимости операторов А(т) к А в смысле сильной топологии, если з(Л(т) — А)и(~-~О при т- О для произвольного и ец В. Наконец, если семейство операторов Л(т) является в совокупности неограниченным, то близость операторов А(т) может оцениваться на некотором функциональном классе У~ В. В этом случае, если 1~(А(т) — А1и~! - О при т- О для произвольного и ~ У, то мы будем говорить, что семейство А(т) аппраксимирует оператор А в классе У, и обозначать это так; А(т) — А. В дальнейшем мы будем кратко говорить, что оператор А(т), зависящий от параметра т, аппраксимирует оператор А. Рассмотрим теперь некоторые пространства, связанные с разностными схемами. Коротко говоря, разностные методы интегрирования систем дифференциальных, интегро-дифференциальных и интегральных уравнений математической физики заключаются в переходе от производных к разностиым отношениям и от интегралов к суммам.
Э42 гл. о иозпостиыв мвтоды гхзовои дипхмики В практическом плане это означает переход от бесконечно- мерного пространства функций непрерывного аргумента к конечномерному пространству сеточных функций и сведение уравнений для функций непрерывного аргумента к алгебраическим соотношениям. Такое рассмотрение, удобное на практике, вызывает трудности при доказательстве сходимости, так как сеточная функция и аппроксимируемая ею функция непрерывного аргумента определены в разных пространствах с разными нормами. Кроме того, норма сеточной функции зависит от параметров сетки и меняется вместе с ними. Поэтому в теоретическом исследовании более удобно рассматривать разностные операторы в том же функциональном пространстве, что и аппроксимируемые ими операторы. При этом способе рассмотрения мы считаем, что разностные уравнения удовлетворяются функциями непрерывного аргумента в каждой точке рассматриваемой области.
Как мы увидим, такое рассмотрение не всегда возможно. Проиллюстрируем на простом примере оба способа рассмотрения. Поставим для уравнения теплопроводности ди д'и — =а' —, а=сопя( д! дх! ' смешанную задачу Коши: и (х, 0) = и, (х), 0 < х < 1; и(0, !)=и(1, 1)=0, 0«14 1о. (3) (4) Введем сетку в плоскости х, 1, положив х!=!й (с=0,1, ..., У+1), Ф+1= — „, (5) г =тт (!а=0,1, ..., М), М= — '. и +' — и и — 2и +и~ !-! ! !+! йо по=и (!й), и'"=О, и"' =О.
! о о м+! При фиксированном л! величины и! (!=1, ..., У) будем считать компонентами У-мерного вектора и, для которого можно определить ту или иную норму, например: 1! и'" 4 = ш а х ) и'," ~ (! = 1, ..., Ф) Определим сеточную функцию и,. в точках сетки (5), обозначив через и'," значение функции в точке х!=!а, ~ =!пт. Заменим соотношения (2) — (4) алгебраическими соотношениями $ !. ЗАЛАЧА КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ 343 или !)и'"))= Ь ~ (и",.')'.
! ! Обычно сеточную функцую и'," распространяют каким-либо образом, например с помощью интерполяции, на всю рассматриваемую область О<х<<~, 0<<1<~1,. Доказательство сходимости и, к и(х, 1) можно получить, доказав сходемость полученной интерполяцией функции й (х, 1) к и(х, 1), либо доказав, что (и',")- (и(!а, тт)) при всех 0 ( 1' ( —, 0 ( т ( — ' и т, Ь -+ О. Легко видеть, что решение смешанной задачи (2) — (4) сводится к решению задачи Коши для уравнения (2) с начальным условием и (х, 0) = и,(х), — со < х < со, (6) поставленным на всей прямой г = О, если функция и„(х) перио- дична с периодом 2! и нечетна на отрезке [ — й !).
Действительно, в этом случае начальная функция ис(х) и решение и(х,4) за- дачи (2), (6) представляются рядами: Аях /лх ис(х)=~ ахейп —, и(х, 1)=~ ах(1)эгп —, ах(0)=аь, А ! А-! и, следовательно, начальные данные (3) и краевые условия (4) выполняются. При этом решение и(х, ~) задачи (2), (6) будет периодиче- ской функцией переменного х с периодом 26 которая в полосе 0(х< ! совпадает с решением смешанной задачи (2) — (4). Задачу Коши (2), (6) с периодической функцией ис(х) заме- ним следующей разностной задачей: а(х, 1+ т) — й Гх, 1) з йгх+ А, 1) — Ей(х, 1) + Д Гх — Ь, 1) т = а- А' е й (х, 0) =и,(х), — со < х < со, для функции й(х, 1).
При этом рассмотрении краевые условия исчезли, и начальное условие (8) в сочетании с разностным уравнением (7) позволяет определить функцию й(х, 1) на прямых ! = йт (й=), 2,,) Таким образом, при фиксированном ! = йт функции и(х, () и й(х, 1) определены на всей прямой — со х( со Доказательство сходимости й(х, !) к и(х, !) сводится к доказательству 344 гл. з глзностныг. методы гхзовои дннлмнкн сходимости функций одного переменною на прямых г = сопз1. Ясно, что такое рассмотрение возможно не при любых краевых условиях (4).
В тех случаях, когда следует рассмотреть вопросы, связанные с краевыми условиями, мы будем переходить к сеточным функциям. В последующих пунктах мы дадим сравнительный анализ задач Коши для разностных и дифференциальных уравнений. В заключение этого пункта условимся о следующих обозначениях. Если функция и(х, 7) при произвольно фиксированном С принадлежит, как функция от х, банахову пространству В, то мы можем рассматривать ее как однопараметрическое семейство элементов этого пространства и обозначать сс(7)ен В. В частности, и(с) енСе(а, Ь) означает, что и(х, с) при фиксированном 7 имеет на отрезке [а, Ь] с) непрерывных производных по х; и(У) ен Ес( — Е 1) означает, что с ~ и'(х, Е)Вх < оо. Иногда для краткости мы будем опускать область определения функций и писать просто С„, Ет и т, д.
2. Корректность задачи Коши в банаховом пространстве для систем линейных дифференциальных уравнений. Теория обобшенных решений дифференциальных уравнений начала развиваться сравнительно недавно, с 40-х годов настоящего столетия. Отсылая читателя, желающего ознакомиться с этим вопросом более глубоко, к монографиям С. Л. Соболева [1950], Л. Шварца [1950], И. М. Гельфанда, Г. Е. Шилова [1958], Л. Херлсаи. дера [1963], мы изложим вкратце более специальную теорию, не требующую понятия обобщенной функции и производной*).
В полосе Сн [х[< оо, 0 ( 1< 1 рассмотрим систему — = Е (0) и, (1) где и = (ис (х, У), ..., и„(х, 7) ) — веетор-функция от х, У; Е(0)— дифференциально-матричный оператор, коэффициенты которого зависят от х, й Е(0)=А,(х, 7)0', а=1, ..., р, 0= —, (2) А,(х, С)=$$аос(х, С)Ц (с', 1'=1, ..., а; а=1, ..., р).
(3) Решением системы (1) называется функция и(х, с), имеющая непрерывные производные, встречающиеся в (1), и удовлетворяющая уравнениям (1). От решения и(х,() требуется, таким ') См. Э. Хилле 1!957], Р. Рихтмейер, К. Мортон 11967]. О ! ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИЛЛЫ1ЫХ УРАВИЕЦИП 345 образом, дифференцируемость по 1' и наличие непрерывной производной д Р' при любом 1, т. е. и(1) ев Ср. Для системы дои (х, !) дхо (1) могут быть поставлены начальные условии и(х 1а)=ио(А), 0~(1а(~1. (4) Мы будем предполагать периодичность коэффициентов системы (1) и начальной функции ио(х) по х с периодом 20 Относительно системы (1) предположим, далее, что для произвольного 1» я 10, У) и произвольной функции иа(х) я С» (д > р) сушествует единственное решение и(х, 1), определенное в полосе то ( 1 ~ 1.
Очевидно, это решение и(х, 1) будет периодической функцией переменного х с тем же периодом 2Е Таким образом, рассмотрение периодической по х задачи (1), (4) позволяет нам не рассматривать на первой стадии изучения этой задачи сложные вопросы о корректной постановке краевых условий. Точнее говоря, мы рассматриваем вполне определенные краевые уело.
вия, именно, условия периодичности и(х+ 21, 1) — и(х, 1), для которых корректность постановки задачи (1), (4) изучается сравнительно просто, в частности, с помощью метода Фурье. Аналогичный подход мы применим и при изучении разностного аналога задачи (1), (4) в $2. Поставив условие периодичности по переменному х, мы опять отложим рассмотрение вопроса о краевых условиях других типов, который для разностной краевой задачи также весьма сложен. Соответствие и(1»)- и(1) (1о(1 =1), которое можно записать в виде и(1) = 5 (1 то) ио(х) = 5(1 !о) и(га), (б) определяет оператор перехода 5(й !а) . Если при любой ио(х) е= ен С, и(1) ен С„, 1» ( 1 ( У, то будем говорить о системе (1), что она обладает свойством продолжиемости в С».
В этом случае семейство операторов 5(й 1») обладает свойством композиции в С», т. е. 5((„1»)=5(1» ~!) 5(11 1») 0~(1»(11 ~(11~~( (6) а также свойством непрерывности !1[5(!+т, 1) — Е)и(!)Це — ~0, т-оО. (ба) Равенство (6) означает, что многократное применение оператора перехода не выводит функцию и(!) из пространства С,. Если при этом 1~5(1о, 1!Цс <М((), О(~1(1х<(, (7) 34Е ГЛ 3 РАЗИОСТ11ЫЕ МЕТОДЫ ГАЗОВОИ ДИНАМИКИ то будем называть задачу Коши (1), (4) корректной в С . Если 1~5(1+я, 1))~с <1+СР)т, 0(1(1+я(1, (8) то задачу (1), (4) будем называть равномерно корректной в С,. Мы будем называть также оператор 5(~,, ~1) оператором решения задачи Коши, оператор 5(~+ т, т) — оператором шага. Если начальные данные не принадлежат С, или система (!) не обладает свойством продолжаемости в Сч, возникает необходимость в определении обобщенного решения, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
