Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 60

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 60)

Разностная задача Коши. Рассмотренной в $1 задаче Коши (!.2.1), (1.2.4): —,= 1.(0)и, ди д1 и(х, 0) =ио(х); 0(! ~~1, д где и=(ии ..., и.), В= д„, 1. (О) = А„0', а = 1, ..., р, А„=(а" (х,1)~ (1, !'=1, ..., и; а 1, ..., р), поставим в соответствие разностную задачу Коши: " = Л, и'"+' (х) + Лои'" (х), (3) ты+ ~ и'(х) =ио(х). (4) Здесь Ли Л,— определенные в В операторы, зависящие от 1 =т~ +то+ .. +т, т +, ) О, а также и от других пара- метров. Система уравнений (3), связывающая функции и +', и'" на двух слоях по времени 1=1 +~ и 1 1, называется обычно двухслойной разностной схемой. Так же, как и в $1, будем предполагать, что оператор 1(В) и вектор-функция ио(х) пе- риодичны по переменному х с периодом 21.

От операторов Ль Ло потребуем периодической с периодом 21 зависимости от пере- менного х; тогда мы можем рассматривать периодические реше- ния задачи (3), (4), для которых и (х+21) — и (х), т=О, 1, ... Будем предполагать, что уравнение (3) однозначно разре- шимб в В относительно и +'(х), т. е. что оператор Вм Š— т+Л, звв ГЛ. 3, РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ГАЗОВОИ ДИНАМИКИ обратим в В при всех рассматриваемых значениях параметров. Тогда система уравнений (3) записывается в виде и = Ст+1и"', Ст+~ = Вт (Е+ тт+~Ло). (5) Из формул (5) следует и =-С»и», где С,»= С С„~ ...

С»+ь Оператор С, » будем называть оператором перехода, оператор С = С ~ — оператором шага, оператор С, о — оператором решения задачи (3), (4). Определение. Задача (3), (4) корректна в В, если существует число М(7)- 0 такое, что ~!Ст,,Ц(,»И(() (7) для всех 0 < я < т — 1, 1 < 7 и любых достаточно малых (т»); равномерно корректна в В, если существует У ) 0 такое, что !! С.!1,=!~С., „, ~~,»1+ Дт„ (8) для всех т и достаточно малых т . Если задача Коши (3), (4) является корректной, разностную схему (3) будем называть устойчивой. Оп редел е н и е.

Задача (3), (4) аппроксимирует задачу (1), (2) в пространстве В, если Ц (3 — С ) и (Е,) ~1з —— т в (т ), (9) где Зт = 3 (г , г 1) — оператор перехода системы (1), и,(х)— произвольный элемент В и и(1) = Я(У, 0) и,(х) — обобщенное решение задачи (1), (2), а е (т)-~0 при т-»0 равномерно по т, т. е. е (т) < е(т) и е(т)- 0 при т- О. Определение. Разностную схему (3), (4) будем называть сходни(ейся в В к задаче Коши (1)„(2), если для произвольной начальной функции ио ен В соответствующее решение и (х) задачи (3), (4) сходится к решению и(х, У) задачи Коши (1), (2) в норме В, т. е. тах'Хи (х) — и(х, 1 )1в — — тахП1С .о — З(1, 0))ио(х)Пв- О, (10) 0<~1.<Г, при т = п1ахт -».О. Подчеркнем, что из сходимости (!0) следует, что при любом С 0 < У < 7, П й (х, У) — и (х, !) Ь -» 0 при т-+О.

Здесь й(х, () = и (х), где ( — ближайшая к г точка последовательности (Ь»). а а. ОСНОВНЫЕ ПОГ!ЯТНЯ ТЕОРНН РЛЗНОСТНЫХ СХЕМ 359 Отсюда следует — 5(1,0)=Х С„... С+ (С вЂ” 5)5„, ... 5,= и ! =Й С.,(С,— 5„)5,,, и-! (12) Пользуясь (12)„ получаем [[и — и(Г )![в=[[[С,о — 5(Г 0)[ив[[в~< ~ ~2 [! С~. а [[в[! (Са — 5а) 5 (1а !, 0) ио [!в = и-! = хх [! С, а[[в[! (Са — 5а) и (1а-!) [!в (13) и=! Применяя оценку корректности (7) и оценку аппроксимации (9), находим [! и — и (1 ) [[в ( М (К) ~~'" т„ва (та) (~ Л4 (К) 1„шах еа (та). (14) и-! и Отсюда следует сходимость [[и — и(! )[[в- 0 при т — «О, (15) и теорема доказана.

Теоремы сходимости указанного типа формулировались в работах В. С. Рябенького [1952[, Н. Н. Меймана [1954), П. Лаков, Р. Рихтмайера [1956!. Приведенная нами схема доказательства принадлежит Лаксу и Рихтмайеру. Мы определили аппроксимацию в терминах ограниченных операторов 5 , С . Практически удобнее определять аппроксимацию через неограниченные операторы Е, Л!, Ло '). В этом случае оценка близости производится не на обобшенных решениях и(!) ~ В, а на решениях и(1) еи С, задачи (1), (2). ') Оператор Е, как правило, иеограиичеи, операторы Л„Л,, как правило, ограиичеиы при фиксироваииых т, Л, ио иеограиичеиы при т, Ь вЂ” «О. Перв а я тео р ем а сходи мости.

Если 1) задачи (1), (2) и (3), (4) корректно! в В, 2) задача (3), (4) аппроксимирует задачу (1), (2), то реи!ение и'"(х) задачи (3), (4) сходится в В к решению и(х, 1) задачи (1), (2) . Д о к а з а т е л ь с т в о. Для оценки величины (10) восполь- зуемся представлением 5(1, 0)=5 5, ... 5н С о — — С С, ... С.

(11) ЗЕО Гл. х РАзностные метОды ГАзовоя динАмики при т=шахт,„- О. Оператор Т! (Тт-~ !) — Е р~+! —— , — Л!т,(т.,!) — Л,, тт+ ! где 7ю(т .ы)и((„) = и(Т + т„,+,) =и(1„.ы), и его значение на решении задачи (1), (2) называются остатком разностной схемы (3). Вторая теорема сходимости.

Если 1) задачи (1), (2) и (3), (4) корректны в В, 2) 1 В~ )в = 1 (Š— т !Л!) ! )в ( Л! (Т) 3) разностная схема (3), (4) аппраксимирует задачу (1), (2) в смысле (16), то решение задачи (3), (4) сходится к решению и(!) задачи Коши (1), (2) в норме В, если последнее принадлетхит классу Се Доказательство. Разность о =и — и(Т ) удовлетво- ряет разностиому уравнению ем+! м " =Л,""+Лво.— Р,.„и(Т.) ~П3+ ! и в силу обратимости оператора  — уравнению о"+' = С„+,о'"+ 7„+!, , = — Т,В '!!7 +,и (Т ). где Решение этого разностного уравнения имеет внд о +! = С„,+!, во'+ С,„+! „7„(а = 1, 2, ..., т+ 1). (17) Это без труда проверяется по индукции.

Пользуясь условием 2) теоремы и условием аппроксимации (16), получаем равномерную оценку для 1 +,! $) +! 1в(т !)У(Т)()(т) (18) где 6(т)- О при т=шахт -+О. Теперь из равенства (17), оценок (18), условия корректности (7) разностной задачи (3), (4) и из равенства ов = О получаем О п р е д ел е н я е. Задача (3), (4) аппраксимирует задачу (1), (2) на классе С, в норме В, если для произвольного решения и(1) ен С„задачи (1), (2) шахЦтт' „и (Т )!!в —— =шах ~ +' — Л!и(Т,„+!) — Леи(Т,„)/! -~ О (16) 5 а Основные пОнятия теОРии Рхзностных схем зв) оценку для о"'т' т+~ » ""Ь-»с„„и.~.И ~(Е .)иИии>И Ь= =(,и+~М(()Л((Г)6(т).

(19) Эта оценка означает сходимость решения разностной задачи к решению задачи Коши (1), (2), так как )(о'"+'))з-~ 0 прн любом т (( = г) и т- О. Одновременно это означает сходимость разностной схемы (3), (4) к задаче Коши (1), (2). Теорема до. казана. Теперь рассмотрим подробнее структуру остаточного члена разностной схемы (3). Учитывая, что решение и(()ен С, задачи (1), (2) дифференцируемо по Г, запишем 1' и ((,и+>) — и ((,„) ди (1,и) ~ + д( + (Е.

(О) и (( ) — Л,и (( +,) — Л,и (( )1. (20) Ввиду очевидных оценок и (пи+,) — и (Ьи) ди ((,и) (~ (21) ))Л,и(( +,) — Л,и(( ))!з —— ах(т +,), где а,(т) — ЕО при т- О, мы видим, что условие (16) может быть записано в виде )) (Е (В) — Л, — Л,) и (( ) ~) О (22) при т,~.~ -1-0. Если условие (22) выполнено для любых функций и(() еи С„, то мы говорим, что оператор Л~ + Л, аппроксимирует в классе С, оператор Е(0) в норме В при т = шахт -~.0. Аппроксимацию операторов будем обозначать символом Л1+ Ли з ~(~) (23) Таким образом, мы приходим к следуюшей теореме.

Третья теорема сходимости. Если: 1) задачи (1), (2) и (3), (4) корректны в В, 2) ЧВ т)(з — -~1(Е-т.,+,Л,)-'~!з~~((), 3) Л1 + Л, —, Е (В), то решение разностной задачи (3), (4) сходится по норме В к решению и(х,()~С задачи (1), (2). Сравним теперь эти три определения аппроксимации.

Как мы только что видели, третье определение (23) эквивалентно вто- рому определению (!6), и именно поэтому третья теорема схо- димости не нуждается в отдельном доказательстве. зев гл. з. вхзностныв методы глзовон динлмики При условии, что оператор В обратим в В, из второго определения аппроксимации (16) следует первое определение (формула (9) ) в классе С, ~ В, в котором имеет место (16). В самом деле, пусть1В 1в(Ф(Р), тогда из (16) имеем для и(~)енС,: т„„<.~й„,ч ~и (~~) = Вт 1и (~е ы) — Вт (В+ тт+~Ло) и((„)~ = = В [(5„,+ ~ — С +,) и (г )) Отсюда (5 +~ — С„+~)и(! ) =т +~В 'й„~,и (1 ), 1! (Вт+, — Стэ ) и ()т) $в-= 'тч. )У (О!! К,- и (! ) хв и формула (9) имеет место, так как !1Я +,и(1 )хв — 0 равномерно по гл при т =гпах т +, — эО.

Мы видим, что при условии обратимости в В оператора В~ все три определения аппроксимации разностной схемой (3) системы дифференциальных уравнений (1) достаточны для сходи- мости, однако наиболее проста и формализована проверка аппроксимации согласно определениям (16) и (23), так как она требует проверки локальной аппроксимации оператора Е(0). Однако практическую ценность аппроксимация оператора Е(0), согласно определениям (16) и (23), приобретает лишь после установления ограниченности семейства операторов В ~, так как без этого не имеют места вторая и третья теоремы сходимости. Поэтому для основной задачи в теории разностных методов решения дифференциальных уравнений — установления сходимости разностной схемы и оценки ее точности — все три определения аппроксимации полезны в равной мере.

Тем не менее в практической работе исследование аппроксимации часто заканчивается лишь установлением ее в смысле второго (16) или, что то же самое, третьего определения (23). Это связано с тем, что проверка обратимости операторов В и, главное, равномерная оценка нормы 1В )в — задача значительно более сложная. Однако если это не сделано, то нет полной уверенности в сходимости разностной схемы.

Характеристики

Список файлов книги