Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко - Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике (1161626), страница 58
Текст из файла (страница 58)
е, решения, принадлежащего более широкому пространству, нежели пространство С,. Мы будем предполагать, что супаествует банахово пространство В, содержащее С, как плотный класс и такое, что оператор 5(14, 11) ограничен в норме В на классе и(1) е= С,. Тогда оператор 5(6м 11) может быть расширен в В с сохранением нормы. Равенство (6), где под 5(С Ьг) понимается расширенный оператор, а под и(1,), ИЯ вЂ” функции из В, определяет обобщенное решение и(х, ~) задачи Коши (1), (4), корректной в В при выполнении (7) и равномерно корректной в В при выполнении (8). При этом, естественно, норма пространства С, в (7) и (8) заменяется на норму пространства В.
Если задача Коши допускает введение нормы, в которой оператор перехода 5(6,11) удовлетворяет свойствам (6), (6а), (7) или (8), будем говорить, что совокупность операторов перехода 5 ()м 11) образует непрерывную полугруппу. Свойство полугруппы очень важно. Действительно, практически решение и(1) на момент времени 1 получают, исходя из начальных данных и(111) ие сразу, а по этапам, с помощью пеРехолов и(1А)- и(11) -э ...
и(1я) = и(1). В этом слУчае Должна существовать уверенность в том, что эта последовательность переходов эквивалентна одному переходу и(УЕ)-+и(1), независимо от выбора промежуточных моментов. В особенности свойство полугруппы важно для разностных решений задачи Коши, которые получаются пошаговым продвижением во времени, с неизбежным внесением ошибок округления на каждом шаге. Свойство полугруппы означает возможность рекуррентного метода получения решения. Основная тенденция современных численных алгоритмов заключается в сведении произвольного алгоритма к совокупности рекуррентных. Поясним примерами введенные нами понятия. Определим оператор сдвига Т(й) посредством равенства Т (Ь) и (х) = и (х + а). (9) Легко видеть, что в пространствах С, Вр периодических функций 1~ Т (Ь) з = 1. (1О) 4 С.
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 347 Рассмотрим уравнение — + а — =0 а=сопз1 > О, ди ди дС дх (11) = — ~ [го(х, 0) + зо (х, 0)[ с(х = Ц [ (0) Цо, (21) с начальными данными и(х, О) =ио(х). (12) Если и,ен Си то задача Коши (11), (12) имеет решение. Оператор перехода представляется в виде 5 (Го, 1с) = Т [ — а (1о — 1с) [. (13) Пусть ио ен Т.„ио И С,. Тогда решение задачи (11), (12) не существует в С„но равенство и(1) =Т( — а7)ио (14) имеет смысл н определяет обобисенное решение задачи Коши (11), (12) в Ьх. Аналогичный подход возможен н для уравнений акустики ди о до до ди — — а — =О, — — — =О, а=сопз1 > О, (15) дС дх ' дС дх и (х, 0) = ио(х), о (х, 0) = ео (х).
(16) Если иояС„воен С„то и(1) о= С„о(1)я С, и уравнения (15) эквивалентны системе в инварнантах — +а — =О, — — а — =О, дг дг дх до дС дх ' дС дх (17) где г = и — ао, з =и+ ао — инварианты Римана. Если же иоен1,„ ео ее Т.о, то г, ен йо, зо ен Т.о и равенства г(1) =Т( — а7) го, $(1) = Т(ас) Яо (18) определяют в пространстве Ьо обобщенное решение. При этом в норме Т.о имеем [ [ г ( 1 ) ~ [ [ [ г О [ [ [ [ Я ( 1 ) [ [ [ [ 3 О [ [ (19) если начальные функции г,, з,(и„о,) периодичны с периодом 2й Если определить норму векторной функции 1 = (и, о) с помощью равенства 1 1ЦО = ~ (и'-[- аопо) с(х, (20) -с то из равенств (18), (19) следует с Ц Ц (с) Цо С $ [ с ( 1) [ о ( .
Г)) ( ГЛ. З РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ азв т. е. обобщенное решение продолжаемо в норме (20). Из равенств (18) следует, что задача Коши (15), (16) равномерно корректна прн О < ! < со в классе С„нз равенства (21) — что она равномерно корректна также н в классе Ьз. Не всегда возможно ввести (нлн по крайней мере найти) норму, в которой операторы перехода задачи Коши образуют полугруппу. В этом случае следует ввести более широкое понятие корректности и соответственно определить обобщенное решен не.
Пусть оператор 5(!з, г!) обладает тем свойством, что для а(у,) ен В, справедливо соотношение и (!з) = Я (!з, 1,) и (!!), и (!з) ен Вз 1]5(!з, !!)~]=зцр ! (,) * — — С(1„1,)<С(!) < !!и (!з)!!в, где С, (й) = — $ из (х) е-'"" с(х. 1 и (2) который прн д ~ 1 сходится к иа(х) абсолютно н равномерно, Предполагая д достаточно большим, будем искать решение задачи (1.2.1), (1.2.4) в виде ряда Фурье п(х, !)= Е С(й, !)а'а", (3) т. е.
как суперпознцню функций о(х, !)= С(/г, !) е'а". Такие функции мы будем называть аармонинажи. (4) ') По поводу теории рядов Фурье см. моиографии Н. К. Бари 1!96!], Д. Зигмуида (!966], Г. Харди, В. Рогозиисиого (!969]. Тогда мы будем говорить, что задача Коши корректна по И. Г. Петровскому. Более подробно это понятие будет рассмотрено в следующем пункте. 3. Метод Фурье. Для системы (1.2.1) с коэффициентами А„(!), зависящими только от времени, с помощью метода Фурье можно эффективно построить оператор решения *).
Пусть и, ~ С, есть периодическая вектор-функция с периодом 2Й, Вектор-функция иа(х) представляется рядом Фурье "а(х)= д Са(!з)ега", (1) Э ь ЗЛДЛЧЛ КОШИ ДЛЯ ДнфЕВГВНЦИЛЛЬНЫХ ГГХВНВНИН З»В Установим условие, при котором гармоника является решением (1.2.1). Подставляя (4) в (1.2.1), находим дг ~ ~®)1 о ~ дг т.(И, ОС~ег ", (5) где Е(И, 1) есть матрица С(И, ~)=А„(О(И), а=1, ..., р. (6) Из (5) следует, что гармоника (4) является решением (1.2.1), если вектор С(й, Е) удовлетворяет дифференциальному уравнению дс(г. г) И С(, О (7) Следовательно„для того чтобы ряд (3) представлял решение задачи Коши (1.2.1), (1.2.4), необходимо, чтобы С(й, ~) удовлетворяли при й = О, ~1, ~2, ... уравнению (7) и начальным условиям С(й 1»)=С»(й), й=О ~1, ~2 (8) так как при ~ = 1» ряд (3) должен переходить в (1), Если ряд (3) принадлежит С„г ) р, то он представляет собой решение задачи Коши (1.2.1) „(1.2.4), Оценим гладкость решения (3) в зависимости от гладкости начальных данных.
Как известно, не существует необходимых и достаточных критериев принадлежности ряда Фурье (3) пространству С», что затрудняет анализ продолжаемости решения в классе С». Поэтому удобнее пользоваться понятием обобщенной производной, которое мы рассмотрим в частном случае рядов Фурье от одного переменного к. Если (9) » — оэ и выполняются условия (10) ~ г, )г йга ~ акг, то, как известно, и ~ )ггг»( — гк, г»), и мы будем говорить, что ряд и(к) имеет обобщенную производную порядка д са и~»' (к) = ~' Х» (И)» е'"*, 350 гл. з.
глзностныв мвтоды глзовои динлмики которая получается формальным дифференцированием ряда(9). При этом „и) (ра ( для функции и ен Чанге можно определить норму следующим образом: [[ и [[г = — [и'+ (иш)' + ... + (им~)') гак = г 2п,) [Х,['[1+/г'+... +йгг)(сопз1 ~ [Х,['(1+ [й[')'< со. Пусть 5(й, гь гг) есть оператор перехода системы (7), соответствующий произвольно фиксированному й. Оператор 5(й,г,,гг) будем называть спектральным образом или фурье- образом оператора 5(йь гг). По определению 5(й, г„(,), имеем С(й, г,)=5(й, гг. г,)с(/г, 1,).
(11) Будем предполагать, что в интервале [О, 1[ система (7) обыкновенных дифференциальных уравнений является равномерно устойчивой по А, т. е. впр [[5 (й, 1„1,) [[- У (г„г,) < со, (12) где [[5(А, г„г,) [[ есть эрмитова норма оператора 5 (й, 1„1,) в пространстве (/ компонент С (А, г).
Если и (ге) ~ Юге, то в силу (11), (12) справедлива оценка [С(/г, г) [< дг[с(й, 0) [, из которой следует, что и(г) еи Итг. Следовательно, сугцествует обобщенное решение задачи (1.2.1), (1.2.4) в Ггг для любого г). В частности, при д = б )г'г=Ьг и о [[и(г) [['=2гг ~ [С(й, г) [г. Отсюда, принимая во внимание (11), имеем [[5(1„1,)[[ =зпр[[5(й, г„г,)[[, =Л ((„г,) < . (1З) г л Следовательно, в Ц существует обобщенное решение.
Условие (13), таким образом, представляет собой условие корректности зхллчх кОши для д11ФФКРянцнхльных КР'01<ш1нй 35! задачи Коши (1.2.!), (1.24) в 7.2( — и, и). Дадим явное выражение для оператора перехода 5(<2,1!) через 5(й, 12, 1!). Из равенств (3), (2) имеем и(к, 12) = ~ 5(й, 12, 11)С(й„<!)ем"= 2-- ! тл — — Г 2Е. ~,. И((.Р.Ц.- *2.).
*- — з 2. ! = — ~ К(12.<ь х — з)и(з, <~)<(з, (14) где 7< (<„<1, х — з)=- ~ 5(lг, <„<!)ем<" '. (16) При изменении порядка интегрирования и суммирования мы пользовались теоремой о возможности почленного интегрирования ряда Фурье. Таким образом, в рассматриваемом случае оператор перехода 5(<„<1) есть интегральный оператор типа свертки. Рассмотрим частный случай, когда уравнение (1.2.1) есть уравнение с постоянными коэффициентами. Тогда матрица Ь(<й,1) = Ь(<й) не зависит от С и решение задачи (7), (8) имеет вид С(й 1) еь <12)<1-1'!Со(А).
(16) Здесь еь ""! 2 есть матрица (экспоненциал), которая представляется рядом !Ц1 Е+ С Г ("') 1 гл! Л! ! Из (16) следует 5(й, 12, 11) =еь <12< <и '<, 5 (й 12 11) 5 (й 12 11 0). Для оператора перехода 5(12, 1!) получаем оценку <! Ь <и! П„-<,! <п !15(1 1,)!1 цр)<ес<12<<1,-1,<11 » ~при 2 л Таким образом, задача Коши с постоянными коэффициентами корректна в Е2, если эцр1ес "2'<ь !О1~ (Л<(1), 11(12~(1 (17) Условие (17) мы можем истолковать следующим образом, 352 Гл. 3 РАзностные методы ГА30ВОЙ дннхинзкн Рассмотрим решение системы (1.2.1) вида и (Хг 1) = иавиЫЫАХ (18) Ясно, что для корректности задачи Коши для системы (1.2.1) необходимо и достаточно, чтобы Кев(1А, где 1А — константа, не зависящая от й. Условие (20) означает, что любое гармоническое решение растет по амплитуде не сильнее, чем еи'. Определим теперь корректность по И.
Г. Петровскому, ограничившись частным случаем, когда пространства В суть пространства В'х'. Пусть вместо (12) имеет место более слабая оценка зпр!!В(й, 1,, 1,Ц!<йг(Т)(1+ ~ й~ ) и д — наименьший целый показатель, обладающий этим свойством. Тогда справедлива оценка !С(й, 1)!()й(т)(1+ ~ йГ')! С(й,1)!. (22) (21) Пусть и (г1) е= 'йГАА. (23) Тогда из оценки (22) следует 1и(Ь)!!:г )АГ(Т) < ОО, и(6) ЕН )ТГЗ. (24) Наоборот, из (23), (24) следуют (21), (22).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
